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历年自主招生试题分类汇编三角函数 7. （2014 年北约） 证明tan3是无理数 . 【证明】由三角公式 2 2tantantan tan2,tan() 1tan1tantan , 若tan3是有理数 ,则tan6 ,tan12 ,tan 24为有理数 ,再由tan 6和tan24可得tan 30为有 理数 ,这与 3 tan30 3 为无理数矛盾!因此 ,tan3是无理数 . 法二：设 0 tan3Q，则 000 tan6tan12QQQQ，这与 0 3 tan30 3 Q矛盾 9 （ 2013 年北约） 对于任意的，求2cos154cos66coscos32 6 的值 解析42c o s122cos122cos4) 2 2cos1 (32cos32 2336 ， 2c o s32c o s46c o s 3 ， 62c o s124cos6 2 ， 2c o s152cos15， 各式相加，得102cos154cos66coscos32 6 题 7（2012 年北约） 求使得 sin 4 sin 2sinsin3xxxx a 在 0,上有唯一解的a。 解：设 11 sin4sin2sinsin3cos6cos2cos4cos2 22 fxxxxxxxxx 1 cos6cos4sin5sin 2 xxxx sin 55sinsin5 sinfxxxxxfx fx关于直线 2 x对称 故fxa在0,上有唯一解，只能0x或 2 x 当0x时，0a，此时 sinsin 50xx在0,上不是唯一解，舍去 当 2 x时，1a，此时 sinsin51xx 0,时， sin0x sin1x且 sin51x，得 2 x为唯一解1a 评析： 本题要求掌握函数对称性与三角函数知识，考查学生知识应用的迁移能力。 4.（2011 年北约） 在ABC 中,2abc , 求证 :60C. 【解】由正弦定理 sinsinsin abc ABC 知, 2sinsin2sin2sincos2sin 22 ABAB abcABCC 又因为sinsin()cos,sin2sincos 222222 ABCCCC C, 所以 ,coscos2sincos 2222 CABCC , 又因为0 22 C 时,cos0 2 C 所以 11 sincos 2222 CAB ( 当AB时取等号 ), 而0 22 C 所以30 , 2 C 即60C. 1 （ 2010 年北约） 0 2 ，求证： sintan 【解析】 不妨设( )sinf xxx ，则(0)0f，且当 0 2 x时，( )1cos0fxx于是 ( )f x 在 0 2 x上单调增( )(0)0f xf即有sinx x 同理可证( )tan0g xxx (0)0g，当 0 2 x时， 2 1 ( )10 cos g x x 于是( )g x 在 0 2 x上单调增。 在 0 2 x上有( )(0)0g xg。即tanxx。 注记：也可用三角函数线的方法求解 5 （ 2010 年北约） 存不存在 0 2 x，使得 sin, cos , tan, cotxxxx 为等差数列 （25 分） 【解析】 不存在；否则有 (cossin )(cossin ) cossincottan sincos xxxx xxxx xx ， 则 cossin0xx或者 cossin 1 sincos xx xx 若 cossin0xx，有 4 x而此时 22 , 1, 1 22 不成等差数列； 若 cossin 1 sincos xx xx ，有 2 (sincos )12sincosxxxx 解得有 sincos12xx 而 11 sincossin 2(0, 22 xxx，矛盾！ 3. （2014 年华约） 函数 2 ( )(cossin)sin()2 sin(0) 24 fxxxxaxb a的最大值为 1,最小值为4,求,a b 的值 . 【解】易知 2221 ( )(cossin)2 sinsin2 sin 2 f xxxaxbxaxb,令sint x , 则问题等价于 21 ( )2 2 g ttaxb在 1,1上的最大值和最小值分别为1 和4. 当对称轴1ta,即1a时,则( )g t在 1,1上递减 ,则 1 (1)21, 2 1 ( 1)24 2 gab gab ,解得 5 , 4 1 a b 当对称轴10a,即 01a时,则 21 ()1 2 1 (1)24 2 gaab gab , 消去 b 得 2 240aa,解得15(0,1)a,舍去 . 综上可知 , 5 ,1 4 ab为所求 . 2. （2013 年华约） 1 sinsin 3 xy, 1 coscos 5 xy,求sin()xy与cos()xy的值 【解】由 1 sinsin 3 xy , 1 coscos 5 xy , 平方相加得 208 cos() 225 xy; 另一方面由可得 1 2sincos 223 xyxy 由式可得 1 2sinsin 225 xyxy , 由 / 式得 3 tan 25 xy , 也所以 2 2tan 15 2 sin() 17 1tan 2 xy xy xy 即求 . （1） （2012 年华约） 在锐角 ABC 中，已知ABC,则cos B的取值范围为（） (A) 2 (0,) 2 (B) 12 ,) 22 (C) (0,1)(D) 2 (,1) 2 解：由于 2 , 22 ABCA为锐角三角形，因此又 因为是锐角三角形所以 ,2 ,0 22 B 所以在，内取值。