2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——10.立体几何.pdf

20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编 10立体几何 一、选择题 (2018 ·9)在长方体 1111ABCDABC D 中，E 为棱1CC 的中点， 则异面直线AE 与CD所成角的正切值为（） A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 （2017· 6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面 将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A. 90B. 63C. 42D. 36 （ 2017· 6）（2016· 7）（2015· 6） （2016· 4）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（） A12B 32 3 CD （2016· 7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A20B24C28D32 （2015· 6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分 体积的比值为（） A. 8 1 B. 7 1 C. 6 1 D. 5 1 （2015· 10）已知 A、B 是球 O 的球面上两点，AOB=90o， C 为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC 体积 的最大值为36，则球 O 的表面积为（） A. 36B. 64C. 144D. 256 （2014· 6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零 件由一个底面半径为3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值 为（） A 17 27 B 5 9 C 10 27 D 1 3 （2014· 7）正三棱柱ABC- A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为 BC 中点，则三棱锥A- B1DC1的体 积为（） A3 B 3 2 C1 D 3 2 4 4 23 · （2013· 9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0) ， 画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（） （2012· 7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则 此几何体的体积为（） A6B9 C12 D 18 （2012· 8） 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为1， 球心 O 到平面 的距离为 2， 则此球的体积为 （ ） A6B43C46D63 （2011· 8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 (2018 ·新课标，文 16)已知圆锥的顶点为S， 母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30， 若S A B 的面积为8，则该圆锥的体积为_ （2017· 15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 （2013· 15）已知正四棱锥O-ABCD 的体积为 3 2 2 ，底面边长为3 ，则以 O 为球心， OA 为半径的球的表 面积为 _. （2011· 16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面 积是这个球面面积的 16 3 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为. 三、解答题 (2018 ·19)如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点 （1）证明：PO平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 A. B. C. D. （2017· 18）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 1 2 AB= BC=AD， BAD=ABC=90° . （ 1）证明：直线BC平面 PAD； （ 2）若 PAD 面积为2 7，求四棱锥P-ABCD 的体积 . （2016· 19）如图，菱形ABCD的对角线AC与 BD交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD上， AE=CF，EF交 BD 于点 H，将 DEF沿 EF折到 D EF的位置 . （）证明：'ACHD ； （）若 5 5,6,'2 2 4 ABACAEOD ，求五棱锥DABCEF 体积 . （2015· 19） 如图， 长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB=16， BC=10， AA1=8， 点 E， F分别在 A1B1， D1C1上， A1E=D1F=4， 过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值. D P A B C O B A C F D H E D （2014· 18）如图，四棱锥P- ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD，E 为 PD 的点 . （）证明：PB / 平面 AEC； （）设AP= 1，AD=3，三棱锥P- ABD 的体积 V= 4 3 ，求 A 点到平面PBD 的距离 . （2013· 18）如图，直三棱柱 111 ABC ABC中，D，E分别是AB， 1 BB的中点 . （）证明： 1/ / BC平面 1 ACD； （）设 1 2AAACCB，2 2AB，求三棱锥 1 CA DE的体积 . E D B1 C1 A C B A1 （2012· 19）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90° ， 1 1 2 ACBCAA ，D 是棱AA1 的中点 . ( ) 证明：平面BDC1平面 BDC ； （）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. （2011· 18） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB =60° ， AB=2AD， PD底面 ABCD . （）证明： PABD； （）若PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高 . B A C D B1 C1 A1 20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编 10立体几何 一、选择题 (2018 ·新课标，文9)在长方体 1111ABCDAB C D 中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD所成角的 正切值为（） A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 【答案】 C 解析：解法一：平移法：在tRAEF中，异面直线的夹角的正切值，tan AF EF 由几何关系可知：设EFa，则 5 2 AFa， 5 tan 2 AF EF . 解法二：补型法：在tRMDC中，异面直线的夹角的正切值，tan MD CD ，由几何关系可知：设CDa， 则 5 2 MDa ， 5 tan 2 MD CD . （2017· 新课标，文6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几 何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A. 90B. 63C. 42D. 36 【答案】 B解析： 由题意，该几何体是由高为6 的圆柱截取一半后的图形加上高为4 的圆柱，故其体积为 22 1 363463 2 V，故选 B. （2016· 新课标，文4）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（） A12B 32 3 CD 【答案】 A 解析： 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2 3 ，所以正方体的外接球的半径 为3 ，所以球面的表面积为 2 4( 3)12，故选 A. （2016· 新课标，文7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A20B24C28D32 【答案】 C解析： 因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为 28S ，故选 C. （2015· 新课标，文6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为（） A. 8 1 B. 7 1 C. 6 1 D. 5 1 【答案】 D 解析： 截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的 1 6 ，所以截去部分体积与剩余部分 体积的比值为 1 5 . （2015· 新课标，文10）已知 A、B 是球 O 的球面上两点，AOB=90o，C 为该球面上的动点. 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为（） A. 36B. 64C. 144D. 256 【答案】 C 解析： 设球的半径为R，则 AOB 面积为 2 1 2 R，三棱锥 O-ABC 体积最大时， C 到平面 AOB 距 离最大且为R，此时 31 366 6 VRR，所以球O 的表面积 2 4144SR. （2014· 新课标，文6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm） ，图中粗线画出的是某零件的 三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛 坯体积的比值为（） A 17 27 B 5 9 C 10 27 D 1 3 （2014· 6）C 解析： 原来毛坯体积为： · 32· 6=54(cm2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为 2cm，高 为 4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm， 高为 2cm 的圆柱构成， 所以该零件的体积为： · 3 2· 2+ · 22· 4=34 (cm 2)，则切削掉部分的体积为 54 - 34=20 (cm 2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 2010 5427 ，故选 C. （2014· 新课标，文7）正三棱柱ABC- A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为 BC 中点，则三棱锥 A- B1DC1的体积为（ ） A3 B 3 2 C1 D 3 2 【答案】 C 解析： B1C1 / BD， BD /面 AB1C1，点 B 和 D 到面 AB1C1的距离相等， 111 1 -D ABCB ABCVV 11 - 1 1 2331 3 2 C ABB V，故选 C. （2013· 新课标， 文 9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0) ，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（） 【答案】 A 解析： 在空间直角坐标系中，先画出四面体O-ABC 的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到 正视图如右图，故选A. （2012· 新课标，文7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则此几何体的体积为（） A6B9 C12 D 18 【答案】 B 解析：由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上 高为 3，棱锥的高为3，故其体积为 11 6 3 3 32 =9，故选 B. （2012· 新课标，文8）平面 截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面 的 距离为 2 ， 则此球的体积为（） A6B43C46D63 【答案】 B 解析： 设求圆 O 的半径为 R，则 22 1( 2)3R， 34 4 3 3 VR. （2011· 新课标，文8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为（） A. B. C. D. 【答案】 D 解析：由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥,后面是一个圆锥， 选 D. 