1、第1次作业1考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规那么如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，那么每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W12W2do，试计算此博弈的贝叶斯均衡。博弈论第1次作业答案1、a写出以上博弈的战略式描述学勺三B企业1企业2学生A企业111(W1,W2)22(W1,W2)企业2(W2,W1)(2W2,2W1)b求出以上博弈的所有纳什均衡(包括混合策略均衡)存在两个纯战略纳什均衡：分别为(企业1，企业2)，收益为(Wl,W
2、2)。(企业2，企业1)，收益为(W2,W1)O存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业1的概率为p，选择企业2的概率为1p；学生B选择企业1的概率为q，选择企业2的概率为1q。当学生A以(p,1P)的概率选择时，学生B选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等，即：11p. W1(1p)W1p.W2(1p).W2解得：2W1W22W2W1%1PW1W2W1W2同理求出：11q. W1(1q)W1q.W2(1q).W2解得：2W1W22W2W1r. ,和IW2W1W2所以,混合策略纳什均衡为：学生A、B均以(W产m)W1W2W1W2的概率选择企业1，企业2。2、该模型的纳什均衡是什么？当
3、趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？各厂商的利润函数为：UiPqCi(aQ).qic.q(aQc).q(acqk)q求解：nmaxuimax(acqk).qq3k1对其求导，令导数为O，解得反响函数为：1qi2acqq2.qnq1.q纳什均衡(q，q；),必是n条反响函数的交点*1q1*2ac(q2*q3*q*11)q*22ac(qi*q3*q*n)1q*ac(qi*q*2.q；iqii.qn)212i1i1n1q2ac(qi*c2.q*11)得至!J：.*acq1q2nm且为唯一的纳什均衡当趋向于无穷大时博弈分析无效。IImqinIimac效。10，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无3、问这
4、两个厂商的边际本钱各是多少？各自的利润是多少？设：边际本钱不变，为C，C2。计算得市场出清价格为：PP(Q)10OQ10O(qq2)两个厂商的利润函数为：UiP.qC1.q1(PC1).q1100Ci(qq2).q1u2P.q2C2.q2(PC2).q2lC2(q1q2)j.q2求解：maxumax100C1(qq2).q甲qmaxu2max100C2(qq2).q2对其求导，令导数为O，解得反响函数为：qR1(q2)21(100cq2)1q2R2(q1)2(1OOC2q1)纳什均衡(q，)，即(20,30)为两条反响函数的交点120(iq0C130)2130(100C220)得到：Ci30，
5、C220。此时：Ui400，U2900。4、假设所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？设居民i选择的养鸭数目为Di(i1,2,3,4,5)，那么总数为5NFli。i1假设：NN居民的得益函数为：5UiV.11iC.11i(Vc).11i(4811i).11ii1计算：5maximax(4811i).11iuiuii1得到反响函数：111iRi2421(12.11i111i1.05)5、反响函数的交点(n,2*,113*,4*,5*)是博弈的纳什均衡。将(11,n2*,3*,n/,5*)带入反响函数,得：;n42n3nn58。此时：Ui64。此时，N40然后讨论下N假设40那么N
6、N，上述博弈成假设N40，那么Nn555、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？活着-1-11，O死JO，1O，O用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵1:活着，活着死了，死了可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个死了，那么另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。矩阵2：活着，活着活着，死了死了，活着可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益，个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵3:(活着，死了)(死了，活着)可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。2
7、6、如果f(e,e2)3ee2，c(ei)ei(i1,2)，试求此博弈的Nash均衡(即两个个体选择的最优努力程度)。(2)如果f(e,e2)4ee2，c(e)e(i1,2)，试求此博弈的NaSh均衡。(1)收益为：32UI2f(l,2)C(l)2l2vu2322f(1,2)c(2)e1-e22得出反响函数为：31Rl(e2)422 R2(1)341纳什均衡（&,e2）为两条反响函数的交点，代人得出：eO5eO两个人都不会努力的2)收益为:u1=2f(e1,e2)c(e)2e1e2e11U22f(e1,e2)c(e2)2e1e2e2分别求偏导：e1221e22i1一（V）d容一方越努力方就选择
8、努力程度为0，此时,两仝/蛤力程度都与对方的努力程度有关高档/X彳工档此时纳什坦殿（0,0）LN档高才K%和7/111乙2时，双方收益均5最大值，款时纳什均衡为（2,2）1叫时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，此时纳什均衡为（1/）第2次作业答案1，1用扩展型表示这一博弈。2这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。再由甲选择，在高档，低档，低档，低档之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是高档，低档，双方的收益为1000,7002、1两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化分别
