2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题15不等式选讲理含解析.pdf

专题 15 不等式选讲专题 15 不等式选讲 1【2019 年高考全国卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明： （1）； 222 111 abc abc （2） 333 ()()()24abbcca 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）因为，又，故有 222222 2,2,2abab bcbc caac1abc 222 111abbcca abcabbcca abcabc 所以 222 111 abc abc （2）因为为正数且，故有, , a b c1abc 333333 3 ()()()3 () () ()abbccaabbcac =3( + )( + )( + )a b b c a c 3 (2) (2) (2)abbcac =24 所以 333 ()()()24abbcca 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用 能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立 2【2019 年高考全国卷理数】已知( ) |2|().f xxa xxxa （1）当时，求不等式的解集；1a ( )0f x （2）若时，求的取值范围(,1)x ( )0f x a 【答案】（1）；（2）(,1)1,) 【解析】（1）当a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx 当时，；当时，1x 2 ( )2(1)0f xx 1x ( )0f x 所以，不等式的解集为( )0f x (,1) （2）因为，所以( )=0f a1a 当，时，1a (,1)x ( )=() +(2)()=2()(1)2xx 【答案】 1 |1 3 x xx 或 【解析】当x2，即x时，原不等式可化为x+2x12，解得x1 1 2 综上，原不等式的解集为 1 |1 3 x xx 或 【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力 5【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】设函数 ( )333( )442f xxxg xxax， （1）解不等式；( )10f x （2）若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围 1 x R 2 x R 12 ()()f xg xa 【答案】（1）或；（2）4x 1x 40a 【解析】（1）不等式等价于或或 3 4610 x x 13 210 x x 3 6410 x x 解得或4x 1x （2）对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域 1 x R 2 x R 12 ()= ()f xg x( )g x( )f x ， 由图可得时， 所以的值域为 46,3 ( )3332 ,13 64,1 xx f xxxxx x 1x min ( )2f x( )f x2,) ，当且仅当与异号时取等号，( )442(4)(42)2g xxaxxaxa4xa42x 所以的值域为，( )g x2 ,)a 由题，所以，解得2,) 2 ,)a22a 40a 【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题 6 【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试数学】 已知函数， 不等式( )2f xax( )4f x 的解集为| 26xx （1）求实数a的值； （2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围( )( )(3)g xf xf xxR( )2g xtx 【答案】（1）1；（2） 1 (, 1 ,) 2 t 【解析】（1）由得44，即26，42ax2ax ax 当0 时，所以，解得1； a 26 x aa 2 2 6 6 a a a 当0 时，tkBM， 又因为kAM1， 1 2 BM k 所以t1 或， 1 2 t 即t（，1，） 1 2 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能 力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题 7【安徽省合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测数学】设函数( ) |1|f xx （1）若，求实数的取值范围；+2 2f xx（ ）x （2）设，若的最小值为，求的值=+1g xf xf axa（ ）（ ）（）（）g x（ ） 1 2 a 【答案】（1）；（2） 1 3 ，2a 【解析】（1），即 22f xx1 22xx 或， 10 122 x xx 10 122 x xx 1 3 x 实数的取值范围是x 1 3 ， （2），1a 1 1 a 121 1 11 1 12 axx g xa xx a axx a ， ， ， 易知函数在单调递减，在单调递增， g x 1 a ， 1 a ， min 11 1g xg aa ，解得 11 1 2a 2a 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式， 难度中等 8【河南省中原名校（即豫南九校）2018 届高三第六次质量考评理科数学】已知函数 21f xxag xx（ ），（ ） （1）若的最小值为 1，求实数的值；2f xg x（ ）（ ）a （2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围x1f xg x（ ） （ ） 1 1 2 ，a 【答案】（1）或 4（2）8a 3 1 2 ， 【解析】（1）当时，1b 1 |1| |1| |1| 2222 aaa f xg xxxxx 因为的最小值为 3，所以，解得或 4 1 2 f xg x13 2 a 8a （2）当时，即，1b 1f xg x211xax 当时，即， 1 1 2 x ，211xax2112xaxxax 3 a xa 因为不等式的解集包含，所以且， 1f xg x 1 1 2 ，1a 1 32 a 即，故实数的取值范围是 3 1 2 aa 3 1 2 ， 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力 9【河南省顶级名校 2019 届高三质量测评数学】已知函数 121f xxx （1）解不等式； 2f xx （2）若，对，使成立，求实数的取值 3231g xxmx 12 xxRR， 12 f xg xm 范围 【答案】（1）；（2）|01xx 1 5 4 4 ， 【解析】（1）不等式等价于或或 ， 1 32 x xx 1 1 2 22 x xx 1 2 32 x xx 解得或或，x 1 0 2 x 1 1 2 x 所以不等式的解集为2f xx（ ）|01xx （2）由知，当时， 31 1 ( )21 2 1 3 2 xx f xxx xx ， ， ， 1 2 x min 13 ( )( ) 22 f xf ，323121g xxmxm（ ）（） （） 当且仅当时取等号，(32 )(31)0xmx 所以，解得故实数的取值范围是 3 21 2 m 15 44 mm 1 5 4 4 ， 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力 10【吉林省吉大附中 2018 