2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷.pdf

第 1 页（共 23 页） 2017 年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（2） 一、填空题（本题共14 个小题，每小题5 分，共 70 分） 1复数（i 为虚数单位）的模为 2已知向量=（1，2） ， =（3，2） ，则 ?（ ）= 3在标号为0，1，2 的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率 是 4已知一组数据 3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为 5如图是一个算法流程图，则输出的x 的值为 6若函数 f（x）=（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 7底面边长和高都为2 的正四棱锥的表面积为 8已知函数f（x）=sin（x + ） （ 0） ，如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有 f（x0）f （x）f（x0+2016 ）成立，则 的最小值为 9在正项等比数列 an 中，若 3a1，成等差数列，则= 10给出下列等式： =2cos， =2cos， 第 2 页（共 23 页） =2cos 请从中归纳出第n（nN*）个等式：= 11在平面直角坐标系xOy中，若直线 l：x+2y=0 与圆 C： （xa） 2+（yb）2=5 相切，且圆心 C在 直线 l 的上方，则 ab 最大值为 12 如图， 三个边长为 2的等边三角形有一条边在同一条直线上， 边 B3C3上有 10个不同的点 P1， P2， P10， 记 mi=?（i=1，2，3， ，10） ，则 m1+m2+ +m10的值为 13已知实数 x，y 满足，设 z=max 3xy，4x2y ，则 z的取值范围是 （max a，b表 示 a，b 两数中的较大数） 14设曲线 y= （ax1）ex在点 A （x0，y1）处的切线为 l1，曲线在点 B （x0，y2）处的切线为 l2若 存在 x0 0， ，使得 l1l2，则实数 a 的取值范围是 二、填空题（本大题共6 小题，共 90 分） 15在平面直角坐标系中，设向量=（cosA，sinA） ， =（cosB，sinB） ，其中 A，B 为ABC 的两个内角 （1）若，求证： C为直角； （2）若，求证： B 为锐角 16在三棱锥 PSBC中，A，D 分别为边 SB ，SC的中点，且 AB=3，BC=8 ，CD=5 PA BC （1）求证：平面 PSB 平面 ABCD ； （2）若平面 PAD 平面 PBC=l ，求证： lBC 第 3 页（共 23 页） 17如图，摄影爱好者在某公园A 处发现正前方B 处有一根立柱，测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底 部 B的俯角均为，设摄影爱好者的眼睛（S ）离地面的高度为m （1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度； （2）立柱的顶端有一长2 米的彩杆 MN，绕其中点 O 在 SA与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有 一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说 明理由 18如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B 是圆 O：x 2+y2=1与 x 轴的两个交点（点 B在点 A 右侧） ， 点 Q（2，0） ，x 轴上方的动点 P使直线 PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列 （1）求证：动点 P的横坐标为定值； （2）设直线 PA ，PB与圆 O 的另一个交点为 S，T，求证：点 Q，S，T 三点共线 第 4 页（共 23 页） 19已知定义在 R上的函数 f（x）=， （其中 a0）的图象不间 断 （1）求 m，n 的值； （2）若 a，b 互为相反数，且 f（x）是 R上的单调函数，求a 的取值范围； （3）若 a=1，bR，试讨论函数 g（x）=f（x）+b 的零点个数，并说明理由 20若存在非零常数 p，对任意的正整数n，an+12=anan+2+p，则称数列 an 是“T数列” （1）若数列 an 的前 n 项和 Sn=n2（nN*） ，求证： an 是“T数列” ； （2）设 an是各项均不为 0 的“T数列” 若 p0，求证： an 不是等差数列； 若 p0，求证：当 a1，a2，a3成等差数列时， an是等差数列 选修 4-1：几何证明选讲 21如图，已知 ABC的两条内角平分线AD，BE交于点 F，且C=60° 求证：C，D，E，F四点共圆 选修 4-2：矩阵与变换 22已知矩阵 A=，B=满足 AX=B ，求矩阵 X 选修 4-4：坐标系与参数方程 23设点 A 为曲线 C：=2cos在极轴 Ox 上方的一点，且0AOx ，以 A 为直角顶点， AO为 一条直角边作等腰直角三角形OAB （B在 A 的右下方），求点 B的轨迹方程 选修 4-5：不等式选讲 第 5 页（共 23 页） 24已知 a，b，c，d 满足 a+b=cd=1，求证： （ac+bd） （ad+bc）1 【必做题】 25假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P（0P1） 现有 3 次投篮机会，并规定连续两次投篮 均不中即终止投篮已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3 次投篮机会的概率是 （1）求 P的值； （2）设该运动员投篮命中次数为 ，求 的概率分布及数学期望E（ ） 26设函数 fn（ ）=sinn +cos n ，nN* ，且 f1（ ）=a，其中常数 a 为区间（ 0，1）内的有理数 （1）求 fn（ ）的表达式（用 a 和 n 表示） （2）求证：对任意的正整数n，fn（ ）为有理数 第 6 页（共 23 页） 2017 年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（2） 参考答案与试题解析 一、填空题（本题共14 个小题，每小题5 分，共 70 分） 1复数（i 为虚数单位）的模为 【考点】 A8：复数求模 【分析】 由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数求模公式计算得答案 【解答】 解：=， 则复数的模为： 故答案为： 2已知向量=（1，2） ， =（3，2） ，则?（ ）=4 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量数量积的坐标表示，进行计算即可 【解答】 解：向量=（1，2） ， =（3，2） ， =（4，0） ， ?