二、填空题 (2018 ·新课标，文16)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若 SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_ 【答案】8解析： 1 84 2 ABCSSA SBSASB 由几何关系可知：2SO、2 3AO 2 1 2238 3 V A. B. C. D. （2017· 新课标，文15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积 为 【答案】 14解析： 球的直径是长方体的对角线，所以 2222 2 = 3 +2 +1 = 14414，RSR. （2013· 新课标，文15）已知正四棱锥O-ABCD 的体积为 3 2 2 ，底面边长为3 ，则以 O 为球心， OA 为 半径的球的表面积为_. 【答案】24解析： 设正四棱锥的高为h，则 213 2 ( 3) 32 Vh，解得高 3 2 2 h . 则底面正方形的对 角线长为236 ，所以 223 26 ()()6 22 OA ，所以球的表面积为 2 4 ( 6)24. （2011· 新课标，文16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上， 若圆锥底面面积是这个球面面积的 16 3 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值 为. 【答案】 3 1 解析： 由圆锥底面面积是这个球面面积的 16 3 ，得 2 2 3 416 r R 所以 2 3 R r ，则小圆锥的高 为 2 R ，大圆锥的高为 2 3R ，所以比值为 3 1 . 三、解答题 (2018 ·新课标，文19)如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为 AC的中点 （1）证明：PO平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 解： （ 1）连接OB，由几何关系可知：2 3PO，2OB，因为 222 16POOBPB， 所以 2 POB，所以POOB，因为=PB PA，OAOC，所以POAC， 因为ACOBO，所以P OA B C平面. 解法 2： （二线法，以AB边中点为例，三垂线定理） 在AB边去中点N，连接PN、ON 因为PAPB，所以PAAB，在ABC中，由勾股定理可知：ABBC， 在ABC中，AOOC，ANNB，所以ONBC，所以ABON， 因为ONPNN，所以ABPNO平面，所以ABPO， 由几何关系可知：POAC， 因为ACONO，所以POABC平面. （2） 解法一：等体积法：由题意可知： 11 2 32222 32 P ABC V， 8 3 3 P ABC V， 18 =3 39 P OMCPABC VV，由几何关系可知： 2 5 3 OM， 12 52 15 2 3 233 POM S， P OMCCPOM VV， 8 3 4 9 5 2 5 15 9 d. 解法二：等面积法：由题意可知： 11 84 22 ABC SAB BC， 14 33 OMCABC SS， 25 3 OM， 14 23 OMC SOMFC，所以 4 5 5 FC. （2017· 新课标，文18）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， 1 2 AB= BC=AD， BAD=ABC=90° . （ 1）证明：直线BC平面 PAD； （ 2）若 PAD 面积为2 7，求四棱锥P-ABCD 的体积 . （2017· 18）解析： （1）在平面 ABCD 内，因为 BAD= ABC=90o，所 以 BC/AD. 又面BCPAD，故 BC/平面 PAD . （ 2） 取 AD 的中点 M， 连结 PM， CM， 由 1 2 A B =B C =A D及 BC/AD， D P A B C 知四边形ABCM 为正方形，则CMAD. 因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD， 底面CMABCD， 所以 CM面 PAD ， 因为面PMPAD， 所以 CMPM.设 BC=x， 则 CM=x，23，CDxPMx， PC=PD=x。取得中点，连结，因为PCD 的面积为2 7，所以 114 22 7 22 xx，解得x=- 2（舍去） x=2，于是AB=BC=2，AD=4，2 3PM =，所以四棱锥 P-ABCD 的体积 12(24) 23 32 V4 3. （2016· 新课标， 文 19） 如图，菱形 ABCD的对角线AC与 BD交于点 O， 点 E、 F分别在 AD，CD上，AE=CF， EF交 BD于点 H，将 DEF沿 EF折到 D EF的位置 . （）证明： 'ACHD ； （）若 5 5,6,'2 2 4 ABACAEOD ，求五棱锥D ABCEF体积 . （2016· 19） 解析： （I） 由已知得， ,.ACBD ADCD 又由AECF 得 AECF ADCD ，故/.ACEF由此得,EFHD EFHD，所 以/.ACHD （ II）由/ /EFAC得 1 . 4 OHAE DOAD 由5,6ABAC得 22 4.DOBOABAO所以 1,3.OHD HDH 于是 22222 (22)19,ODOHD H 故.ODOH由（ I）知ACHD，又 ,ACBD BDHDH， 所以AC平面,BHD于是 .ACOD 又由,ODOH ACOHO，所以，OD平面.ABC又由 EFDH ACDO 得 9 . 2 EF五边形ABCFE的面积 11969 683. 2224 S所以五棱锥' ABCEFD体 积 169232 22. 342 V （2015· 新课标， 文 19）如图， 长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1， D1C1上，A1E=D1F=4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线 围成一个正方形. （）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值. （2015· 19）解析： （）交线围成的正方形EHGF 如图： （）作 EMAB， 垂足为 M， 则 AM=A1E=4， EB1=12， EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形，所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH= 22 6,10,6EHEMAHHB.因为长方体被平面分为两个高为10 的直棱柱，所以其 体积的比值为 9 7 （ 7 9 也正确） . O B A C F D H E D O B A C F D H E D