动点产生的直角三角形.pdf

1 动点产生的直角三角形 1.理解直角三角形的性质； 2.能用直角三角形的性质解决相关问题； 3.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程； 4.培养学生分析问题、解决问题的能力。 知识结构 【备注】： 1.此部分知识点梳理，根据第1 个图先让学生回顾直角三角形的性质，为后面习题讲解铺垫 基础； 2 再根据第2 个图引导学生总结直角三角形题型。时间5 分钟左右完成。 一直角三角形性质回顾： 、 二动点产生的直角三角形题型分类总结： 2 例 1.将二次函数 2 2xy(如图 1)向右平移1 个单位所得的二次函数的图象的顶点为点D， 并与y轴交于点A。 （） （ 1）写出平移后的二次函数的对称轴与点A 的坐标； （ 2） 设平移后的二次函数的对称轴与函数 2 2xy的交点为点B， 能否在函数 2 2xy的 图象上找一点P，使DBP 是以线段DB 为直角边的直角三角形？若能，请求出点 P的坐标；若不能，请简要说明理由。 【参考教法】 ：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一寻找题目中的已知条件和特殊条件： 1.有函数平移，能写出平移后的函数解析式吗？提示：让学生写。 2.哪些点的坐标可求解？提示：点AD、的坐标可求解。 3.能根据条件画一下大致图象吗？ 二当DBP 是以线段DB 为直角边的直角三角形时： 【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2. 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读 题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、 不变的量、 隐藏的量 等等） ，使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思； 3. 可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合； 注意边讲解边让学生计算， 加强师生之间的互动性， 让学生参与到例题 的分析中来； 4. 例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲 边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5. 引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6. 部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7. 每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题 7 分钟，选讲例题 在时间足够的情况下讲解。 3 1.哪些点确定？哪些点在动？提示：点BD、确定，点P在函数 2 2xy的图象上动； 2.是否规定直角边？提示：已指定DB 为直角边。 3.需不需要讨论？提示：需要。 4.怎么讨论？提示：分DBP=90 0 和 PDB=90 0 两个情况讨论。 5 怎么计算？提示：可让学生自己算算看。 当 DBP=90 0 时：则BPx 轴，所以点BP、纵坐标相同； 当 PDB=90 0 时：因为BDx轴，所以点 P在x轴上。 6.通过本题的解答，你有什么收获吗？ 【满分解答】 ： （1）平移后的二次函数的对称轴为直线1x 点 A 的坐标（ 0，2） （2）能 . 当 DBP=90 0 时，BPx 轴 DBA=90 0 即点 P 在直线 AB 上，直线AB 为：2y 把2y代入 2 2xy得：1x（正值舍去） 即点 P 的坐标为)2, 1( 当 PDB=90 0 时：BDx轴 BDO=90 0 即点 P 在x轴上，又点P在函数 2 2xy上， 所以点 P 与点 O 重合， 即点 P 的坐标为)0 ,0( 综上可得：所以点P 的坐标为)2 ,1(、)0, 0(。 练习 1.如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ - 2，0） ，点 B 是点 A 关于原点的 对称点， P 是函数)0( 2 x x y图像上的一点，且ABP 是直角三角形。 （） （ 1）求点 P 的坐标； （ 2）如果二次函数的图像经过A、B、P 三点，求这个二次函数的解析式。 【解法点拨】 ：可参考一下方法解答本题： 一题目分析： 1.点的坐标：点AB、已知，点P可以求解； 2.特殊图形： ABP 是直角三角形。 二题目求解： 4 1.求解点P的坐标：设坐标，用“ABP 是直角三角形 +P 是函数)0( 2 x x y图像上的一 点”列方程组解答。注意分内讨论和取舍答案。 2.求解函数解析式，二次函数经过三点，用待定系数法求解。 3.注意小题回顾总结。 【满分解答】 ： （1）过点 P 作 PHOA，垂足为点H 点 P 在直线xy2上，设点P 的坐标为)2,(xx P AO=45°， PHOA， PAO=APH=45° PH=AH=2x 点 A的坐标为（ 3,0） ， 32xx 1x 点 P 的坐标为（ 1,2） （2）设所求的二次函数解析式为)0 2 acbxaxy（ 图像经过P（1,2） 、O（0,0） 、A（3,0）三点， .390 ,0 ,2 cba c cba 解得 .0 ,3 ,1 c b a 所求的二次函数解析式为xxy3 2 。 