9、对各自利润求导，并令导数为011 2(PaqC)0P222(qb)0q解得：paqc1bqb2abc此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为(aqc,b)(2)企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；企业1先决策，那么企业2会在知道企业1的决策后，寻求自身利润最大化所以：222(qb)0Qqb22将qb带入I(Paqc)q(Pabc)b1 2(pabc)0Ppabc此时，b2 abc跟同时决策时的纳什均衡相同企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为(abc.b)3)企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；企业2先决策，那么企业1会在知道企业2的决策后，寻求自身利润最大化所以：
10、5 2(qb)0paqc22将PaqC带入2a2(qb)p(qb)%abcaqc6 2(qb)Oqab2此时，a2pabc2a1b,2,222企业2先决策的子博弈a,bwr(ab,aabc)244是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策企业1希望先决策：立abcabc0a,cab企业2希望先决策：o2a结2，Cab7 、1企业1没有引入新技术1pc)q(I2q1q2)q2PC)q212qq2)q2求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0:122%q20；122q彳q02,得到：4，q24116
11、2162企业1引入新技术1(pc)qf(13qqa)qf2pc)q2(12qq2)q2求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为011132qq20得到此时122q2q101411:q134q213117p引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以pc)qf1I6得到52,9时，企业1会选择引进新技术。4、(1)企业1的产量q，企业2以产量q2进入市场p13qq21(12qq2)q12(12qq224企业2后进入市场，那么企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化所以：202q1q212 122 W1将q262%带入1(i2q1q2)q1，得d)(12
12、q16q1)q1Oq2此时，q6,qa3118,s5(2)企业1的产量q，企业2以产量q2进入市场时利润为0，觉得不进入市场1(12q1q2)q12(12qq2)q24企业2后进入市场，那么企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化所以：12q12q2Oq2121将q262%带入2(12qq2)q2,。，得q8或1(6舍去)132，此时，企业2不进入市场。5、三个企业的利润函数为：i(pc)qi(aq1q2q3c)qi,(i1,2,3)企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量2 (aqq2q3c)q23 (aqq2q3c)q3企业2和3均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的反
13、响函数：22 aq2q2q3c0q233aq1q22q3cOaqc%，将反响函数带入企业1的利润函数，得11(aq1q2q3c)q13(aq1c)q1对其求偏导，求解出企业1利润最大时的产量11(a2qc)0q131acac得到:q三2c6此时：acacaca5cp三26661、两个人的得益矩阵如下：第三次作业答案A下：偷懒努力(,52)偷懒(V2)(2,2)一次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒），无法实现帕累托最优（努力，努力）无限次博弈时，对于A，第一阶段选择努力，（1）假设前U时刻选择均为努力，t时刻也选择努力（2） t时刻选择偷懒，那么前面的行为均为偷懒5 2t52 Itim 2（2 .t）
14、均衡，使AA，即，采取触发策略 力），合作产生。241到达（努力，努力）这个2均衡为（努力，努2、假设：厂商2在t2 3/ 4时，产量为 ，利润为2 ；厂商2在t24 / 5时，产量为q2 ，利润为2对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润22(2 42 (43y1 qq)44qi2)对于厂商1来说，利润为11El别 Iqq2)q q1q2)求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到34 q2q2O45 q2q21112c2q22q20但到984147行到.吗i240a40该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为q29，厂商2在fe34时，产量为q2Mt24/5时，口2,2402
15、240考虑到C在132上呈均匀分布，f(c)1,E(c)3f(c).c.dc12对于厂商1，IPqIC(3q1q2)q1对于厂商2，2pq2C2(4qq2E(c)q22(3q1q2)q2对于厂商12的利润函数求一阶导数，并令其为零得到qq21该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商12的产量均为14、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的本钱为(1,2)企业1,2的收益矩阵如下列图：21进入不进入进入(1,2)(m,0)不进入(0.m2)(0.0)对于企业1来说当打，企业1选择进入；当打，企业1选择进入企业1进入的概率为1f()d1F(1)不进入的概率为1F(1)企业2进入的期望收益为u2F().(d
16、2)(1F(1).(m2)不进入的期望收益为U2O企业1进入的条件为U1U2所以2*F().(dm)因为该博弈是对称的所以1*F(2).(此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的以概率(F(1),F(2)进入均衡的本钱为2*F().(dm)m,F(2).(dm)m(F(l),F(2)中为1*,2根据企业开口桃曙的要求向K他对人力机理送行台坦比置通及对企业中例工的招腭培训Hf用学校评伊则爵股等一系列泛区归发动工他枳僦性发挥处上世需求,力企生做他价倒。保企如旗站目怀外实现清书是朴野人钠之术M甫的樗便人或曾人生的锄法李白的小快人软相白场的即攵诂修出的文JR便人从清杜公的耐法巴纣夕文或便入族刊术来的梏业葬一本书跖足个明女敢会我行知何去制片人生俟书是人生的一门不禁少的功保向读书布H传人生助我们目?人生的计一步
