2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习：第二章　变化率与导数 2.3 Word版含解析.pdf

§3 计算导数计算导数 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.函数 y=lg x 在 x=1处的瞬时变化率为( ) A.0B.1 C.ln 10D. 1 ln10 解析:y'=,函数在 x=1 处的瞬时变化率为. 1 ln10 1 1 × ln10 = 1 ln10 答案:D 2.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为 3x-y+1=0,则( ) A.f'(x0)0 C.f'(x0)=0D.f'(x0)不存在 解析:由导数的几何意义可知曲线在点(x0,f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线斜率,所以 f'(x0)=3.故选 B. 答案:B 3.已知 f(x)=x2,g(x)=x3,且 f'(x) 2 3 C.0 2 3 2 3 解析:f(x)=x2,g(x)=x3,且 f'(x)0. x(3x-2)0.x . 2 3 答案:D 4.若曲线 y=x4的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l的方程为( ) A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0 解析:切线 l 与直线 x+4y-8=0垂直, 切线 l 的斜率为 4.又 y'=4x3, 由切线的斜率为 4,得 4x3=4,即 x=1,切点坐标为(1,1). 切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0. 答案:A 5.已知偶函数 f(x)在 R 上可导,且 f'(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则曲线 y=f(x)在 x=-5处切线的斜率为( ) A.2B.-2C.1D.-1 解析:由 f(x+2)=f(x-2),得 f(x+4)=f(x),可知函数 f(x)的周期为 4,又函数 f(x)为偶函数,所以 f(-5)=f(5)=f(1),所以曲线 y=f(x)在 x=-5处切线的斜率 k=f'(-5)=-f'(1)=-1. 答案:D 6.已知 f(x)=sin x,g(x)=cos x,h(x)=ln x,则 f'+g'-h'= . ( 4) ( 4) ( 1 2) 解析:f'(x)=(sin x)'=cos x,g'(x)=(cos x)'=-sin x,h'(x)=(ln x)'= , 1 f'+g'-h'-2=-2. ( 4) ( 4) ( 1 2) = 2 2 2 2 答案:-2 7.已知幂函数 y=f(x)的导函数的图像过点,则 f(2)= . ( 1, 1 2) 解析:设 f(x)=x,则 f'(x)=x-1,f'(1)= , 1 2 f(x)=.f(2)=. 1 2 2 答案: 2 8.在曲线 y=上求一点 P,使曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°. 4 2 解设点 P坐标为(x0,y0), y'=-8x-3, f'(x0)=-8=tan 135°=-1. - 3 0 x0=2,代入 y0=,得 y0=1. 4 2 0 点 P的坐标为(2,1). 9.(1)求曲线 y=ex在 x=2 处的切线方程; (2)过原点作曲线 y=ex的切线,求切线方程. 解(1)y=ex,y'=ex. 当 x=2 时,y'=e2,故所求切线方程为 y-e2=e2(x-2),即 y=e2x-e2. (2)设切点坐标为(x0,),在该点处的切线的斜率为 k=,故切线方程为 y-(x-x0),当切线过原点时,有 0- e0e0e0= e0e0 (0-x0),解得 x0=1,因此所求切线方程为 y-e=e(x-1),即 y=ex. = e0 10.导学号 88184022设曲线 f(x)=上有点 P(x1,y1),与曲线切于点 P的切线为 m,若直线 n过点 P 且与 m 垂直,则称 n 为曲线在点 P 处的法线.设 n 交 x轴于点 Q,又作 PRx轴于点 R,求 RQ的长. 解f(x)=,f'(x)= . = 1 2 1 2 - 1 2= 1 2 f'(x1)= . 1 2 1 又直线 n 与 m垂直,直线 n的斜率为-2. 1 直线 n 的方程为 y-y1=-2(x-x1), 1 令 y=0,得-y1=-2(xQ-x1), 1 xQ= +x1. 1 2 又知 xR=x1, |RQ|=|xQ-xR|=. | 1 2 + 1 - 1|= 1 2 B组 1.在下列四个命题中,真命题的个数为( ) 若函数 f(x)=,则 f'(0)=0; 加速度是动点位移函数 s(t)对时间 t 的导数; 函数 y=x5的导数的值恒大于或等于零. A.0B.1 C.2D.3 解析:f(x)=在 x=0 处不可导;加速度是动点速度函数 v(t)对时间 t的导数;y'=(x5)'=5x40,所以正确的命题为. 答案:B 2.若指数函数 f(x)=ax(a0,a1)满足 f'(1)=ln 27,则 f'(-1)=( ) A.2B.ln 3 C.D.-ln 3 ln3 3 解析:f'(x)=axln a,则 f'(1)=a ln a=ln 27,解得 a=3. f'(x)=3xln 3.f'(-1)=. ln3 3 答案:C 3.正弦曲线 y=sin x 上有一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l的倾斜角的范围是 . 解析:y'=(sin x)'=cos x,且 cos x-1,1, k-1,1. 设直线 l 的倾斜角为 ,则由 k=tan 知-1tan 1,且 0,). . 0, 4 3 4,) 答案: 0, 4 3 4,) 4.导学号 88184023设抛物线 y=x2与直线 y=x+a(a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点 处的切线分别为 l1,l2,求 a 值变化时,l1与 l2交点的轨迹. 解将 y=x+a代入 y=x2整理得 x2-x-a=0, 为使直线与抛物线有两个不同的交点,必须 =(-1)2+4a0,即 a- . 1 4 设两交点为(,2),(,2),且 . 由 y=x2得 y'=2x, 则切线 l1,l2的方程分别为 y=2x-2,y=2x-2, 设两切线交点为(x,y),则 = + 2 , = . 又 , 是方程的解,由根与系数的关系可知 +=1,=-a,代入得 x= ,y=-a . 1 2 1 4 从而,所求的轨迹为直线 x= 上的 y 的部分. 1 2 1 4