2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章　圆锥曲线与方程 测评 Word版含解析.pdf

第三章测评第三章测评 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.方程 x2+(x2+y2-1)2=0 所确定的曲线是( ) A.y轴或圆B.两点(0,1)与(0,-1) C.y轴或直线 y=±1D.以上都不正确 答案:B 2.如图,已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A(-6,0),M 为圆 O 上任一点,AM 的垂直平分线交 OM 于点 P, 则点 P 的轨迹是( ) A.圆B.抛物线 C.椭圆D.两条直线 解析:P为 AM垂直平分线上的点, |PM|=|PA|. 又|OP|+|PM|=10, |PA|+|PO|=106=|AO|. 故 P 点的轨迹是以 A,O 为焦点,长轴长为 10 的椭圆. 答案:C 3.双曲线=1(mn0)的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为( ) 2 2 A.B.C.D. 3 16 3 8 16 3 8 3 解析:抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0), 双曲线=1的焦点在 x 轴上. 2 2 m0,n0,a=,b=, c=1,e=2, + + mn=. = 1 4, = 3 4, 3 16 答案:A 4.若抛物线 y2=4x上一点 P到焦点 F 的距离为 10,则 P 点坐标为( ) A.(9,6)B.(9,±6) C.(6,9)D.(6,±9) 解析:抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为 x=-1. P 到 F 的距离为 10,设 P 为(x,y), x+1=10,x=9.又 P在抛物线上, y2=36,y=±6,P 点坐标为(9,±6). 答案:B 5.以双曲线=-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) 2 4 2 12 A.=1B.=1 2 16 + 2 12 2 12 + 2 16 C.=1D.=1 2 16 + 2 4 2 4 + 2 16 解析:椭圆的顶点和焦点分别是=-1 的焦点和顶点,椭圆的长半轴长为 4,半焦距为 2,且焦 2 4 2 12 3 点在 y轴上,故所求方程为=1. 2 16 + 2 4 答案:D 6.若点 P 是以 F1,F2为焦点的椭圆=1(ab0)上一点,且=0,tanPF1F2= ,则此椭圆的 2 2 + 2 2 1·2 1 2 离心率 e=( ) A.B.C.D. 5 3 2 3 1 3 1 2 解析:由=0得.1·21 2 则 tanPF1F2=. | 2| | 1| = 1 2 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m. 5 所以 e=. = | 12| | 1| + |2| = 5 3 答案:A 7.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e=k,则双曲线方程为( ) 2 2 2 2 5 A.=1B.=1 2 2 2 42 2 2 2 52 C.=1D.=1 2 42 2 2 2 52 2 2 解析:由题意,知 k= .又 e=k= ,所以,即 c=b.易知 a2=5b2-b2=4b2. 5 5· = 5 答案:C 8.抛物线 y=x2上到直线 2x-y-4=0 的距离最近的点的坐标是( ) A.B.(1,1) ( 3 2, 5 4) C.D.(2,4) ( 3 2, 9 4) 解析:设 P(x,y)为抛物线 y=x2上任意一点,则 P 到直线 2x-y-4=0 的距离 d=|2 - - 4| 5 = | 2 - 2 + 4| 5 = ,当 x=1 时 d 最小,此时 y=1,故选 B. |( - 1)2 + 3| 5 = ( - 1)2+ 3 5 答案:B 9.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN相切于点 B,过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则点 P 的轨迹方程为( ) A.x2-=1(x1)B.x2-=1(x0)D.x2-=1(x1) 2 8 2 10 解析:设圆与直线 PM,PN 分别相切于 E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|. |PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,点 P 的轨迹是以 M(-3,0),N(3,0)为焦 点的双曲线的右支,且 a=1,c=3,b2=8.故双曲线的方程是 x2-=1(x1). 2 8 答案:A 10.若点 P 为共焦点的椭圆 C1和双曲线 C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心 率为 e1,双曲线的离心率为 e2,若=0,则=( )1·2 1 2 1 + 1 2 2 A.1B.2C.3D.4 解析:设椭圆的方程为=1(a1b10),双曲线的方程为=1(a20,b20),它们的半焦距为 c,不 2 2 1 + 2 2 1 2 2 2 2 2 2 妨设 P 为它们在第一象限的交点,因为=0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.1·2 由椭圆和双曲线的定义知, | 1| + |2| = 21, | 1| - |2| = 22, 解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入式,得(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即=2c2,2 1+ 22 所以=2. 