2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章　空间向量与立体几何 2.3.2 Word版含解析.pdf

3.2 空间向量基本定理 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.下列命题是真命题的有( ) 空间中的任何一个向量都可用 a,b,c 表示;空间中的任何一个向量都可用基底 a,b,c表示;空间中的任何一个向 量都可用不共面的三个向量表示;平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示. A.4 个B.3个C.2 个D.1 个 解析:根据基底的含义可知是真命题. 答案:C 2.设命题 p:a,b,c 是三个非零向量;命题 q:a,b,c 为空间的一个基底,则命题 p是命题 q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析:若 a,b,c 为非零向量,则 a,b,c 不一定为空间的一个基底,但若 a,b,c为空间的一个基底,则 a,b,c肯定为非零向量,所 以 p 是 q的必要不充分条件. 答案:B 3.已知 a,b,c 是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是( ) A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2a C.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c 解析:设 a+2b=(2a)+(a-b),得 = ,=-2, 3 2 所以 2a,a-b,a+2b共面.同理可得 B,D 选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底. 答案:C 4. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,D 是四边形 BB1C1C 的中心,且=a,=b,=c,则=( ) 11 A. a+ b+ c 1 2 1 2 1 2 B. a- b+ c 1 2 1 2 1 2 C. a+ b- c 1 2 1 2 1 2 D.- a+ b+ c 1 2 1 2 1 2 解析: )=c+ (-)=c- a+ (-c)+ b=- a+ b+ c. 1 = 11+ 1 = + 1 2(1 + 11 1 2 1+ + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 答案:D 5.已知平行六面体 OABC-O'A'B'C'中,=a,=b,=c.若 D是四边形 OABC的中心,则( ) ' A.=-a+b+c ' B.=-b+ a+ c ' 1 2 1 2 C.a-b- c ' = 1 2 1 2 D.a+ c- b ' = 1 2 1 2 1 2 解析: =-b+) ' = ' + 1 2( + =-b+ a+ c. 1 2 1 2 答案:B 6.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M 为 AC 与 BD 的交点,若=a,=b,=c,且 f=- a+ b+c,k= a+ b+c,h= 11111 1 2 1 2 1 2 1 2 a- b+c,则在 f,k,h 中与相等的向量是 . 1 2 1 2 1 解析:求与相等的向量,就是用基向量 a,b,c 线性表示)=- 11.1 = 1 + = 1 + 1 2( + 1 211 + 1 2 =- a+ b+c=f. 11+ 1 1 2 1 2 答案:f 7.如图,已知四面体 O-ABC,M 是 OA 的中点,G 是ABC的重心,用基底表示向量的表达式为 . , 解析: )=-. = + = 1 2 + 2 3 = 1 2 + 2 3( 1 2 + 2 3( 1 2 + 1 2 - ) 1 6 + 1 3 + 1 3 答案:- 1 6 + 1 3 + 1 3 8.如图,已知 ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,设 M 是底面 ABCD 的对角线的交点,N是侧面 BCC'B'对角线 BC'上的点,且 分的比是 31,设=+,则 , 的值分别为 , , . ' ' 解析: = + = 1 2 + 3 4 ' =)+) 1 2( + 3 4( + ' = (-)+) 1 2 + 3 4( + ' =, 1 2 + 1 4 + 3 4 ' = ,= ,= . 1 2 1 4 3 4 答案: 1 2 1 4 3 4 9.导学号 90074030如图,已知 PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,G为PDC的重心,=i, =j,=k,试用基底 i,j,k 表示向量. , 解 = 2 3 = 2 3 1 2( + ) =) 1 3( + + + = 1 3 + 2 3 2 3 = i+ j- k. 1 3 2 3 2 3 = + + = + + 1 3 = 1 2 1 3 = 1 2 ( 1 6 + 1 3 - 1 3) = 2 3 2 3 + 1 3 =- i+ j+ k. 2 3 2 3 1 3 B组 1.在以下 3 个命题中,真命题的个数是( ) 三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c共面. 若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b共线. 若 a,b 是两个不共线向量,而 c=a+b(,R 且 0),则a,b,c构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.3 解析:是真命题,是假命题. 答案:C 2. 如图,在四面体 O-ABC中,=a,=b,=c,点 M 在 OA上,且 OA=2OM,N为 BC中点,则等于( ) A. a- b+ c 1 2 2 3 1 2 B.- a+ b+ c 1 2 1 2 1 2 C. a+ b- c 1 2 1 2 1 2 D.- a+ b- c 2 3 2 3 1 2 解析: )-=- a+ b+ c. = = 1 2( + 1 2 1 2 1 2 1 2 答案:B 3.已知 A-BCD 是四面体,O 为BCD 内一点,则)是 O为BCD的重心的( ) = 1 3( + + A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 解析:若 O 为BCD 的重心,则),反之也成立. = 1 3( + + 答案:C 4. 如图,若 P为平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,且 G 为PCD 的重心,若=x+y+z,试求 x+y+z的值. 解取 CD的中点 H,连接 PH(图略).G 为PCD 的重心, . = 2 3 = + = + 2 3 =)= + 2 3 × 1 2( + + 1 3 + 1 3 =)+) + 1 3( 1 3( = 1 3 + 1 3 + 1 3 =. 1 3 + 2 3 + 1 3 x= ,y= ,z= ,x+y+z= . 1 3 2 3 1 3 4 3 5.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,ACB=90°,EA平面 ABCD,EFAB,FGBC,EG AC,AB=2EF.若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM平面 ABFE. 证明EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90°, EGF=90°,ABCEFG. AB=2EF, AC=2EG. M为 AD的中点,MA= DA. 1 2 . = + + = 1 2 + + 1 2 = 1 2 + 1 2 + = 1 2 + = . 又 AF平面 ABFE,GM平面 ABFE, GM平面 ABFE. 6. 导学号 90074031如图,在平行六面体 ABCD-EFGH中,已知 M,N,R分别是 AB,AD,AE上的点, 且 AM=MB,AN= ND,AR=2RE,求平面 MNR 分对角线 AG所得的线段 AP与 AG的比. 1 2 解设=m,由=2+3,得=2m+3m. = + + + 3 2 + 3 2 P,M,R,N 四点共面, 2m+ m+3m=1,解得 m=,即. 3 2 2 13 = 2 13