函数的性质——奇偶性、单调性、周期性.pdf

第三节函数的性质 奇偶性、单调性、周期性 考纲解读 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题. 2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质. 命题趋势研究 有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值 域） 、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单 调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查. 知识点精讲 函数奇偶性 定义 设DDxxfy(),(为 关 于 原 点 对 称 的 区 间 ）， 如 果 对 于 任 意 的Dx， 都 有 )()(xfxf， 则 称 函 数)(xfy为 偶 函 数 ； 如 果 对 于 任 意 的Dx， 都 有 )()(xfxf，则称函数)(xfy为奇函数 . 性质 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数)(xf是偶函数函数)(xf的图象关于y轴对称； 函数)(xf是奇函数函数)(xf的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数)(xfy在0x处有意义，则有0)0(f； 偶函数)(xfy必满足|)(|)(xfxf. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于 原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数 )(xf 的定义域关于原点对称，则函数 )(xf 能表示成一个偶函数与一个奇函数的 和的形式 .记)()( 2 1 )(xfxfxg，)()( 2 1 )(xfxfxh，则)()()(xhxgxf. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则 运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(xgxfxgxfxgxfxgxf. 对于运算函数有如下结论：奇奇 =奇；偶偶=偶；奇偶 =非奇非偶； 奇)(奇=偶；奇)(偶 =奇；偶)(偶 =偶. （7）复合函数)(xgfy的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 函数的单调性 定义 一般地，设函数)(xf的定义域为D， 区间DM， 若对于任意的Mxx 21,， 当21 xx时， 都有)()( 21 xfxf（或)()( 21 xfxf） ，则称函数)(xf在区间 M 上是单调递增（或单调 递减）的，区间M 为函数)(xf的一个增（减）区间. 注： 定义域中的Mxx 21, 具有任意性，证明时应特别指出“ 对于任意的Mxx 21, ”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的. 熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式： 设, 21 baMxx 且21 xx ，则)(0 )()( 21 21 xf xx xfxf 在,ba上是增函数过 单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零0)()()( 2121 xfxfxx. )(0 )()( 21 21 xf xx xfxf 在,ba上是减函数过单调递减函数图象上任意不同两点的 割线的斜率恒小于零0)()()( 2121 xfxfxx. 性质 对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减 +减=减；增 -减 =增；减 -增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“ 增× 增=增” 不一定成立；“ 若)(xf为增函数，则 )( 1 xf 为减函数 ” 也是错误的 .如)0,()(xRxxxf，则 xxf y 1 )( 1 为减函数是不正 确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立: 若)(xf为增函数，且(0)(xf或)(xf0） ，则 )( 1 xf 为减函数 . 若)(xf为减函数，且(0)(xf或)(xf0） ，则 )( 1 xf 为增函数 . 复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“ 同增异减 ” ，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内 层函数是增 （减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增 （减）函数，内层函数是减（增） 函数，复合函数是减函数. 