2019届中考数学总复习：方案设计与决策型问题.pdf

第 1 页 共 13 页 2019 届中考数学总复习：方案设计与决策型问题 【中考展望】 方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测量 方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主 方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题型 主要包括： 1根据实际问题拼接或分割图形； 2利用方程 ( 组) 、不等式 ( 组) 、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等 方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题， 这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视 【方法点拨】 解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到 适合题意的最佳方案 解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所 建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策. 【典型例题】 类型一、利用方程（组）进行方案设计 1 （2016?凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型 污水处理设备共20 台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12 万元，每台B型污水 处理设备10 万元 已知 1 台 A型污水处理设备和2 台 B型污水处理设备每周可以处理污水640 吨，2 台 A型污水处理设备和3 台 B型污水处理设备每周可以处理污水1080 吨 （1）求 A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230 万元，每周处理污水的量不低于4500 吨，请你 列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？ 【思路点拨】 （1）根据 1台 A型污水处理设备和2 台 B型污水处理设备每周可以处理污水640 吨，2 台 A型污水处理 设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水1080 吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答 本题； （2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金， 从而可以解答本题 【答案与解析】 解： （1）设 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水x 吨， B 型污水处理设备每周每台可以处理污水y 吨， 解得， 即 A型污水处理设备每周每台可以处理污水240 吨， B型污水处理设备每周每台可以处理污水200 吨； （2）设购买A型污水处理设备x 台，则购买B型污水处理设备（20x）台， 则 解得， 12.5 x15， 第一种方案：当x=13 时， 20x=7，花费的费用为：13×12+7× 10=226 万元； 第 2 页 共 13 页 第二种方案：当x=14 时， 20x=6，花费的费用为：14×12+6× 10=228 万元； 第三种方案；当x=15 时， 20x=5，花费的费用为：15×12+5× 10=230 万元； 即购买 A型污水处理设备13 台，则购买B型污水处理设备7 台时，所需购买资金最少，最少是226 万元 【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找 出所求问题需要的条件 举一反三： 【变式 】某班有学生55 人，其中男生与女生的人数之比为65. (1) 求出该班男生与女生的人数； (2) 学校要从该班选出20 人参加学校的合唱团，要求：男生人数不少于7 人；女生人数超过男 生人数 2 人以上请问男、女生人数有几种选择方案？ 【答案】 解： (1) 设男生有 6x人，则女生有5x人 依题意得： 6x 5x55， x5， 6x30,5x25. 答：该班男生有30 人，女生有25 人 (2) 设选出男生y人，则选出的女生为(20 y)人 由题意得： 202 7 yy y ， 解得： 7yy2，即 12.6x12x30 时，解得x50. 综上所述，当购买奖品等于10 件但少于50 件时，买文具盒省钱； 当购买奖品等于50 件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过50 件时，买钢笔省钱 类型四、利用函数知识进行方案设计 4 （ 2015? 深圳模拟）将 220 吨物资从A地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18 辆，恰好一次 性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨 / 辆）和 10（吨 / 辆） ，运往甲、乙两地的运费 如表 1： （1）求这两种货车各需多少辆？ （2）如果安排8 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，填写表2，写出 运费 w （元）与a 的函数关系式若运往甲地的物资不少于110 吨，请设计出货车调配方案，并求出最 少运费 表 1 甲地（元 /辆）乙地（元 /辆） 货车700 800 小货车400 600 表 2 甲地乙地 大货车a辆辆 小货车辆辆 第 6 页 共 13 页 【思路点拨】 （1）设需要大货车x 辆，则需要小货车（18x）辆，根据两种货车的运货总量为220 吨建立方程求出 其解即可 （2）由安排 8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，则甲地的小货车为（8 a）辆，乙地的大货车为（8a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W 与 a的关系式，由运往甲地的物资不少于110 吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可 以求出结论 【答案与解析】 解： （1）设需要大货车x 辆，则需要小货车（18x）辆，由题意，得 15x+10（18x）=220， 解得： x=8， 需要小货车188=10 辆 答：需要大货车8 辆，则需要小货车10 辆； （2）设前往甲地的大货车为a 辆，则甲地的小货车为（8a）辆，乙地的大货车为（8a）辆，小货车 （2+a）辆，表格2 答案为：大货车去乙地（8a）辆，小货车去甲、乙两地各（8 a）辆，（2+a）辆 由题意，得 W=700a+800 （8a）+400（ 8a）+600（2+a） ， W=100a+10800 15a+10（8 a） 110， a 6 k=1000， W 随 a 的增大而增大， a=6 时， W最小=11400， 运往甲地的大货车6 辆，小火车2 辆，运往乙地的大货车2 辆，小火车8 辆最小运费为11400 辆 【总结升华】 此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x 表示出运 往各地的台数是解决问题的关键 类型五、利用几何知识进行方案设计 【高清课堂：方案设计与决策型问题例 1】 5某区规划修建一个文化广场( 平面图形如图所示), 其中四边形ABCD是矩形， 分别以 AB 、BC 、CD 、 DA边为直径向外作半圆, 若整个广场的周长为628 米，矩形的边长AB=y米,BC=x 米.