（ ）=1×4+2×0=4 故答案为： 4 3在标号为 0，1，2 的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 【考点】 CB ：古典概型及其概率计算公式 【分析】 根据题意可得：所有的基本事件有3 个，再计算出符合条件的事件数为2 个，进而结合古典 概率的计算公式得到答案 【解答】 解：根据题意可得此概率模型是古典概率模型， 从 53 张卡片中随机抽取2 张共有的取法有 C3 2=3 种， 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的取法为0，1 与 1，2，2 种， 第 7 页（共 23 页） 所以根据古典概率的计算公式可得：取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 故答案为： 4已知一组数据 3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为 【考点】 BC ：极差、方差与标准差 【分析】 先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出这组数据的标准差 【解答】 解：一组数据 3，5，4，7，6， 这组数据的平均数=（3+5+4+7+6）=5， 这组数据的方差为： S 2= （35） 2+（55）2+（45）2+（75）2+（65）2 =2， 这组数据的标准差S= 5如图是一个算法流程图，则输出的x 的值为 【考点】 EF ：程序框图 【分析】 模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n 的值，当 n=6时，满足条件 n5，退出 循环，输出 x 的值为 【解答】 解：模拟执行算法流程，可得 n=1，x=1 第 8 页（共 23 页） x=，n=2 不满足条件 n5，x=，n=3 不满足条件 n5，x=，n=4 不满足条件 n5，x=，n=5 不满足条件 n5，x=，n=6 满足条件 n5，退出循环，输出x 的值为 故答案为： 6若函数 f（x）=（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为1 【考点】 3L：函数奇偶性的性质 【分析】 由函数的奇偶性易得f（1）=f（1） ，解 m 的方程可得 【解答】 解：函数 f（x）=（e 为自然对数的底数）是奇函数， f（1）=f（1） ， = ， m=1 故答案为： 1 7底面边长和高都为2 的正四棱锥的表面积为4+4 【考点】 LE ：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】 由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为 2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加 上底面积后，可得答案 【解答】 解：如下图所示：正四棱锥S ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为 BC中点， 在 RtSOE中，OE= AB=1， 则侧高 SE= ， 第 9 页（共 23 页） 故棱锥的表面积S=2 ×2+4×（×2×）=4+4 故答案为： 4+4 8已知函数f（x）=sin（x + ） （ 0） ，如果存在实数 x0，使得对任意的实数x，都有 f（x0）f （x）f（x0+2016 ）成立，则 的最小值为 【考点】 H2：正弦函数的图象 【分析】 根据条件 f（x0）f（x）f（x1+2016 ）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的 周期的性质建立不等式关系即可得到结论 【解答】 解：函数 f（x）=sin（x + ） （ 0） ，如果存在实数 x0， 使得对任意的实数x，都有 f（x0）f（x）f（x0+2016 ）成立， 则 f（x0）为函数的最小值， f（x0+2016 ）为函数的最大值， 则 x0+2016 x0 =n?=2016 ，T=，=2016 ， 即 =×=，nN ?，当 n=1时，= 为最小值， 故答案为： 9在正项等比数列 an 中，若 3a1，成等差数列，则= 【考点】 88：等比数列的通项公式 【分析】设正项等比数列 an 的公比为 q0， 根据 3a1，成等差数列，可得： 2×=3a1+2a2， 即=3a1 +2a 1q，解出 q，再利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设正项等比数列 an 的公比为 q0，3a1， 成等差数列， 2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q， 第 10 页（共 23 页） q22q3=0，q0， 解得 q=3 则= 故答案为： 10给出下列等式： =2cos， =2cos， =2cos 请从中归纳出第n（nN*）个等式：=2cos 【考点】 F1：归纳推理 【分析】 通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n 个等式即可 【解答】 解：因为=2cos， =2cos， =2cos ， 等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为角的余弦值，角满足：， 所以=2cos 故答案为： 2cos 11在平面直角坐标系xOy中，若直线 l：x+2y=0 与圆 C： （xa） 2+（yb）2=5 相切，且圆心 C在 直线 l 的上方，则 ab 最大值为 【考点】 J7：圆的切线方程 【分析】 根据直线和圆相切求出a，b 的关系式，结合基本不等式进行求解即可 第 11 页（共 23 页） 【解答】 解：直线和圆相切， ， 圆心 C在直线 l 的上方， a+2b0，从而 a+2b=5， ab ，当且仅当 a=2b，即 a=，b=时取等号， 故 ab 的最大值为， 故答案为： 12 如图， 三个边长为 2的等边三角形有一条边在同一条直线上， 边 B3C3上有 10个不同的点 P1， P2， P10， 记 mi=?（i=1，2，3， ，10） ，则 m1+m2+ +m10的值为180 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 以 A 为坐标原点， AC1所在直线为 x 轴建立直角坐标系，可得B2（3，） ，B3（5，） ，C3 （6，0） ，求出直线 B3C3的方程，可设 Pi（xi，yi） ，可得xi +y i=6，运用向量的数量积的坐标表示， 计算即可得到所求和 【解答】 解：以 A 为坐标原点， AC 1所在直线为 x 轴建立 直角坐标系， 可得 B2（3，） ，B3（5，） ，C3（6，0） ， 直线 B3C3的方程为 y=（x6） ， 可设 Pi（xi，yi） ，可得xi+yi=6， 即有 mi=?=3xi+yi =（xi+yi）=18， 则 m1+m2+ +m10=18×10=180 故答案为： 180