函数的周期性 定义 设 函 数)(Dxxfy， 如 存 在 非 零 常 数T ， 使 得 对 任 何DTxDx,， 且 )()(xfTxf，则函数)(xf为周期函数， T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在 一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期. 注：函数的周期性是函数的“ 整体 ” 性质，即对于定义域D 中的任何一个x，都满足 )()(xfTxf；若)(xf是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合. 性质 若)(xf的周期为T， 则)0,(nZnnT也是函数)(xf的周期，并且有)()(xfnTxf. 有关函数周期性的重要结论（如表所示） ()( ) ()( )2 11 ();()2 ( )( ) ()()2 ()()4 ()() 2() ()() ()() 2 ( ) ()() 2() ()() ( xR f xTf xT f xTf xT f xTf xTT f xf x f xTfxTT f xTf xTT f axf ax ba f bxf bx f axf ax a f x f axf ax ba f bxf bx f a 函数式满足关系（）周期 为偶函数 )() 2 ( ) ()() 4() ()() ()() 4 ( ) ()() 4 ( ) xf ax a f x f axf ax ba f bxf bx f axf ax a f x f axf ax a f x 为奇函数 为奇函数 为偶函数 函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数)(xfy有两条对称轴)(,babxax，则函数)(xf是周期函数，且 )(2abT； （2）若函数)(xfy的图象有两个对称中心)(,(),(bacbca，则函数)(xfy是周期 函数，且)(2abT； （3）若函数)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)(0,(bab，则函数)(xfy 是周期函数，且)(4abT. 题型归纳及思路提示 题型 16 函数的奇偶性 思路提示： 判断函数的奇偶性，常用以下两种方法： （1）定义法 .首先看定义域是否关于原点对称；若)()(xfxf，则函数)(xf为奇 函数；若)()(xfxf，则函数)(xf为偶函数 . （2）图像法 .根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(xf的图像关于原点中心对称，则 )(xf为奇函数；若函数)(xf的图像关于y轴对称，则)(xf为偶函数 . 【例 2.25】判断下列函数的奇偶性. （1） 3|3| 36 )( 2 x x xf； （2） 11)( 22 xxxf； （3） )1(log)( 2 2 xxxf； （4） 2|2| )1(log )( 2 2 x x xf； （5） )0( )0( )( 2 2 xxx xxx xf. 解析（1）由 3|3| 36 )( 2 x x xf可知 60 66 03|3| 036 2 xx x x x 且 ，故函数)(xf的 定义域为6006|xxx或，定义域不关于原点对称，故)(xf为非奇非偶函数. (2)由11 01 012 2 2 xx x x ，故函数)(xf的定义域为 1 , 1，关于原点对称，故 0)(xf，所以)()()(xfxfxf，所以函数)(xf既是奇函数又是偶函数. (3)因 为 对 任 意 实 数x， 都 有0|1 2 xxxx， 故 定 义 域 为R. 且 )()1(log 1 1 (log)1(log)( 2 2 2 2 2 2 xfxx xx xxxf），故)(xf 为奇函数 . (4)由1001 02|2| 01 2 xx x x 或，定义域关于原点对称. 此时， x x x x xf )1 (log 2|2| )1 (log )( 2 2 2 2 ，故有)()(xfxf，所以)(xf为奇函数 . (5)当0x时，)()(, 0 2 xfxxxfx；当0x时， )()(,0 2 xfxxxfx.故)(xf为奇函数 . 评注利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点： 首先必须判断)(xf的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数. 若关于原点对称，则对定义域任意x说明满足定义 .若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. 有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例 （2） ，若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数. 本例（3）若用奇偶性的等价形式，则 01log)1(log)1(log)()( 2 2 2 2 2 xxxxxfxf，即)()(xfxf， 故)(xf为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较 复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便. 