( 注：取 =3.14) (1) 试用含 x 的代数式表示y； (2) 现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等, 平均每平方米造价为428元 , 在四个半圆的区域 上种植草坪及铺设花岗岩, 平均每平方米造价为400 元； 设该工程的总造价为W元，求 W 关于 x 的函数关系式； 若该工程政府投入1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说 明理由 . 若该工程在政府投入1 千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82 万元，但要求矩形的边BC的长 不超过 AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请 列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由. 第 7 页 共 13 页 【思路点拨】 （1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可； （2）利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即 可解答； 利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论； 建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题 【答案与解析】 解： （1）由题意得， y+x=628， 3.14y+3.14x=628 ， y+x=200 则 y=200x； （2） W=428xy+400 2 () 2 y +400 2 () 2 x ， =428x（200x）+400×3.14× 2 (200) 4 x +400×3.14× 2 4 x ， =200x 240000x+12560000； 仅靠政府投入的1 千万不能完成该工程的建设任务理由如下， 由知 W=200 （x 100） 2+1.056×107107， 所以不能； 由题意可知： x 2 3 y 即 x 2 3 （200x）解之得x80， 0x80， 又题意得： W=200 （x100） 2+1.056×107=107+6.482×105， 整理得（ x 100） 2=441， 解得 x1=79， x2=121（不合题意舍去） ， 只能取x=79，则 y=20079=121； 所以设计方案是：AB长为 121 米， BC长为 79 米，再分别以各边为直径向外作半圆 【总结升华】 此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式 与一元二次方程解决实际问题 第 8 页 共 13 页 【巩固练习】 一、选择题 1. 小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：洗锅盛水需2 分钟；洗菜需3 分钟；准备 面条及佐料需2 分钟； 用锅把水烧开需7 分钟；用烧开的水煮面条和菜需3 分钟以上各工序除(4) 外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( ) A14 分钟 B13 分钟 C12 分钟 D11 分钟 2某学校组织340 名师生进行长途考察活动，带有行李170 件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10 辆经了解，甲车每辆最多能载40 人和 16 件行李，乙车每辆最多能载30 人和 20 件行李请问可行的 租车方案有 ( ) A2 种 B3 种 C4 种 D5 种 3 （2016?邯郸一模）如图是小李销售某种食品的总利润y 元与销售量x 千克的函数图象（总利润=总销 售额总成本） 由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案： 方案（ 1）是不改变食品售价，减少总成本； 方案（ 2）是不改变总成本，提高食品售价 下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象，则分别反映了方案（1） （ 2） 的图象是（） A， B， C， D， 二、填空题 4 （2016 春?乳山市期中）某足球赛一个赛季共进行了26 轮比赛（即每队均需26 场） ，其中胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7 场，结果共得34 分， 则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是 5开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18 元钱买了1 支钢笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔2 支和笔记本5 本 (1) 每支钢笔的价格为；每本笔记本的价格为； (2) 校运会后，班主任拿出200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48 件作为奖 品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有种购买方案？请你一一 写出 6. “五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量 绘制成条形统计图，如图根据统计图回答下列问题： 第 9 页 共 13 页 （1）前往 A地的车票有 _张，前往C地的车票占全部车票的_% ； （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一 张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀）， 那么员工小王抽到去B地车票的概率为_. 三、解答题 7 （2015 春?高新区期末）为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A，B两类学校分批进行改进，根据 预算，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230 万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资 金 205 万元 （1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）我区计划今年对A、B两类学校共6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今 年国家财政拨付的改造资金不超过380 万元，地方财政投入的改造资金不少于70 万元，其中地方财政 投入到 A、 B两类学校的改造资金分别为每所10 万元和 15 万元，请你通过计算求出有几种改造方案？ 哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？ 8. 某商场将进价40 元一个的某种商品按50 元一个售出时，每月能卖出500 个. 商场想了两个方案来增 加利润： 方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1 元，销售量就减少10 个； 方案二：售价不变，但发资料做广告. 已知这种商品每月的广告费用m( 千元 )与销售量倍数p关系为 p=mm24.0 2 ； 试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！ 9. 为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的 沼气池共20 个，以解决该村所有农户的燃料问题两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见 下表： 型号 占地面积 ( 单位 :m 2/个 ) 使用农户数 ( 单位 : 户/个) 造价 ( 单位 : 万元 /个) A 15 18 2 B 20 30 3 已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m 2，该村农户共有 492 户 第 10 页 共 13 页 (1) 满足条件的方案共有几种?写出解答过程； (2) 通过计算判断，哪种建造方案最省钱 10. 阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图1 所示， 将它们分割后拼接成一个新的 正方形 . 他的做法是： 按图 2 所示的方法分割后，将三角形纸片绕AB的中点 O旋转至三角形纸片处， 依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG. 请你参考小明的做法解决下列问题： （ 1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3 所示 . 请将其分割后拼接成一个平行四边 形. 要求：在图3 中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）； （ 2）如图 4，在面积为2 的平行四边形ABCD 中，点 E、 F、G、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA的中点， 分别连结AF、BG 、CH 、DE得到一个新的平行四边形MNPQ ，请在图 4 中探究平行四边形MNPQ 面积的大小 （画图表明探究方法并直接写出结果）. 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】 C； 【解析】洗锅盛水2 分钟，用锅把水烧开7 分钟，用烧开的水煮面和菜要3 分钟，这样一共是12 分 钟. 而洗菜的3 分钟和准备面及佐料的2 分钟可以在烧开水的过程中来做. 2. 【答案】 C； 【解析】解：设甲车a 辆，则乙车（10-a）辆 . 根据题意： 40a+30×（ 10-a ）340 16a+20×（ 10-a ）170 由得 40a+300- 30a340，a4 由得 16a+200- 20a170，a7.5 第 11 页 共 13 页 所以 4a7.5 a=4，5，6，7 所以租车方案有4 种. 3. 【答案】 B； 【解析】根据函数图象可知，斜率不变，与y 轴交点上移，即售价不变，总成本减少； 根据函数图象可知，斜率不变，与y 轴交点下移，即售价不变，总成本增加； 根据函数图象可知，斜率变大，与y 轴交点不变，即总成本不变，售价增加； 根据函数图象可知，斜率变小，与y 轴交点不变，即总成本不变，售价减少 表示方案（ 1）的图象为，表示方案（2）的图象为 故选 B 二、填空题 4. 【答案】 7、13、6； 【解析】设这个队在第一赛季中胜了x 场，负了y 场，平了（ y+7）场， 根据题意得：， 解得：， y+6=13 故答案为： 7、13、6 5. 【答案】（ 1）3 元， 5 元； （2）5； 20，28；21，27；22，26；23，25；24，24 【解析】（ 1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元，依题意得： 3152 183 yx yx 解得： 5 3 y x 所以，每支钢笔3 元，每本笔记本5 元. (2) 设买a支钢笔，则买笔记本(48 a) 本 依题意得： aa aa 48 200)48(53 ，解得：2420a，所以，一共有种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28；21，27；22，26；23，25；24， 24 6. 【答案】（ 1）30； 20 （2） 1 2 【解析】（ 1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图； （2）让去 B地车票数除以车票总数即为所求的概率； 三、解答题 7. 【答案与解析】 （1）解：设改造一所A 类学校需资金a万元一所B 类学校需资金a万元 第 12 页 共 13 页 ， 解得 答：改造一所A 类学校需资金60 万元，一所B 类学校需资金85 万元； （2）解：设改造x 所 A 类学校，（6x）所 B 类学校，依题意得 ， 解得 2 x 4， 又因为 x 是整数， x=2、3、4、6x=4、3、2 所以共有三种方案：改造A 类学校 2 所， B 类学校 4 所； 改造 A 类学校 3 所， B 类学校 3 所； 改造 A 类学校 4 所， B 类学校 2 所 设改造方案所需资金W 万元 w=60x+85 （6x）= 25x+510 所以当 x=4 时， w最小=410 答：改造A 类学校 4 所 B 类学校 2 所用资金最少为410 万元 8 【答案与解析】 解：设涨价x 元，利润为y 元，则 方案一：9000)20(10500040010)10500)(4050( 22 xxxxxy 方案一的最大利润为9000 元； 方案二：10125)25.2(2000900020001000500)4050( 22 xmmmpy 方案二的最大利润为10125 元； 选择方案二能获得更大的利润. 9 【答案与解析】 解:(1) 设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池 (20 x) 个. 依题意得 : 492203018 365202015 xx xx 解得： 7 x 9 x为整数， x = 7 ， 8 ，9 ， 满足条件的方案有三种. (2) 设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则： y =2x +3(20 x)=x+ 60 第 13 页 共 13 页 10，y随x增大而减小， 当x=9 时，y的值最小，此时y=51(万元 ) 此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11 个 解法 : 由 (1) 知共有三种方案，其费用分别为： 方案一 : 建造A型沼气池 7 个，建造B型沼气池13 个， 总费用为 :7 ×2 + 13 ×3 = 53( 万元 ) 方案二 : 建造A型沼气池8 个，建造B型沼气池12 个， 总费用为 :8 ×2 + 12 ×3 = 52( 万元 ) 方案三 : 建造A型沼气池9 个，建造B型沼气池11 个， 总费用为 :9 ×2 + 11 ×3 = 51( 万元 ) 方案三最省钱. 10 【答案与解析】 如图中平行四边形即为所求. 如图：平行四边形MNPQ 面积为 5 2 .