1 2 1 + 1 2 2 = 2 1 2 + 2 2 2 = 2 1+ 22 2 答案:B 11.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 OAB的面积为( ) A.B.C.D. 33 4 93 8 63 32 9 4 解析:由已知得 F,故直线 AB 的方程为 y=tan 30°,即 y=x-. ( 3 4 ,0 )( - 3 4) 3 3 3 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 = 3 3 - 3 4 , 2= 3, 将代入并整理得 x2- x+=0, 1 3 7 2 3 16 x1+x2=, 21 2 线段|AB|=x1+x2+p=12. 21 2 + 3 2 又原点(0,0)到直线 AB的距离为 d=, 3 4 1 3+ 1 = 3 8 SOAB= |AB|d= ×12×. 1 2 1 2 3 8 = 9 4 答案:D 12.导学号 90074088在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为 |P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|) 的点的轨迹可以是( ) 解析:不妨设 F1(-a,0),F2(a,0),其中 a0,点 P(x,y)是其轨迹上的点,P 到 F1,F2的“L-距离”之和等于定值 b(大于|F1F2|), 所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b, 即|x-a|+|x+a|+2|y|=b. 当 xa,y0时,上式可化为 x+y= ; 2 当 xa,y1 4 或 kb0),则 e=.因为 2 2 2 + 2 2 = 2 2 c=1,所以 a=.所以 b=1.故所求椭圆的方程为+y2=1. 22 - 2 2 2 答案:+y2=1 2 2 15.在抛物线 y2=16x 内,通过点 M(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是 . 解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A,B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得=16x1,=16x2,两式2 1 2 2 相减得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即, 1 - 2 1 - 2 = 16 1+ 2 又M(2,4)是 A,B 的中点,y1+y2=2×4=8, kAB=2. 1 - 2 1 - 2 = 16 1+ 2 = 16 8 所求直线方程为 y=2x. 答案:y=2x 16.导学号 90074089已知双曲线 C1:=1(a0,b0)与双曲线 C2:=1 有相同 2 2 2 2 2 4 2 16 的渐近线,且 C1的右焦点为 F(,0),则 a= ,b= . 5 解析:与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为=(0). 2 4 2 16 2 4 2 16 C1的右焦点为(,0),0. 5 a2=4,b2=16,c2=20=5. = ,即 a2=1,b2=4,a=1,b=2. 1 4 答案:1 2 三、解答题(本大题共 6个小题,共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(满分 10分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为 y=x,且过点(4,- ). 10 (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求.1·2 解(1)双曲线的一条渐近线方程为 y=x,a=b, 设双曲线方程为 x2-y2=(0). 把(4,-)代入双曲线方程得 42-(-)2=, 1010 =6,所求双曲线方程为 x2-y2=6, 即=1. 2 6 2 6 (2)由(1)知双曲线方程为 x2-y2=6, 双曲线的焦点为 F1(-2,0),F2(2,0). 33 点 M在双曲线上,32-m2=6,m2=3, =(-2-3,-m)·(2-3,-m)1·2 33 =(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0. 3 18.(满分 12分) 如图,已知抛物线 C1:x2+by=b2经过椭圆 C2:=1(ab0)的两个焦点. 2 2 + 2 2 (1)求椭圆 C2的离心率; (2)设点 Q(3,b),又 M,N为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点,若QMN 的重心在抛物线 C1上,求 C1和 C2 的方程. 解(1)因为抛物线 C1经过椭圆 C2的两个焦点 F1(-c,0),F2(c,0), 所以 c2+b×0=b2,即 c2=b2. 