2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)(解析版).pdf

第 1 页（共 16 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选型中， 只有一个是符合题目要求的. 1直线xy3=0 的倾斜角是（） A30° B60° C120°D150° 2若集合A= x| y=2 x ，集合 ，则 A B=（） A （0，+）B （1，+） C 0，+）D （ ，+） 3为了得到函数y=3sin（2x+） ，xR 的图象，只需把函数 y=3sin（x+） ，xR 的图 象上所有的点的（） A横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 4在复平面内，复数z=（a1）+（a+1） i（aR，i 为虚数单位）对应的点位于第三象限 的充要条件是（） Aa1 Ba1 Ca 1 Da 1 5双曲线=1（ a0，b 0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是 （） A B C D 6执行如图所示的程序框图，如果输入的t 1，2 ，则输出的s 属于（） A 0，1B，C 0， D 1，） 第 2 页（共 16 页） 7过抛物线x 2=4y 的焦点任作一直线 l 交抛物线于M，N 两点， O 为坐标原点，则 MON 的面积的最小值为（） A2 B2C4 D8 8已知点M 是边长为2 的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则?的取值 范围是（） A 1，0 B 1， 2 C 1，3 D 1，4 9已知正项等比数列 an满足 a5+a4a3 a2=5，则 a6+a7的最小值为（ ） A32 B10+10C20 D28 10已知 f（ x）=x2+ +c（b，c 为常数）和g（x）=x+是定义在 M= x| 1 x4上的 函数，对任意的xM，存在 x0M 使得 f（x） f（x0） ，g（x） g（x0） ，且 f（x0）=g （x0） ，则 f（x）在集合M 上的最大值为（） A B5 C6 D8 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分. 11计算： lg252lg= 12某小组4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是 13 我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g 以内 0.7 元，每增加 100g （不足 100g 按 100g 计） 0.4 元，某人从绵阳邮寄一本重420g 的书到上海，则他应付资费为元 14已知点 P在单位圆x 2 +y 2=1 上运动， P 到直线 3x 4y10=0 与 x=3 的距离分为 d1 、d 2， 则 d 1 +d 2的最小值是 15现定义一种运算“ ” ：对任意实数a， b，ab=，设 f（x）=（x 22x） （x+3） ， 若函数 g （x） =f （x） +k 的图象与x 轴恰有三个公共点， 则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16某市在 “ 国际禁毒日 ” 期间，连续若干天发布了“ 珍爱生命，原理毒品 ” 的电视公益广告， 期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取 了 100 名年龄阶段性在 10，20） ， 20，30） ， 30，40） ， 40，50） ， 50， 60）的市民进行 问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示 （）求随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的人数； （） 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5 人，求 50，60）年龄段抽 取的人数； （）从（）中方式得到的5人中再抽取2 人作为本次活动的获奖者，求 50，60）年龄 段仅 1 人获奖的概率 第 3 页（共 16 页） 17已知函数f（x）=cos 4 x2sinxcosxsin 4 x （1）若 x 是某三角形的一个内角，且f（x）=，求角 x 的大小； （2）当 x 0， 时，求 f（x）的最小值及取得最小值时x 的集合 18已知等差数列 a n的前 n 项和 Sn满足： S5=30，S10=110，数列 bn的前 n 项和 Tn满足： Tn=bn （ nN * ） （1）求 Sn与 bn； （2）比较 Snbn与 Tnan的大小，并说明理由 19已知二次函数f（x）=x 2+4x+m（mR，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过 这三个交点的圆为圆 C （I）求 m 的取值范围； （）试证明圆C 过定点（与m 的取值无关） ，并求出该定点的坐标 20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离 为 （）求椭圆C 的方程； （） 是否存在过椭圆C 的左焦点F 且不与 x 轴重合的直线m，与椭圆 C 交于 M，N 两点， 线段 MN 的垂直平分线与x 轴交于点P，与椭圆C 交于点 Q，使得四边形MPNQ 为菱形？ 若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由 21已知函数f（x）=xlnx mx 2 （）当m=0 时，求函数f（x）的单调区间； （）若1 对任意的 x ，e 2 恒成立，求实数 m 的取值范围； （）若 x1，x2（ ，1） ，x1 +x 21，求证： x1x2（ x1 +x 2） 4 （参考数据： e=2.71828 ） 第 4 页（共 16 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选型中， 只有一个是符合题目要求的. 