顶点 M 的坐标为（ 2 3 ， 4 9 ） 例 2.在直角坐标平面内，O为原点，二次函数 2 yxbxc的图像经过A（ - 1，0）和点 B（0，3） ，顶点为P。 （） （1）求二次函数的解析式及点P 的坐标； （2）如果点Q 是 x 轴上一点，以点A、 P、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐 标。 【参考教法】 ：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 二寻找题目中的已知条件和特殊条件： 1.哪些点的坐标已知？哪些点的坐标可求？提示：点AB、的坐标已知，点 P的坐标可 求； 2.二次函数经过了哪些已知点？提示：二次函数经过了点AB、。 三求解二次函数解析式，根据二次函数经过了两点，可以直接计算求解。 三当以点A、P、Q 为顶点的三角形是直角三角形时： 5 1.哪些点确定？哪些点在动？提示：点AP、确定，点Q在x轴上动； 2.有没有指定直角边或直角顶点？提示：没有。 3.需要分类讨论吗？提示：需要。 4.怎么讨论？提示：分 AQP=90° 、 APQ=90、° P AQ=90° 三个情况讨论。 5.怎么计算？提示： 当 AQP=90° 时：则 222 AQPQAP，用两点间距离公司计算即可。 当 AQP=90° 时： 222 APPQAQ，用两点间距离公司计算即可。 当 AQP=90° 时：不合题意。 6.同本题的解答，你对直角三角形的求解问题点思路了没？说说看。（提问学生） 【满分解答】 ： （1） 由题意，得 10 3 bc c 解得2b，3c 二次函数的解析式是 2 23yxx 2 2 2314yxxx， 点 P 的坐标是（ 1，4） （2） P（1，4） ，A（- 1，0） 2 AP =20 设点 Q 的坐标是（ x，0） 则 2 2 1AQx， 2 2 116PQx 当 AQP=90° 时， 222 AQPQAP， 22 111620xx， 解得 1 1x， 2 1x（不合题意，舍去） 点 Q 的坐标是（ 1， 0） 当 APQ=90° 时， 222 APPQAQ， 22 201161xx， 解得9x， 点 Q 的坐标是（ 9， 0） PAQ=90° 不合题意。 综上所述，所求点P的坐标是（ 1，0）或（ 9，0） 【备注】：本部分总结解题方法和策略，师生共同总结，大概5 分钟左右。 动点产生的直角三角形问题的解题方法和策略： 1.寻找题目中的已知量； 2.观察能否利用“特殊点”、 “交点”求解； 3.如不能，则利用勾股定理解答； 4.注意：分类讨论，部分题目利用好锐角三角比。 6 【备注】：该部分为测试，让学生独立完成，之后批改并评分，在讲解。满分10 分，时间 15 分钟左右。 1. 已知点 P 是函数xy 2 1 （ 0x）图像上一点，PAx 轴于点 A，交函数 x y 1 （ 0x） 图像于点M, PBy 轴于点 B，交函数 x y 1 （ 0x）图像于点N.（点 M、N 不重合） （1）证明： MNAB； （如图）（4 分） （2）试问： OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请 说明理由 .（ 6 分） （） 【解法点拨】 ：可以通过以下方法求解本题。 一寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：点P可设为2 ,a a （0a） ，则点ABMN、 、的坐标可用含有a的代 数式表示； 2.注意看清楚题目中的两个函数式，不要弄乱了。 二证明MNAB，可用基本图形的比利式证明，即证明 PNPM PBPA ，也可以用直线平行 证明。 三当 OMN 为直角三角形时： 1.点的位置：点O确定，点MN、运动； 2.分类讨论计算：分 90ONM、90OMN、=90MON计算： 当90ONM 时：用 222 ONNMOM既可以求解。 当 90OMN时：用 222 OMNMON既可以求解。 当=90MON 时：不成立。 3. 题目小结，注意取舍答案。 7 【满分解答】 ： （1）令点 P 为aa,2， （a0）（1 分） 则 a a N a aMaBaA, 1 , 2 1 ,2,0,0 ,2， 2 1 1 2 2 1 , 2 1 2 a a a a PN PM a a PB PA ，（1 分） 即 PN PM PB PA （1 分） MNAB.（1 分） （2）由（ 1）得， 2222 22 11 4 4 ONaOMa aa ， 2 2 22 2 4 5 55 2 11 2 a aa aa aMN， 当 90ONM时：则 222 ONNMOM； 有 2 2 2 2 2 2 4 5 55 1 4 1 4 a a a a a a， 解得 2 2 ,2 21 aa( 舍去 ) ，即点 P 为2,22. （2 分） 同理当90OMN 时，点 P 为 4 2 , 2 2 . （2 分） 当=90MON 时：不成立。 1分 综上所述，当点P 为2,22与 4 2 , 2 2 时，能使 OMN 为直角三角形 .1分 8 【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学 生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知 识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。 教师：本专题你有哪些收获和感悟？