2019版数学人教B版必修4训练：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 Word版含解析.doc
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课时过关·能力提升1.已知AB=(2,3),A(-1,2),则点B的坐标是()A.(1,1)B.(5,5)C.(1,5)D.(1,3)解析:设B(x,y),则有AB=(x+1,y-2),因此x+1=2,y-2=3,得x=1,y=5.即B(1,5).答案:C2.已知M(3,-2),N(-5,-1),且MP=12MN,则点P的坐标为()A.(-8,-1)B.-1,-32C.1,32D.(8,-1)解析:由已知得MN=(-8,1),于是MP=-4,12.设P(x,y),则有x-3=-4,y+2=12,于是x=-1,y=-32,故P-1,-32.答案:B3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-12a+32bB.12a-32bC.32a-12bD.-32a+12b解析:设c=xa+yb,于是有x+y=-1,x-y=2,解得x=12,y=-32,即c=12a-32b.答案:B4.已知在ABCD中,AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则CO的坐标为()A.-12,5B.12,5C.-12,-5D.12,-5解析:如图所示,AC=AB+AD=(-2,3)+(3,7)=(1,10),OC=12AC=12,5.CO=-12,-5.答案:C5.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P在直线AB上,且|PA|=2|PB|,则点P的坐标为()A.13,0B.(-5,8)C.13,1或(-4,7)D.13,0或(-5,8)解析:当点P在线段AB上时,由|PA|=2|PB|可得AP=2PB,设P(x,y),则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),因此x-3=-2-2x,y+4=4-2y,解得x=13,y=0,于是P13,0.当点P在线段AB的延长线上时,由|PA|=2|PB|可得AB=BP.设P(x,y),则(-4,6)=(x+1,y-2),解得x=-5,y=8,于是P(-5,8).答案:D6.设点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形ABCD的形状为. 解析:如图所示,AD=(0,2)-(-1,0)=(1,2),BC=(4,3)-(3,1)=(1,2),AD=BC.又|AD|=5,|AB|=17,|AD|AB|,四边形ABCD为平行四边形.答案:平行四边形7.已知正方形ABCD的边长为1.若点A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量4AB+BC-3AC的坐标为. 解析:如图,各顶点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),AB=(1,0),BC=(0,1),AC=(1,1).4AB+BC-3AC=(1,-2).答案:(1,-2)8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+AC(R),则当=时,点P在第一、三象限的角平分线上;当时,点P在第三象限内. 解析:设点P的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+AC=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).AP=AB+AC,x-2=3+5,y-3=1+7.x=5+5,y=4+7.若点P在第一、三象限的角平分线上,则5+5=4+7,=12.若点P在第三象限内,则5+5<0,4+7<0.<-1.当=12时,点P在第一、三象限的角平分线上;当<-1时,点P在第三象限内.答案:12<-19.(1)已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a,b的坐标.(2)已知x轴的正方向与向量a的夹角为60°,且|a|=2,求向量a的坐标.解:(1)2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4).×2+,得5a=(-8+3,6+4)=(-5,10),则a=(-1,2),故b=(-4,3)-2(-1,2)=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1).(2)设a=(x,y).x=|a|cos 60°=2×12=1,y=±|a|sin 60°=±2×32=±3,a=(1,±3).10.已知平面上四点A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),判断四边形ABCD是否为平行四边形?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.解:四边形ABCD为平行四边形.证明如下:A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),AB=(0,4)-(-2,2)=(2,2),DC=(1,3)-(-1,1)=(2,2),AB=DC,四边形ABCD为平行四边形.11.已知O是ABC内一点,AOB=150°,BOC=90°,设OA=a,OB=b,OC=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的坐标系.由|OA|=2,得OA=(2,0).设点B的坐标为(x1,y1),点C的坐标为(x2,y2).由AOB=150°,根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1=1·cos 150°=-32,y1=12,则B-32,12,即OB=-32,12.同理,点C的坐标为-32,-332,即OC=-32,-332.设OC=mOA+nOB,则-32,-332=m(2,0)+n-32,12,即-32=2m-32n,-332=12n.解得m=-3,n=-33.故OC=-3OA-33 OB,即c=-3a-33b.12.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,连接AE.若动点P从点A出发,按如下路线运动:ABCDEAD,其中AP=AB+AE,(1)当点P为BC的中点时,求+的值;(2)满足+=1的点P有几个?解:(1)连接AC,因为点P为BC的中点,所以AP=12AB+12AC,因为DE=CD,所以CE=2CD,所以AE=AC+CE=AC+2CD=AC-2AB.因为AP=AB+AE,所以AP=(-2)AB+AC.因为AB,AC不共线,由可得-2=12,=12,解得=32,=12,所以+=2.(2)若+=1,则=1-.因为AP=AB+AE,所以AP=(1-)AB+AE,所以AP-AB=(AE-AB),所以BP=BE,所以B,P,E三点共线,所以动点P运动至点B,E,以及BE与边AD的交点时满足条件,即满足+=1的点P有3个.