1直线xy3=0 的倾斜角是（） A30° B60° C120°D150° 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出 【解答】 解：设直线的倾斜角为 ， 0，180° ） tan = =60° 故选： B 2若集合A= x| y=2 x ，集合 ，则 A B=（） A （0，+）B （1，+）C 0，+）D （ ，+） 【考点】 函数的定义域及其求法；交集及其运算 【分析】 求出集合 A 中函数的定义域确定出A，求出集合B 中函数的定义域确定出B，求 出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：集合 A 中的函数y=2 x，xR，即 A=R ， 集合 B 中的函数y=，x 0，即 B= 0，+） ， 则 A B= 0，+） 故选 C 3为了得到函数y=3sin（2x+） ，xR 的图象，只需把函数y=3sin（x+） ，xR 的图 象上所有的点的（） A横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【考点】 函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换 【分析】得到函数的图象，只需把函数的 图象上所有的点横坐标变为原来的一半 【解答】 解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到 故选 B 第 5 页（共 16 页） 4在复平面内，复数z=（a1）+（a+1） i（aR，i 为虚数单位）对应的点位于第三象限 的充要条件是（） Aa1 Ba1 Ca 1 Da 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出 【解答】 解： aR，复数 z=（a1）+（a+1） i 对应的点（ a 1，a+1）位于第三象限的充 要条件是，解得 a 1 故选： D 5双曲线 =1（ a0，b 0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是 （） ABCD 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线=1（a 0，b0）的渐近线的方程，得出=，再利用离 心率 e= 计算 【解答】 解：双曲线=1（a 0，b0）的渐近线的方程为：y=± x， 双曲线的一条渐近线方程是y=x， = ， 则离心率e= 故选： B 6执行如图所示的程序框图，如果输入的t 1，2 ，则输出的s 属于（） 第 6 页（共 16 页） A 0，1B，C 0， D 1，） 【考点】 程序框图 【分析】 该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t我们可得，分段函数 的分类标准， 由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确 定 S 的区间 【解答】 解：执行程序框图，有 输入的 t 1，2 ， S=， 输出 S 的值， 由 1 时， S=2t ，） ； 时， S=2tt2=1（ t1） 2 0，1 ， 此分段函数在t 1，2 时，输出的s属于 0， 故选： C 7过抛物线x 2=4y 的焦点任作一直线 l 交抛物线于M，N 两点， O 为坐标原点，则MON 的面积的最小值为（） A2 B2C4 D8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 M（x1，y1） ，N（x2， y2） ，则 S=| OF| ?| x1x2| ，直线 l 方程为 y=kx+1 代入 x 2=4y 得： x24kx4=0，由此能求出 OAB 的面积 【解答】 解：抛物线焦点为（0，1） ，直线 l 方程为 y=kx +1， 代入 x2=4y 得： x24kx4=0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 第 7 页（共 16 页） x 1 +x 2=4k，x1x2=4， | x1x2| =4， S=| OF| ?| x1x2| 2， MON 的面积的最小值为2 故选： A 8已知点M 是边长为2 的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则?的取值 范围是（） A 1，0 B 1， 2 C 1，3 D 1，4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为： （x1）2+（ y1） 21（0x 2，0y 2） 可设点 M（x，y）可得?=（x1）2+y21，由 0， 2 ，即可得出 【解答】 解：如图所示， 由题意可得：点M 所在的圆的方程为： （x 1） 2+（y1）21（0x2，0y2） 可设点 M（x，y） A（0，0） ，B（2，0） ?=（ x， y）?（2x， y）=x（2x）+y 2=（x 1）2+y21， 由 0，2 ， ? 1， 3 ， 故选： C 9已知正项等比数列 a n满足 a5 +a 4 a 3 a 2=5，则 a6 +a 7的最小值为（ ） A32 B10+10C20 D28 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设正项等比数列an 的公比为q 1，由于 a5+a4a3 a2=5，可得（ q21） （ a3+a2） =5因此 a6 +a 7=q 4 （ a 3 +a 2 ）= =，再利用基本不等式的性 质即可得出 【解答】 解：设正项等比数列 an的公比为q1， 第 8 页（共 16 页） a 5 +a 4 a 3 a 2=5， （ q21） （a3+a2）=5 则 a 6 +a 7=q 4 （a 3 +a 2 ）= = +10=20，当且仅当q2=2，即 q= 时取等号 故选： C 10已知 f（ x）=x2+c（b，c 为常数）和 g（x）= x+ 是定义在 M= x| 1 x4上的 函数，对任意的xM，存在 x0M 使得 f（x） f（x0） ，g（x） g（x0） ，且 f（x0）=g （x 0） ，则 f（x）在集合 M 上的最大值为（） A B5 C6 D8 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 由基本不等式可得g（x） 1（当且仅当x=，即 x=2 时，等号成立） ，从而可 得 c=1，求导 f（x）=x=，从而可得b=8，c=5，从而解得 【解答】 解： g（x）= x+ 2 =1， （当且仅当x=，即 x=2 时，等号成立） ， f（2）=2+c=g（2）=1， c=1， f（x）= x 2+ =x2+ 1， f（x）=x =， f（x）在 x=2 处有最小值， f（2）=0， 即 b=8，故 c=5， 故 f（x）=x2+5，f （x）=， 故 f（x）在 1，2 上是减函数，在 2，4 上是增函数， 而 