2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.立体几何.pdf

2011年2018年新课标高考全国卷理科数学分类汇编（含答案） 9立体几何 【 2018，7】 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M在正视图上的对 应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N的路径中，最短路径的长度为（） A 2 17 B 2 5 C 3D2 【 2018，12】 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截 面面积的最大值为（） A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干 个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A10 B12 C14 D16 【2016，11】平面过正方体 1111 DCBAABCD的顶点A，/平面 11D CB，I平 面ABCDm，平面nAABB 11 ，则nm,所成角的正弦值为（） （A） 2 3 （B） 2 2 （C） 3 3 （ D） 3 1 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径若该几何体的体积是 3 28 ，则它的表面积是（） （A）17（ B）18（C）20（D）28 【2015，6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长 为 8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛米 的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（） （A）14 斛（B） 22 斛 （C）36 斛（D）66 斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体 三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620，则r（） （A）1 （ B）2 （ C）4 （D）8 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个 条棱中，最长的棱的长度为 A.6 2B.4 2C.6 D.4 【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向 容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积 为() A 500 3 cm 3 B 866 3 cm 3 C 1372 3 cm 3 D 2048 3 cm 3 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A168B88C1616D 816 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A6 B9 C12 D15 【2012，11】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O 的球面上， ABC是边长为1 的正三角形， SC为球 O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（） A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 【 2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可 以为（） 二、填空题 【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为OD、E、 F 为圆 O 上的点， DBC，ECA，FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分 别以 BC， CA，AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D，E，F 重合，得到三 棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _ 【 2011， 15】 已 知 矩 形AB C D的 顶 点 都 在 半 径 为4 的 球O的 球 面 上 ， 且 6,2 3ABBC, 则棱锥OABCD的体积为。 三、解答题 （ 2018· 新课标 I，理 18） 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕 把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF （1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值 【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中， AB/CD，且 90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面 PAD； （2）若 PA =PD=AB=DC, 90APD ,求二面角A-PB-C的余弦值 【2016，18】如图，在以FEDCBA,为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，90,2AFDFDAF，且二面 角EAFD与二面角FBEC都是60 （）证明：平面ABEF平面EFDC； （）求二面角ABCE的余弦值 【2015，18】如图，四边形ABCD为菱形，120ABC，,E F是平面ABCD同一侧的两点，BE 平面ABCD，DF平面ABCD，2BEDF，AEEC. （I）证明：平面AEC平面AFC； （II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. A B C D E F 【2014，19】如图三棱柱 111 ABCA BC中，侧面 11 BBC C为菱形， 1 ABBC. ( ) 证明： 1 ACAB； （）若 1 ACAB， o 1 60CBB，AB=BC 求二面角 111 AABC的余弦值 . 【2013，18】 如图，三棱柱ABCA1B1C1中， CACB，AB AA1， BAA160° . (1)证明： ABA1C； (2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 【2012，19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC= 2 1 AA1，D 是棱 AA1的中点， DC1BD。 （ 1）证明： DC1 BC； （ 2）求二面角A1BDC1的大小。 【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60 °,AB=2AD,PD底面ABCD. ( ) 证明：PABD； ( ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 D A1 B1 C A B C1 A B C D P 2011年2018年新课标高考全国卷理科数学分类汇编（含答案） 9立体几何（解析版） (2018 ·新课标全国卷理7) 某圆柱的高为2，底面周长为16， 其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在 正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱 侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A 2 17 B 2 5 C 3D2 【答案】 B 解析： 当路径为线段MN 时，长度最短，故最短路径的长度为22 2425 . (2018 ·新课标，理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方 体所得截面面积的最大值为（） A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 【答案】 A 解析：（直接法）平面 11 AC B符合题意，如图（1）所示，例题中的平面可得面 11 AC B平移 平移后的图象如图（1）所示，六边形EFGHMN 为该截面 设 1 ANx，则有2 ,2(1)ENx MNx 根据对称性可知 2(1),2EFx FGx，延长 ,EN HM 相交于点 P 延长,EF HG相交于点Q，易证60HEFEHG 所以EHQ为等边三角形，同理EHP为等边三角形， 所以 max EHGEPGPMNFGQ EFGHMN SSSSS 六边形 2222 3333 (2)(2)(2(1)( 2 ) 4444 xx 2 3 3(221) 2 xx 当 1 2 x时， max 3 3 4 EFGHMN S六边形 【解法 2】（ 特殊位置法）由题可知，截面应与正方体体对角线垂直，当平面平移至截面为六边形时， 此时 六边形的周长 恒定不变，所 以当截面为正 六边形时，面积最大 max 2 323 3 6() 424 EFGHMN S六边形 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方 形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个 是梯形，这些梯形的面积之和为（） A10 B12 C14 D16 （7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的 梯形的面，24226S梯，6212S全梯，故选 B； 【2016，11】平面过正方体 1111 DCBAABCD的顶点A，/平面 11D CB，I平面ABCD m，平面nAABB 11 ，则nm,所成角的正弦值为（） （A） 2 3 （B） 2 2 （C） 3 3 （D） 3 1 【解析】：如图所示： A A1 B B1 D C C1 D1 11 CB D平面，若设平面 11 CB D平面 1 ABCDm，则 1 mm 又平面 ABCD平面 1111 A BC D ，结合平面 11 B D C 平面 111111 A BC DB D 111B Dm，故11B Dm ， 同理可得： 1CDn 故 m 、 n 的所成角的大小与 11 B D、 1 CD所成角的大小相等，即 11 CD B的大小 而 1111 BCB DCD（均为面对交线） ，因此 11 3 CD B，即 11 3 sin 2 CD B 故选 A 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体 的体积是 3 28 ，则它的表面积是（） （A）17（B）18（C）20（D）28 【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的 1 8 后的三视图 表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和 2271 =42 +32 =17 84 S，故选 A 【2015，6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四 分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆 放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3， 估算出堆放的米约有 （A）14 斛（B） 22 斛（C）36 斛（D）66 斛 解析： 2 8 4 R ，圆锥底面半径 16 R， 米堆体积 21320 123 VR h，堆放的米约有22 1.62 V ， 选（ B）. 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视 图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620，则r（） （A）1（B）2（C）4（D）8 解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与 球的半径都r，圆柱的高为2r，其表面积为 2222 1 4222541620 2 rrrrrrrr，解得2r，故选（ B）. 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个 条棱中，最长的棱的长度为 A.6 2B.4 2C.6 D.4 【答案】 C 【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥DABC， 其中4,4 2,2 5ABBCACDBDC， 2 4 246DA，故最长的棱的长度为6DA，选 C 【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向 容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为() A 500 3 cm 3 B 866 3 cm 3 C 1372 3 cm 3 D 2048 3 cm 3 答案： A 解析： 设球半径为R，由题可知R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA 为直角三角 形，如图 BC 2，BA4， OBR2，OAR， 由 R 2 (R2)242，得 R5， 所以球的体积为 34500 5 33 (cm 3)，故选 A. 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A168B88 C1616D816 答案： A 解析： 由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r2，长为 4， 在长方体中，长为4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r 2× 4×1 2 4×2×28 16.故选 A. 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （）