空间角与距离.pdf
第七节空间角与距离 考纲解读 1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平 面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系 与区别，弄清他们各自的取值范围。 2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。 命题趋势探究 异面直线所成角，线面角， 二面角时高考中考查的热点，解答与空间角有关的问题时既 可用传统法， 又可用向量法。 在新课程标准下，对立体几何的基本理论知识要求有所降低， 因此应用向量这一工具解题更为重要，特别是要熟练掌握利用空间图形的特殊性，构造适 当的空间直角坐标系解决问题的方法，并能灵活应用。 空间角是立体几何中的一个重要概念，它是空间图形的一个突出量化指标，是空间图形 位置关系的具体体现，故以高频的考点出现在历届高考试题中，在选择题，填空题及解答 题中均有出现。 知识点精讲 一、 空间角的定义和范围 （1）两条异面直线所成角的范围是0 2 （ ，当 = 2 时，这两条异面直线互相垂直。 （2）斜线 AO 与它在平面 内的射影AB 所成角 叫做直线与平面所成的角。 平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的 角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为 2 ；如果直线和平面平行或直 线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为0 2 ，； 斜线和平面所成的角的范围为(0,). 2 （3）从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的 棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为l ，两个平面分别为，的二面角记 做- l-，二面角的范围是 0, （4）一个平面垂直于二面角的公共棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB， 则 AOB 叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直 二面角的两个平面垂直。 二、 点到平面距离的定义 点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。 题型归纳及思路提示 题型 118 空间角的计算 思路提示 求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用 的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法； （3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。 一、异面直线所成的角 方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求 解，但要注意两条异面直线所成角的范围是0 2 （ ，。 方法二：向量法，设异面直线a 和 b 的方向向量为a 和 b ，利用夹角余弦公式可求 得 a 和 b 的夹角大小 ，且 | coscos,| | a b =|a b |ab 。 例 8.59 直三棱柱 111 ABCA B C 中， 若 BAC=90°， AB=AC= 1 AA ， 则异面直线 1 BA 与 1 AC 所成的角等于（） A.30 ° B.45 °C.60 ° D.90 ° 分析通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角,在三角形中利用余 弦定理来求解 . 解析如图8-218 所示 ,连接 1 AB,设 11 ABABO,过点O作ODA 1 ODAC交 11 BC于 点D,连 接 1 AD,故 1 AOD( 或 其 补 角 ) 为 异 面 直 线 1 AB与 1 AC所 成 的 角 , 设 1 ,ABACAAa 1 ABACAAa, 则 1 2ACa, 1 12 22 a ODAC, 1 1 2 22 A Ba OA 11 12 22 a A DB C , 故 1 AOD为正三角形 , 1 60AOD,即异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于60° ,故选 C. 变式 1 如图 8-219 所示 ,在长方体 1111 ABCDABC D中 , 1 1,2ABADAA,M是棱 1 CC的中点 ,求异面直线 1 A M和 11 C D所成的角的正切值. 变 式2 如 图8-220 所示 ,在 三 棱 柱 111 ABCA B C中 ,H是 正 方形 11 AAB B的 中 心, 11 2 2,AAC H平面 11 AAB B, 1 5C H,求异面直线AC 与 11 A B所成角的余弦值. 例 8.60 如图 8-221 所示 ,四边形ABCD 是边长为1 的正方形 ,MD平面ABCD，且 MD=NB，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值 分析利用向量法求解异面直线所成的角 解析解法一：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz, 依题意 ,得 D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E( 1 2 ,1,0), 所以 1 (,0,1),( 1,0,1) 2 NEAM ， 因为 1 10 2 cos, 10|5 2 2 NE AM NE AM NEAM 所以异面直线与所成角的余弦值为 10 10 。 解法二：对几何体细心观察，正三棱锥B-AN 的三条侧棱两两垂直，它分明是正方体的 一角，从这个视角出发，又联系到MD 平面 ABCD，ABCD 又恰好是正方形（正方体的一 个面） ，如此分析，应当想到已知形体是正方体的一部分，于是“补全”正方体是合乎情理 的。 如图所示，连接BQ，易知BQAM，设 BQNEF，则NFQ 即为 AM 与 NE 所成的角，在正方体BC-QN 中， E 为 BC 中点， NQ，由 BEF NQF，从而 222 10 cos 210 NFFQNQ NFQ FN FQ ，即为所求。 变式如图所示，已知正方体 1111 ABCDABC D， 点是正方形 11 BCCB 的中心，点是棱 1 AA的中点，设 11 ,E G分别是，在平面 11 DCC D内的正投影。求异面 直线 11 E G与所成角的正弦值。 变式 2 （2012 上海理 19（2） ）如图 8-225 所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是 矩形， P A底面ABCD,E 是 PC 的中点。已知AB=2,AD=2 2,PA=2.求异面直线BC 与 AE 所成的角的大小. 二、直线与平面所成的角 方法一 :(垂线法 )直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角. 过直线上一点作出平面的垂线,得到垂足 ,而射影直线就通过斜足与垂足,因此作出平面的垂 线是必要的一步.具体步骤是 : 先作出该角; 在直角三角形中求解. 方法二 :(向量法 )直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的 余角 . 如图 8-226 所示，设直线l 的方向向量为 1 l ，平面 的法向量为n，直线 l 和平面 所 成的角为 ，则 += 2 ,或 -= 2 ,因为 的取值范围是0, 2 ，所以 1 1 1 sin|cos,| | ln ln ln . 方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离d，再求出此点与斜足间 的距离 l,设直线和平面所成角的大小为，则sin d l . 例 8.61 如图 8-227 所示， 二面角l的大小是60°，线段,ABBl，AB 与 l所成角为30°，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是. 分析作出直线AB 在平面 的射影，射影与AB 所成的角即为AB 与平面所成的角，再 求出其正弦值 . 解析如图 8-228 所示 ,过点 A 作 AH于点 H，过点 H 作 GHl 于点 G,连接 AG，由 三垂线定理得lAG,故 AGH 为二面角l的平面角，得 AGH=60°， 不妨设 AG=2， 则 AH=3,HG=1,又 AB 与l所成角为30°，故 2 4 sin 30 AB，在RtABH 中， 3 sin 4 AH ABH AB ，故 AB 与平面 所成的角的正弦值是 3 4 . 变式 1 如图 8-229 所示， 在棱长为2 的正方体 1111 ABCDA BC D中，点 E 是 1 BC的中 点. 求 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值. 变式 2 如图 8-230 所示，在三棱锥V-ABC 中， VC底面 ABC，ACBC，点 D 是 AB 的中点，且AC=BC= ， VDC=(0) 2 .当变化时 ,求直线 BC 与平面 VAB 所成角 的取值范围 . 变式 3 如图 8-231 所示 ,在 RtAOB 中， AOB= 6 ,斜边 AB=4,RtAOC 可以通过Rt AOB 以 AO 为轴旋转得到，且二面角B-AO-C 是直二面角，动点D 在斜边 AB 上， 求 CD 与平面 AOB 所成角正切的最大值. 三、二面角的平面角 求二面角的平面角的方法有：(1)根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内 作棱的垂线， 两条垂线所成的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定理；（ 3） 当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底边的额两条中线； （4）求正棱锥侧面夹角时利用 三 角 形 全 等 ； （ 5 ） 在 直 棱 柱 中 求 截 面 与 底 面 夹 角 时 ， 用 二 面 角 的 面 积 射 影 定 理 |cos |SS 射斜 ，其中为二面角的大小;(6)利用空间向量求解二面角，转化为两个平面 的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量 1 n ， 2 n 的夹角与二 面角的大小是相等或互补的（需要根据具体情况判断想等或互补）。 