变式 1： 判断下列函数的奇偶性. （1） x x xxf 1 1 ) 1()(； （2） 2 4 |3|3 )( x x xf ； （3） )1(2 )11(0 ) 1(2 )( xx x xx xf； （4）|2|2|)(xxxf. 变式 2： 已知函数 2lg)2lg()( 2 xxxf，试判断其奇偶性. 【例 2.26】已知函数),0()( 2 Rxx x a xxf，试判断其奇偶性. 分析利用函数奇偶性的定义进行判断. 解析当0a时， 2 )(xxf，满足)()(xfxf，故)(xf为偶函数； 当0a时， x a xxf x a xxf 22 )(,)(，假设)()(xfxf对任意Rx，0x恒 成立，则此时0a，与前提矛盾； 假设)()(xfxf对任意Rx，0x恒成立， 则此时02 2 x，即0x，与条件定义 域,0|Rxxx矛盾 . 综上所述，当0a时，)(xf为偶函数；当0a时，函数)(xf为非奇非偶函数. 评 注 函 数)(xf是 奇 函 数0)()(xfxf； 函 数)(xf是 偶 函 数 0)()(xfxf.奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称. 若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例. 本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由 2 x与 x a 通过 加法法则运算得到的函数，而 2 xy为偶函数，)0(a x a y为奇函数，故当0a时， )(xf为“ 偶+奇” 形式，故为非奇非偶函数；当0a时，则 2 )(xxf为偶函数 . 变式 1： 函数)() 12 2 1()(xfxF x 是偶函数，并且)(xf不等于零，则)(xf是（） A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数 变式2：对于函数Rxxfy),(，“|)(|xfy的图象关于y轴对称 ” 是“)(xf是奇函数 ” 的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【 例2.27 】定 义 在实 数集 上 的 函数)(xf，对 任意Ryx,都有 )()(2)()(yfxfyxfyxf，且0)0(f，试判断)(xf的奇偶性 . 分析对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(xf与)( xf的关系 . 解 析由 函 数 定 义 域 为R 可 知 定 义 域 关 于 原 点 对 称 .依 题 意 可 令0,0 yx， 得 2 )0(2)0(2ff， 因为0)0(f，所以1)0(f.令0x，可得)(2)()(yfyfyf， 即)()(yfyf，所以)()(xfxf，故函数)(xf为偶函数 . 评注对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1, 1 ,0x等）凑成含有)(xf与 )(xf的关系的式子，然后进行判断. 变式 1：已知函数)(xf在 R 上有定义，且对任意Ryx,都有)()()(yfxfyxf， 试判断)(xf的奇偶性 . 变式 2： 若定义在 R 上的函数)(xf满足对任意Rxx 21, 有1)()()( 2121 xfxfxxf， 则下列说法正确的是（） A.)(xf是奇函数B.)(xf是偶函数C.)(xf+1 为奇函数D.)(xf+1 为偶函数 变 式3 ： 已 知 函 数)(xf在)1 ,1(上 有 定 义 ， 且 对 任 意)1 , 1(,yx都 有 ) 1 ()()( xy yx fyfxf，试判断函数)(xf的奇偶性 . 变 式4 ： 已 知)(xf，)(xg在R上 有 定 义 ， 对 任 意 的Ryx,， 有 )()()()()(yfxgygxfyxf，且0)1(f. (1)求证： )(xf 为奇函数； (2)若)2()1(ff，求)1() 1(gg的值 . 【 例2.28】 已 知 偶 函 数1)1 ()( 23 mxxaxf的 定 义 域 为),83( 2 mmm， 则 am2_. 分析定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件. 解析因为)(xf为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以083 2 mm，且 mmm83 2 ，解得4m.由函数)(xf为偶函数得 3 x的系数为0，则01 a，即 1a，故62am. 变式 1： 若函数 )(12( )( axx x xf为奇函数，则a（） 2 1 .A 3 2 .B 4 3 .C1.D 变式 2： 若函数)2(log)( 22 axxxf a 是奇函数，则a_. 变式 3： 若axf x 12 1 )(是奇函数，则a_. 变式 4： 函数k k k xf x x ( 21 2 )(为常数）为其定义域上的奇函数，则k_. 变式 5： 函数)1)( 1 1 (log)(a x kx xf a 为其定义域上的奇函数，则k_. 【例 2.29】已知函数)(xf是定义在R 上的偶函数，当)0,(x时， 4 )(xxxf，则 当),0(x时，)(xf=_. 