选 A. （8）（2012 年华约） 如图，在锐角ABC中， AB边上的高 CE与AC边上的高 BD交 于点H。 以DE为直径作圆与AC的另一个交点为G。 已知25BC，20BD，7BE， 则AG的长为（） (A) 8(B) 42 5 (C)10 (D) 54 5 解答 :连接 DF，则有 DF 垂直 AC,由已知条件有cosB= 5 3 ,cosC= 25 7 ,所以 sinB= 5 4 ,sinC= 25 24 ， 于是 sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB= 5 4 =sinB. 因此A= B,即ABC为等腰三角形，于是由CD垂直可得 AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18. 又因为 CDB= CEB=90 ，所以 B,C,D，E 四点共圆， ABC= BAE, 因此 ADE 为等腰 三角形， 所以， DF 垂直 AC 知， AF=FE= 2 AE =9 （ 11 ）（ 2012年 华 约 ） 在 ABC 中 ，, ,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c。 已 知 2 2 s i n1c o s 2 2 AB C （1）求C的大小 （2）若 222 22cba，求cos2cos2AB的值 . 解： （1） 212 1-cos1cos2 ,1+cos2cos,cos, 23 ABCCCCC因此 （2） 222222 3 =2-2,sin2sin22sin2, 4 cbaCBA 22223 cos2cos212sin12sin2 sinsin 4 ABABBA4、 （2011 年华约） 若 222 coscos 3 ABAB，则的最小值和最大值分别为( ) 331 33312 A 1,B,C 1,1D,1 222 22222 、 分析 首先尽可能化简结论中的表达式 22 coscosAB，沿着两个方向： 降次： 把三角函 数的平方去掉；去角：原来含两个角，去掉一个。 解： 221cos21cos21 coscos1(cos2cos2 ) 222 AB ABAB 1 1cos()cos()1cos() 2 ABABAB，可见答案是B 11、 （2011 年华约） 已知ABC不是直角三形 . （I）证明：tantantantantantanABCABC； （II ）若 tantan 3tan1 tan BC C A ，且sin2 ,sin 2 ,sin 2ABC的倒数成等差数列. 求cos 2 AC 的值 . 解： （I） tantan tantan() tantan1 AB CAB AB ，整理得 tantantantantantanABCABC （II）由已知3tantantantantanACABC，与 （ I） 比较知tan3 3 BB，=。 又 11224 2 sin2sin2sin2 3 sin 3 ACB ， sin 2sin 24 sin 2sin 2 3 AC AC ， sin()cos()1 cos2()cos2()3 ACAC ACAC ，而 3 sin()sin 2 ACB， 1 cos2()cos2 2 ACB，代入得2cos 2()13cos()ACAC， 2 4cos ()3cos()10ACAC， 1 cos()1 4 AC， 6 cos1 24 AC ， 5 （ 2010 年华约） 在ABC中，三边长, ,a b c，满足3acb， 则tantan 22 AC 的值为（C ） （ A） 1 5 （B） 1 4 （C） 1 2 （ D） 2 3 11 （2010 年华约） 在ABC中，已知 2 2sincos21 2 AB C，外接圆半径2R （）求角C的大小； （）求ABC面积的最大值 解： （）由 2 2sincos21 2 AB C得 2 2cos1cos2, 2 C C 所以 2 cos(2cos1).C即 2 2coscos10CC，(2cos1)(cos1)0CC 因为C为ABC内角，所以cos10C， 1 cos 2 C，. 3 C （） 3 2sin42 3. 2 cRC 又由余弦定理得 222 2cos ,cababC，即 22 12,abab 又 22 2,ababababab，所以12.ab 有 133 sin123 3, 244 ABC SabCab， 当且仅当ab即ABC为等边三角形时， ABC的面积取得最大值3 3. 8. （2014年卓越联盟）已知 ()2sin2cos2cosfxxxxxR (1)已知,0, 4 22 x,求 ( )f x最大值 ; (2)若( )3,f x求,x的值 . 【解】 (1)易知( )2sin(2)2cos(2)cosf xxx, 2sin(2)cos 4 x, 由于0,2, 44444 x,其中 3 , 424 , 所以当2 42 x,即 3 82 x时, max ( )2cosf x, 又 max ( )2cosf x在, 4 2 上递减 ,所以 max 2 ( )2cos2 2 f x, 当 4 时取到最大值. 