2018北京卷理科数学高考真题+答案.pdf

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合A= x|x|f（0）对任意的x（ 0，2都成立，则f（x）在 0，2上是增 函数”为假命题的一个函数是_ （14）已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：，双曲线 22 22 1 xy N mn ：若双曲线N 的两条渐近线 与椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离 心率为 _；双曲线N 的离心率为 _ 三、解答题共6小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题13 分） 在 ABC 中， a=7，b=8，cosB= 1 7 （）求 A； （）求 AC 边上的高 （16） （本小题14 分） 如图，在三棱柱ABC- 111 A BC 中，1 CC 平面 ABC，D，E，F，G 分别为1 AA ， AC， 11 AC ，1 BB的中点， AB=BC = 5 ，AC= 1 AA=2 （）求证： AC平面 BEF； （）求二面角B-CD - C1的余弦值； （）证明：直线FG 与平面 BCD 相交 （17） （本小题12 分） 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数140 50 300 200 800 510 好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 （）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影 的概率； （） 从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部， 估计恰有 1部获得好评的概率； （） 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用 “1 k” 表示第k 类电影得到人们喜欢， “0 k”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k=1， 2，3，4，5，6） 写出方差1 D ，2 D ，3 D ，4 D ，5 D ，6 D 的大小关系 （18） （本小题 13分） 设函数( )f x= 2 (41)43axaxa e x （）若曲线 y= f （x）在点（ 1，(1)f）处的切线与x轴平行，求 a； （）若( )f x 在x=2处取得极小值，求a的取值范围 （19） （本小题14 分） 已知抛物线C： 2 y =2px 经过点P（1，2） 过点 Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两 个不同的交点A，B，且直线PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N （）求直线l 的斜率的取值范围； （）设 O 为原点，QMQO，QNQO，求证： 11 为定值 （20） （本小题 14分） 设 n 为正整数，集合A= 12 |( ,),0,1,1,2, nk t tttkn 对于集合A 中的 任意元素 12 (,) n x xx 和 12 (,) n yyy ，记 M（ ， ）= 11112222 1 (|)(|)(|) 2 nnnn xyxyxyxyxyxy （）当 n=3 时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求 M（ , ）和 M（,）的值； （）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,，当,相 同时， M（，）是奇数；当,不同时， M（，）是偶数求集合B 中元素个 数的最大值； （）给定不小于2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的 元素,， M（，）=0写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 （1）A （2）D （3）B （4）D （5）C （6） C （7）C （8）D 二、填空题 （9）63 n an（10） 12（11） 2 3 （12）3 （13）( )f x=sinx（答案不唯一）（14）312 三、解答题 （15） （共 13 分） 解：（）在 ABC中，cosB= 1 7 ，B（ 2 ，），sinB= 24 3 1cos 7 B 由正弦定理得 sinsin ab AB 7 sin A = 8 4 3 7 ， sinA= 3 2 B（ 2 ， ）， A（ 0， 2 ）， A= 3 （） 在 ABC 中， sinC=sin （A+B） =sinAcosB+sinBcosA= 31143 () 2727 = 3 3 14 如图所示，在ABC 中， sinC= h BC ， h=sinBCC= 3 33 3 7 142 ， AC 边上的高为 3 3 2 （16） （共 14 分） 解： （）在三棱柱ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC， 四边形A1ACC1为矩形 又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点， AC EF AB=BC AC BE， AC平面 BEF （）由（ I）知 ACEF，ACBE，EFCC1 又 CC1平面 ABC， EF平面 ABC BE平面 ABC， EFBE 如图建立空间直角坐标系E- xyz 由题意得B（0，2，0） ，C（ - 1，0，0） ，D（ 1，0，1） ，F（0，0，2） ，G（0，2，1） =(2 0 1)=(1 2 0)CDCB uuu ruur ， ， 设平面 BCD 的法向量为()a bc，n， 0 0 CD CB uu u r uur n n ， 20 20 ac ab ， 令 a=2，则 b=-1，c=- 4， 平面 BCD 的法向量(214)，n， 