例 8.62 如图 8-232 所示，在直三棱柱 111 ABCA BC中，侧面 1 A BC侧面 11 AABB。 若直线 AC 与平面 1 ABC所成的角为，二面角 1 ABCA的大小为，是判断与的 大小关系，并予以证明. 分析利用定义找出线面角与二面角的平面角，并比较其大小. 解析如图 8-233 所示 ,过 A 在平面 11 A ABB内作 AD 1 AB于点 D， 则由平面 1 ABC侧 面 11 A ABB，且平面侧面 11 A ABB= 1 AB，得 AD侧面 1 ABC，连接 CD,则知 ACD=, 由 BC 1 AA，BCAD, 1 AAAD=A, 1 AA, AD平面 1 A AB，得 BC平面 1 A AB，故 BC 1 AB，BC AB.所以 1 ABA是二面角 1 ABCA的平面角，即 1 ABA=，于是在Rt ADC 中，sin AD AC ，于是在 RtADB 中，sin AD AB .不难知ABAC,因此 sinsin,又0, 2 ,所以. 变式1 如图8-234 所示 ,在四面体OABC 中， OCOA, OC OB, AOB=120°，且 OA=OB=OC= 1,求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值. 变式 2 如图 8-235 所示 ,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,SD平面 ABCD， SD=2a，AD=20a a（）。点 E 是 SD 上的点，且DE=(02)a。 设二面角 C-AE-D 的大小为， 直线 BE 与平面 ABCD 所成角为， 若t a nt a n1，求 值。 变式 3 如图 8-236 所示，正方形 ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE AC， EFAC,AB2,CE1EF,二面角 A-BE-D 的大小 . 例 8.63 如图 8-237 所示 ,在长方体ABCD- 1111 A BC D中，E，F 分别是 BC， 1 CC上的点， CF=AB= 2CE，AB:AD: 1 AA= 1:2:4,求二面角 1 AEDF的正弦值 . 解析如图 8-238 所示 ,连接 AC,设 ACDE=N，因为 1 2 ABEC BCCD ， 所以 RtDCE RtCBA， 从而 CDE=BCA， 又由于 CDE+CED= 90°， 故BCA+CED= 90° 故 ACDE,又 DECF，ACCF=C ， 则 DE平面 CFN，得 DEFN， 同理得 DE 1 AN， 故 1 A NF为二面角 1 AEDF的平面角， 易知，RtCNERtCBA，所以 CNEC BCAC 又5AC，所以 5 , 5 CN 在RtCNF中， 22 30 , 5 NFCFCN 在 1 RtA AN中， 22 11 4 30 , 5 A NANAA 连接 111 ,ACAF，在Rt 11 AC F中， 22 1111 14A FACC F， 在 1 A NF中， 222 11 1 1 2 cos 23 ANFNAF A NF AN FN 所以 1 5 sin= 3 A NF，所以求二面角 1 AEDF的正弦值为 5 3 . 变式1 如图8-239 所示，四棱锥S-ABCD 中，SD平面ABCD,ABDC,AD DC， AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SD 上的一点，平面EDC平面 SBC，求二面角A-DE-C 的 大小。 变式 2 如图 8-240 所示，已知正三棱柱 111 ABCA BC的各棱长都是4，E 是 BC 的中 点，动点F 在侧棱 1 CC上，且不与点C重合，设二面角C-AF-E 的大小为，求tan的最 小值。 变式 3 如图 8-241 所示，在三棱锥P-ABC 中， AB=AC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC， 垂足 O 落在线段AD 上.若 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C 的大小 . 例 8.64 如图 8-242 所示 ,已知四棱锥P-ABCD ,底面 ABCD 是棱形， PA平面ABCD， PA=AB= 2， ABC=60°， E，F 分别是 BC，PC 的中点，求二面角E-AF-C 的余弦值 . 分析利用空间向量法求解二面角的平面角。 解析有 AE，AD，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图8-243 所示的空间直角坐 标系A-xyz，又E，F 分别是BC，PC 的中点，所以(0,0,0),( 3,1,0),(0,0,2)ACP，