综上可知当, 44 x时,max 2 ( )2 2 f x . (2)由( )2sin(2)cos 4 f xx,且2sin(2)2,cos1 4 x, 现在已知( )3f x,则等价于 sin(2)1, 4 cos1 x ,解得 2, (), 8 kkZ xmkmZ . 1、（2013 年卓越联盟）已知函数sinfxx（ 0 ， 0 2 ）的图象经 过点 0 6 B，且 fx 的相邻两个零点的距离为 2 ，为得到yfx 的图象， 可将sinyx 图象上所有的点（） A先向右平移 3 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变 B先向左平移 3 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变 C先向左平移 3 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D先向右平移 3 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 答案 :B 2、（2013 年卓越联盟） 设函数sinfxxx 若 1 x 、 2 22 x， 且 12 fxfx， 则 A 12 xxB 12 0xxC 12 xxD 22 12 xx 答案 :（文科） D 3、（2013 年卓越联盟） 在ABC中，三个内角A、B、C 所对的边分别为a、b 、c 已知sinsinsinacACabB 求角 C 的大小；求 sinsinAB 的最大值 答案 :（本小问6 分） sinsinsinacACabBacacab b 222 abcab 于是 222 1 cos 22 abc C ab ，解得 3 C （本小问7 分） 由得， 2 3 AB，所以 2 sinsinsinsin 3 ABAA 31 sincossin 22 AAA 231 sincossin 22 AAA 31cos2 sin 2 44 A A 11 sin 2 264 A， 所以当 3 A时， sinsinAB 取到最大值 3 4 （2） （2012 年卓越联盟）函数 sin ( ) 2cos f()R 的值域为。 【解答】 令 22sin33 sincos21sin()212 2cos33 tttttttt 函数( )f的值域为 33 , 33 . （3） （2012 年卓越联盟） 设0 1a ， 0 4 ， logsin (sin) a x， logtan (cos ) a y，则 x ， y的大小关系为_。 【解答】 根据条件知 0sincos1 0sintan1 ，因为 01a ，所以( )logaf xx 为递减函 数， 所以 log sinlog tan0 aa，于是 log sinlogtanlogtan (sin)(sin)(cos ) aaa x y . （6） （2012 年卓越联盟） 设函数( )sinfxx， 其中0，R，若在常数(0)T T， 使对任意xR 有 fxTTfx ，则可取到的最小值为。 【解答】 先证明1T： 根据条件fxTTfxfxTTfx，所以 ,* n fxnTTfxnN ， 若1T，则 limlim0, n nn fxnTTfx，然而对于任意*nN，当0, 2 x A B C D E 时， fxnT 的值域是1,1 ， lim0 n fxnT矛盾； 若1T，则 0,0 limlim ,0 , n nn fx fxnTTfx fx ，然而对于任意*nN， 当0, 2 x时， fxnT的值域是1,1 ，lim0 n fxnT或矛盾 . 所以1T，又0T, 所以1T. 从而1,2fxfxfxfx ，所以 2是 fx 的一个周期，所以2 2 ，当 ,1T显然满足条件，所以可取到 的最小值为 (2) （2011 年卓越联盟） 已知 sin2( + )=nsin2 ，则 tan() tan() 等于 ( D ) (A) 1 1 n n (B) 1 n n (C) 1 n n (D) 1 1 n n (12) （2011 年卓越联盟） 在ABC 中， AB=2AC，AD 是 A 的角平分线，且AD=kAC ()求 k 的取值范围； ()若 SABC=1，问 k 为何值时， BC 最短？ 【解】 (1)过B作直线 BEAC ,交AD延长线于 E,如图右 . 所以 ,2, BDAB CDAC 也所以有2 DEBEBD ADACDC ,即2,3.BEAC AEBD 在ABE中,有 222 2cos.AEABBEAB BEEBA 即 222 (3)(2)(2)2(22) cosADACACACACA 所以 , 222 9()88cos ,kACACACA即 2 816 (1cos)(0,) 99 kA 所以 4 0 3 k. (2)因为 21 sinsin1 2 ABC SAB ACAACA 在 ABC 中,有 2222254cos 2cos54cos sin A BCABACAB ACAACACA A 记 54cos sin A y A ,则 22 sin4cos5,4 sin()5yAAyA 当sin()1A时 , 22 453yy 此时 y取最小值 ,此时 3 cos 5 A. 故当 8 5 15 k 时,BC 取最小值 3.