又平面CDC1的法向量为=(0 2 0)EB uur ， 21 cos= 21 | EB EB EB uu r uu r uur n n n 由图可得二面角B- CD-C1为钝角，所以二面角B- CD- C1的余弦值为 21 21 （）由（）知平面BCD 的法向量为(214)，n，G（0，2，1） ，F（0，0， 2） ， =(02 1)GF uuu r ，2GF uuu r n， n 与 GF uuu r 不垂直， GF 与平面 BCD 不平行且不在平面BCD 内， GF 与平面 BCD 相交 （17） （共 12 分） 解： （）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000 ， 第四类电影中获得好评的电影部数是200× 0.25=50 故所求概率为 50 0.025 2000 （）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为P（ ABAB）=P（ AB ）+P（ AB） =P（A） （1 P（B） ）+（1 P（A） ）P（B） 由题意知： P（A）估计为0.25，P（B）估计为 0.2 故所求概率估计为0.25× 0.8+0.75 × 0.2=0.35 （） 1 D 4 D 2 D= 5 D 3 D 6 D （18） （共 13 分） 解：（）因为( )f x = 2 (41)43axaxa e x ， 所以 f （x）=2ax （4a+1） e x+ax2 （ 4a+1）x+4a+3ex = ax 2 （2a+1）x+2ex f (1)=(1 a)e 由题设知f (1)=0，即 (1 a)e=0，解得 a=1 此时 f (1)=3e0 所以 a 的值为 1 （）由（）得 f （x）=ax 2 （2a+1）x+2e x= （ax 1）(x 2)e x 若a 1 2 ，则当 x( 1 a ，2)时，f (x)0 所以 f (x)在 x=2 处取得极小值 若 a 1 2 ，则当 x(0，2)时， x 20 所以 2 不是 f (x)的极小值点 综上可知， a 的取值范围是（ 1 2 ，+） （19） （共 14 分） 解： （）因为抛物线y2=2px 经过点 P（1，2） ， 所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为y 2=4x 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线 l 的方程为y=kx+1（ k 0） 由 2 4 1 yx ykx 得 22 (24)10k xkx 依题意 22 (24)410kk，解得 k0 或 0k1 又 PA， PB 与 y 轴相交，故直线l 不过点（ 1，-2） 从而 k - 3 所以直线l 斜率的取值范围是（- ， - 3）（ - 3，0）（ 0，1） （）设A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由（ I）知 12 2 24k xx k ， 12 2 1 x x k 直线 PA 的方程为 1 1 2 2(1) 1 y yx x 令 x=0，得点 M 的纵坐标为 11 11 21 22 11 M ykx y xx 同理得点N 的纵坐标为 2 2 1 2 1 N kx y x 由=QMQO uuuruuu r ，=QNQO uuu ruuu r 得 =1 My ，1 Ny 所以 22 121212 121 2 2 224 112()111111 =2 1 11(1)(1)11 MN k xxx xxx kk yykxkxkx xk k 所以 11 为定值 （20） （共 14 分） 解：（）因为 =（1，1，0）， =（0，1， 1），所以 M( ， )= 1 2 (1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2， M( ， ） = 1 2 (1+0 |1-0 |)+(1+1 |1 1|)+(0+1 |0 1|)=1 （）设 =（x1 ，x 2 ，x 3 ，x 4） B，则 M( ， ）= x1+x2+x3+x4 由题意知x1，x2，x3，x40，1 ，且 M( ， )为奇数， 所以 x1，x2，x3，x4中 1 的个数为1 或 3 所以 B (1 ，0，0，0），（ 0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1， 1，1)， (1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0). 将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1， 0，1，1)；（ 0，0，0， 1)，（ 0， 1，1，1). 经验证，对于每组中两个元素 ， ，均有 M( ， ）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素 所以集合B 中元素的个数不超过4. 又集合 （1，0，0，0），（ 0，1， 0，0），（ 0，0，1， 0），（ 0，0，0，1) 满足 条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4. （）设Sk=( x1， x2， xn）|( x1，x2， xn） A， xk =1，x1=x2=xk 1=0) （k=1，2， n)， Sn+1=( x1 ，x 2， xn ）| x 1=x2=xn=0 ， 则 A=S1 S1 Sn+1 对于 Sk（k=1，2， n 1）中的不同元素 ， ，经验证， M( ， ) 1. 所以 Sk（k=1，2 ， n 1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素 所以 B中元素的个数不超过n+1. 取 ek=( x1，x 2， xn） Sk且 xk+1=xn=0（k=1，2， n 1）. 令 B=（e1，e2， en 1） SnSn+1，则集合B 的元素个数为n+1，且满足条件. 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合