f（1）=+85= ，f（4）=8+25=5， 第 9 页（共 16 页） 故 f（x）的最大值为5， 故选： B 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分. 11计算： lg252lg=2 【考点】 对数的运算性质 【分析】 直接利用对数的运算法则化简求解即可 【解答】 解： lg252lg=lg25+lg4=lg100=2 故答案为： 2 12某小组4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可 【解答】 解：根据茎叶图，得到4 位同学的成绩为：114， 126，128，132， 所以中位数是=127 故答案为： 127 13 我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g 以内 0.7 元，每增加 100g （不足 100g 按 100g 计） 0.4 元，某人从绵阳邮寄一本重420g 的书到上海，则他应付资费为2.3元 【考点】 根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用 【分析】 根据邮资标准进行求解即可 【解答】 解：邮寄一本重420g 的书，其中100 克付费 0.7 元，剩余420100=320， 每增加 100g（不足 100g 按 100g 计） 0.4 元， 则需要付0.4×4=1.6 元， 则共付费0.7+1.6=2.3 元， 故答案为： 2.3 14已知点 P在单位圆x2+y2=1 上运动， P 到直线 3x 4y10=0 与 x=3 的距离分为d1、d2， 则 d 1 +d 2的最小值是 5 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设点 P（cosu，sinu） ，求出 P 到直线 3x 4y10=0 与 x=3 的距离分为d1 、d 2，即 可求出 d1+d2的最小值 第 10 页（共 16 页） 【解答】 解：设点 P（ cosu，sinu） ，P 到直线 3x4y l0=0 的距离为d1= | 3cosu4sinu 10| =（103cosu+4sinu） ， d2=3cosu，d1 +d 2=（103cosu+4sinu）+3cosu=5+（4sinu8cosu）=5+sin（u t） ， 它的最小值 =5 故答案为： 5 15现定义一种运算“ ” ：对任意实数a， b，ab=，设 f（x）=（x 22x） （ x+3） ，若函数 g（x）=f（x）+k 的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是 2， 1） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象 【分析】 利用定义比较的大小，从而化简f（x）的解析式，作其图象，结合图象解得 【解答】 解： x 2 2x（ x+3） 1=x23x 4=（x4） （x+1） ， f（x）=（ x22x）（ x+3）= ， 作函数 y=f （x）的图象如下， 结合图象可知， 当 1 k2 时，函数g（x）=f（ x）+k 的图象与x 轴恰有三个公共点， 故答案为： 2， 1） 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 11 页（共 16 页） 16某市在 “ 国际禁毒日 ” 期间，连续若干天发布了“ 珍爱生命，原理毒品” 的电视公益广告， 期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取 了 100 名年龄阶段性在 10，20） ， 20，30） ， 30，40） ， 40，50） ， 50， 60）的市民进行 问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示 （）求随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的人数； （） 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5 人，求 50，60）年龄段抽 取的人数； （）从（）中方式得到的5人中再抽取2 人作为本次活动的获奖者，求 50，60）年龄 段仅 1 人获奖的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在 30，40）的频率，由此能 求出随机抽取的市民中年龄段在 30，40）的人数 （II ）由频率分布直方图求出不小于40 岁的人的频数是25 人，由此能求出在 50，60）年 龄段抽取的人数 （III ）所抽 5 人中有 3 人是在 40，50）年龄段，有2 人是在 50，60）年龄段，由此利用列 举法能求出从5 人中再抽取2 人作为本次活动的获奖者， 50，60）年龄段仅1 人获奖的概 率 【解答】 解： （I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在 30，40）的频率为： 110×（ 0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3， 随机抽取的市民中年龄段在 30，40）的人数为100×0.3=30 人 （II ）由（ I）知，年龄段在 40，50） ， 50，60）的人数分别为100×0.15=15 人， 100×0.1=10 人，即不小于40 岁的人的频数是 25 人， 在 50，60）年龄段抽取的人数为 10× =2 人 （III ）由（ II ）知，所抽5 人中有 3 人是在 40， 50）年龄段中取得，记为A1，A2，A3； 有 2 人是在 50，60）年龄段中取得，记为B1 ，B 2， 从 5 人中再抽取2 人作为本次活动的获奖者的可能有（A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，B1） ， （A 1 ，B 2） ， （A2 ，A 3） ， （A2 ，B 1） ， （A2 ，B 2） ， （A3 ，B 1） ， （ A3 ，B 2） ， （B1 ，B 2）共 10 种， 其中 50，60）年龄段仅1人获奖的情况有（A1，B1） ， （A1， B2） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A3，B1） ， （A3，B2）共6 种， 50，60）年龄段仅1 人获奖的概率为P= 17已知函数f（x）=cos4x2sinxcosxsin4x