2019版数学人教B版选修4-4训练：第二章 参数方程 检测 Word版含解析.doc
第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1直线x=3+tsin70°,y=-tcos70°的倾斜角为()A.20°B.70°C.110°D.160°解析:令t'=-t,直线的参数方程化为x=3+t'cos160°,y=t'sin160°.故直线的倾斜角为160°.答案:D2极坐标方程=cos 和参数方程x=-1-t,y=2+3t所表示的图形分别是()A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线解析:=cos ,x2+y2=x表示圆.x=-1-t,y=2+3t,3x+y+1=0表示直线.答案:A3椭圆x=3cost,y=4sint(0t2)的离心率是()A.74B.73C.72D.75答案:A4已知三个方程:x=t,y=t2;x=tant,y=tan2t;x=sint,y=sin2t(都是以t为参数),则表示同一曲线的方程是()A.B.C.D.解析:的普通方程都是y=x2,但中x的取值范围相同,都是xR,而中x的取值范围是-1x1.答案:B5若直线x=tcos,y=tsin与圆x=4+2cos,y=2sin, 02相切,则直线的倾斜角为()A.6或56B.4或34C.3或23D.-6或-56解析:直线的普通方程为y=tan ·x,圆的普通方程为(x-4)2+y2=4,由于直线与圆相切,则|4sin|sin2+cos2=2,即|sin |=12.tan =±33,=6或56.答案:A6设曲线C的参数方程为x=2+3cos,y=-1+3sin(02),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=|2+3+2|10=71010,且3-71010<71010,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.答案:B7若x=x0-3,y=y0+4(为参数)与x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数)表示同一条直线,则与t的关系是()A.=5tB.=-5tC.t=5D.t=-5解析:比较x-x0,得-3=tcos ,比较y-y0,得4=tsin ,消去的三角函数,得252=t2,得t=±5,借助于直线的斜率,可排除t=-5,所以t=5.答案:C8直线l1:x=1+tcos,y=2-tsin,如果为锐角,那么直线l1与直线l2:x+1=0的夹角是()A.2-B.2+C.D.-解析:直线l1可化为y-2=-tan (x-1),l2的倾斜角为2,l1的倾斜角为-.故l1与l2的夹角为2-.答案:A9设R>0,则直线xcos +ysin =R与圆x=Rcos,y=Rsin (02)的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.视R的大小而定解析:根据已知圆的圆心在原点,半径是R,则圆心(0,0)到直线的距离为d=|0+0-R|cos2+sin2=R,恰好等于圆的半径,所以直线和圆相切.答案:B10参数方程x=1t,y=1tt2-1所表示的曲线是()解析:将参数方程进行消参,则t=1x,把t=1x代入y=1tt2-1中,得当x>0时,x2+y2=1,此时y0;当x<0时,x2+y2=1,此时y0.对照选项,可知D正确.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设直线l1的参数方程为x=1+t,y=1+3t,直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为. 解析:化l1为普通方程,l1:y=3x-2.故l1与l2间的距离为d=|-2-4|32+(-1)2=3510.答案:310512双曲线x=tant,y=sect的渐近线方程为. 解析:化参数方程为普通方程,得y2-x2=1.故其渐近线为y=±x,即x±y=0.答案:x±y=013椭圆x2a2+y2b2=1的内接矩形的最大面积是. 解析:如图,设椭圆参数方程为x=acost,y=bsint,设A(acos t,bsin t),t0,2,则S矩形=(2acos t)(2bsin t)=2absin 2t,当2t=2,即t=4时,S矩形有最大值2ab.答案:2ab14圆的摆线上有一点(,0),在满足条件的所有摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数t=4对应的点的坐标为. 解析:根据摆线的参数方程x=a(t-sint),y=a(1-cost)(t为参数),把点(,0)代入可得=a(t-sint),0=a(1-cost)cos t=1,则sin t=0,t=2k(kZ),所以a=2k=12k(kZ),又a>0,所以kN+,当k=1时,a取最大值为12,再把t=4代入x=12(t-sint),y=12(1-cost),得x=-228,y=2-24.答案:-228,2-2415已知直线l的参数方程为x=1+t,y=4-2t,圆C的参数方程为x=2cos+2,y=2sin(02),则直线l被圆C所截得的弦长为. 解析:将直线l的参数方程x=1+t,y=4-2t化为普通方程,得l:2x+y-6=0,圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,则圆心到直线l的距离d=|4-6|5=255,故弦长为24-2552=855.答案:855三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)如图,已知椭圆x24+y2=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点,求证|OP|·|OQ|为定值.证明椭圆x24+y2=1的参数方程可设为x=2cost,y=sint,0t2.设M(2cos t,sin t),又B1(0,-1),B2(0,1),则MB1的方程为y+1=sint+12costx,令y=0,则x=2costsint+1,即|OP|=2cost1+sint.MB2的方程为y-1=sint-12costx,则|OQ|=2cost1-sint,所以|OP|·|OQ|=2cost1+sint·2cost1-sint=4.故|OP|·|OQ|为定值4.17(8分)已知抛物线y2=2px(p>0)上存在两点A,B关于直线x+y-1=0对称,求p的取值范围.解:设抛物线的参数方程为x=2pt2,y=2pt,两点A(2pt12,2pt1),B(2pt22,2pt2),t1t2,又A,B两点关于直线x+y-1=0对称,则有p(t12+t22)+p(t1+t2)=1,2p(t2-t1)2p(t22-t12)=1.由得t1+t2=1,代入得t12+t22=1-pp>0,0<p<1.又由t12+t222>t1+t222,得1-pp>12,0<p<23.综上所述,p的取值范围是0,23.18(9分)已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解:(1)曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=55|4cos +3sin -6|,则|PA|=dsin30°=255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =43.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.