由 a2=b2+c2=2c2,得椭圆 C2的离心率 e=. 2 2 (2)由(1)可知 a2=2b2,则椭圆 C2的方程为 =1. 2 22 + 2 2 联立抛物线 C1的方程 x2+by=b2得 2y2-by-b2=0, 解得 y=- 或 y=b(舍去),所以 x=±b, 2 6 2 即 M,N. (- 6 2 , - 2) ( 6 2 , - 2) 所以QMN 的重心坐标为(1,0). 因为重心在抛物线 C1上,所以 12+b×0=b2, 得 b=1.所以 a2=2. 所以抛物线 C1的方程为 x2+y=1, 椭圆 C2的方程为+y2=1. 2 2 19.(满分 12分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x2-y2=1. (1)设 F 是 C的左焦点,M是 C 右支上一点,若|MF|=2,求点 M 的坐标; 2 (2)设斜率为 k(|k|0)交于 A,B 两点,O 为坐标原点,=(-4,-12). + (1)求直线 l和抛物线 C 的方程; (2)抛物线上一动点 P从点 A 到点 B 运动时,求ABP 面积的最大值. 解(1)由得 x2+2pkx-4p=0. = - 2, 2= - 2, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk, y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. 因为=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12), + 所以解得 - 2 = - 4, - 22- 4 = - 12, = 1, = 2, 所以直线 l的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x2=-2y. (2)设点 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与直线 l 平行时,ABP 的面积最大. 设切线方程是 y=2x+t, 由得 x2+4x+2t=0, = 2 + , 2= - 2 =42-4×2t=0,t=2. 此时,点 P 到直线 l的距离为两平行线间的距离, d=. |2 + 2| 5 = 45 5 由得 x2+4x-4=0, = 2 - 2, 2= - 2, |AB|=|x1-x2|1 + 2 = 1 + 2· (1+ 2)2- 41 · 2 =4,1 + 22· ( - 4)2- 4 × ( - 4) 10 ABP 面积的最大值为 ×4=8. 1 2 10× 45 5 2 22.导学号 90074090(满分 12分) 如图,O为坐标原点,双曲线 C1:=1(a10,b10)和椭圆 C2:=1(a2b20)均过点 P,且 2 2 1 2 2 1 2 2 2 + 2 2 2 ( 23 3 ,1 ) 以 C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1交于 A,B 两点,与 C2只有一个公共点,且|=|?证明你的结 + 论. 解(1)设 C2的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2. 从而 a1=1,c2=1. 因为点 P在双曲线 x2-=1 上, ( 23 3 ,1 ) 2 2 1 所以=1.故=3. ( 23 3) 2 1 2 1 2 1 由椭圆的定义知 2a2=2. ( 23 3) 2 + (1 - 1)2+( 23 3) 2 + (1 + 1)2 3 于是 a2=2. 3,2 2= 22 22 故 C1,C2的方程分别为 x2-=1,=1. 2 3 2 3 + 2 2 (2)不存在符合题设条件的直线. 若直线 l垂直于 x 轴,因为 l与 C2只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x=或 x=-. 22 当 x=时,易知 A(),B(,-), 22,323 所以|=2,|=2. + 23 此时,|. + 当 x=-时,同理可知,|. 2 + 若直线 l不垂直于 x 轴,设 l的方程为 y=kx+m. 由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. = + , 2- 2 3 = 1 当 l与 C1相交于 A,B两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2是上述方程的两个实根,从而 x1+x2= 2 3 - 2 ,x1x2=. 2+ 3 2 - 3 于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=. 32- 32 2 - 3 由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. = + , 2 3 + 2 2 = 1 因为直线 l与 C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式 =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化简,得 2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=0,· 2+ 3 2 - 3 + 32- 32 2 - 3 = - 2 - 3 2 - 3 于是+2-2,2+ 2· 2+ 2· 即|,故|. + 2 2 + 综合可知,不存在符合题设条件的直线.