解析当0x时，则 44 )()()(,0xxxxxfx，因为)(xf是偶函数， 所以 )(xf 4 )(xxxf，故当),0(x时， 4 )(xxxf. 评注解此类题分三步： 第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范 围；第 2 步将转化后的自变量代入已知解析式；第3 步利用函数的奇偶性求出解析式. 变式 1：已知函数)(xf为 R 上的奇函数， 且当0x时， 2 )(xxxf，求函数)(xf的解 析式 . 【例2.30】已知)(xf为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(xf一定可以写成 一个奇函数与一个偶函数之和的形式. 分析先设)(xf能写成一个函数)(xg和一个偶函数)(xh之和，再利用奇偶函数的定义列 方程组，解方程组即得. 解析先假设存在)()()(xhxgxf 其中)(xg为奇函数，)(xh是偶函数，则)()()()()(xhxgxhxgxf 由 +得， 2 )()( )( xfxf xh，由 -得， 2 )()( )( xfxf xg. 由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数)(xf，都可以写成一个奇函数与一个 偶函数之和 . 变式1 ： 已 知定义在R上的 奇函 数)(xf和偶函 数)(xg满足 )1,0(2)()(aaaaxgxf xx .若ag)2(，则)2(f=（） 2.A 4 15 .B 4 17 .C 2 .aD 变式 2：设函数)(xf和)(xg分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（） A.| )(|)(xgxf是偶函数|)(|)(.xgxfB是奇函数 )(|)(| .xgxfC是偶函数)()(| .xgxfD是奇函数 【例 2.31】函数)(1sin)( 3 Rxxxxf，若2)(af，则)( af的值为（） 3.A0.B1.C2.D 分析函数1sin)( 3 xxxf中xxysin 3 为奇函数，借助奇函数的性质求解. 解析令xxxgsin)( 3 ，得1)()(xgxf，依题意得，21)(ag，所以1)(ag. 由)(xgy为奇函数，故1)()(agag，所以01)()(agaf，故选 B. 评注本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(xf为奇 函数时，0)()(xfxf，特别地0)()( maxminxfxf . 变式1：对于函数cbxxaxfsin)(（其中ZcRba,） ，选取cba,的一组计算 )1(f和)1(f，所得出的正确结果一定不可能是（） A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 变 式2 ： 已 知 函 数),(4sin)( 3 Rbaxbaxxf，5)10(lg(log2f， 则 )2(lg(lgf( ) A.5B.5C.3D.4 变式 3： 设函数 1 sin)1( )( 2 2 x xx xf的最大值为M，最小值为m，则._nM 题型 17 函数的单调性（区间） 思路提示 判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法. 【例 2.32】求证：函数)0()(a x a xxf在),a上是增函数 . 分析利用函数单调性的定义来证明. 解析设任意的两个实数), 21 axx 且21 xx ，则有 )1)()()()( 21 21 21 2121 xx a xx x a x a xxxfxf（. 因 为),21axx， 所 以 axx 21 ，0,01 21 21 xx xx a ，)()(0)()( 2121 xfxfxfxf ， 故)(xf在 ),a 上是增函数 . 评注利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值； （2）作差比较；（3）定量； （ 4） 判断 .解题时注意所设的 21, x x在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特 殊自变量说明不满足即可. 变式 1：已知函数)(xf对任意Ryx,，满足2)()()(yxfyfxf，当0x时， 2)(xf，求证：)(xf在 R 上是增函数 . 变式 2： 定义在 R 上的函数0)0(),(fxfy， 当0x时，1)(xf， 且对任意的Rba,， 有)()()(bfafbaf. （1）求证：1)0(f； （2）求证：对任意的Rx，恒有0)(xf； （3）证明：)(xf是 R 上的增函数； （4）若1)2()( 2 xxfxf，求x的取值范围 . 【例 2.33】 设),(a是函数5|4 2 xxy的一个减区间， 则实数a的取值范围是 （） ),2.A2,.(B),2.C2,.(D 分析作出函数的图象，找出递减区间，从而确定a的取值范围 . 解析由5|4 2 xxy得，)()(xfxf，知)(xfy为偶函数，其图象关于y轴对 称.只要画出当0x时的图象，然后作出其关于y轴对称的图形即可得到0x部分的图 象，如图所示 .可知，若),(a为函数)(xf的减区间，则2a.故选 B.