届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数( )f xxa （1）当时，解不等式；2a ( )1621f xx （2）若关于x的不等式的解集为，求证：( )1f x 0,2( )(2)2f xf x 【答案】（1）或（2）见解析 17 | 3 x x 5x 【解析】（1）当时，不等式为，2a 22116xx 当时，原不等式可化为，解得，2x 221 16xx 17 3 x 当时，原等式可化为，解得，不满足，舍去； 1 2 2 x 221 16xx 13x 当时，原不等式可化为，解得； 1 2 x 221 16xx 5x 不等式的解集为或 17 | 3 x x 5x （2）即，解得，( )1f x 1xa11axa 而解集是，所以，( )1f x 0 2， 10 12 a a 解得，从而1a ( )1f xx 于是只需证明，( )(2)2f xf x 即证，112xx 因为111xxx 1112xxx 所以，证毕112xx 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行 分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题 11【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学】设函数( )2f xxxa （1）当时，求不等式的解集；1a ( )2f x （2）当时，求的取值范围xyR，2( )( )2( )f yf xf y a 【答案】（1）；（2） 3 | 2 xx 31， 【解析】（1）当a=1 时， 31 ( )1 212 32 x f xxx x ， ， ， 可得的解集为； 2f x 3 | 2 xx （2）当时，xyR， ， mamin 2( )( )2( )( )( )2( )( )2 x f yf xf yf xf yf xf x 因为， 222xxaxxaa 所以 222aa 所以，所以21a31a 所以a的取值范围是3，1 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何 意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式 恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用 12【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f xx（ ） （1）求不等式的解集；1f xxx（ ） （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围 2 log32f xf xf xa （ ）（ ）Ra 【答案】（1）；（2） 1 3 ， 3 2 ， 【解析】（1）由已知不等式，得， 1f xxx21xxx 当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；2x 21xxx3x 2x 当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；12x 21xxx 1 3 x 1 2 3 x 当时，由得，此时无解1x 21xxx3x 综上可得所求不等式的解集为 1 3 ， （2）要使函数的定义域为， 2 log32yf xf xa R 只需的最小值大于 0 即可 32g xf xf xa 又，当且仅当时取等号 12212232g xxxaxxaa 12x ， 所以只需，即320a 3 2 a 所以实数的取值范围是a 3 2 ， 【点睛】绝对值不等式的常见解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 13【甘肃省兰州市第一中学 2019 届高三 6 月最后高考冲刺模拟数学】已知函数( )211f xxx （1）解不等式；( )3f x （2） 记函数的最小值为， 若均为正实数， 且， 求的最小值( )f x m, ,a b c 232abcm 222 abc 【答案】（1）；（2）11x xx 或 9 14 【解析】（1）由题意， 3 ,1 1 ( )2, 1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x 所以等价于或或( )3f x 1 33 x x 1 1 2 23 x x 1 2 33 x x 解得或，所以不等式的解集为；1x 1x 11x xx 或 （2）由（1）可知，当时，取得最小值， 1 2 x ( )f x 3 2 所以，即， 3 2 m 233abc 由柯西不等式得， 2222222 ()(123 )(23 )9abcabc 整理得， 222 9 14 abc 当且仅当时，即时等号成立 123 abc 369 , 141414 abc 所以的最小值为 222 abc 9 14 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不 等式即可，属于常考题型 14【四川省成都市第七中学 2019 届高三二诊模拟考试数学】已知设函数000abc， f xxbxcaxR（ ）， （1）若，求不等式的解集；1abc5f x （ ） （2）若函数的最小值为 ，证明：）f x（ ）1 149 18 abc abbcca （ 【答案】（1）；（2）详见解析( 2,2) 【解析】（1），不等式，即，1abc( )5f x |1|1| 4xx 当时，1x 11421xxx 当时，11x 11411xxx 当时，1x 11412xxx 解集为；( 2,2) （2），( )f xxbxcaxcxba（） （）bca ，000abc， min ( )1f xabc 149 abbcca 149 abbcca abc（） 1149 2 abbcca abbcac （） 222 1123 2abbcca 222 abbcca （） （） （） 2 1123 2 abbcca abbcca 1818 abc（） 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难 15 【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】 已知函数， 且 2 1f xxxabcR， ， （1）若，求的最小值；1abc f af bf c （2）若，求证：1xa 21f xf aa 【答案】（1）；（2）见解析 7 3 【解析】（1）由柯西不等式得，（当且仅当时取等 2 222 14 33 abcabc 2 3 abc 号），所以， 222 47 31 33 f af bf cabcabc 即的最小值为； f af bf c 7 3 （2）因为，1xa 所以 22 11f xf axaxaxaxaxa ， 212112121xaaxaaaa 故结论成立 【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题 16【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数 ，其中实数 25f xxax0a （1）当时，求不等式的解集；3a 51f xx （2）若不等式的解集为，求的值 0f x |1x x a 【答案】（1）不等式的解集为；（2） 51f xx |12x xx或3a 【解析】（1）当时，可化为，3a 51f xx231x 由此可得或，1x 2x 故不等式的解集为； 51f xx |12x xx或 （2）法一：（从去绝对值的角度考虑） 由，得， 0f x 25xax 此不等式化等价于或，2 250 a x xax 2 250 a x xax 解得或， 2 7 a x a x 2 3 a x a x 因为，所以不等式组的解集为，0a | 3 a x x 由题设可得，故1 3 a 3a 法二：（从等价转化角度考虑） 由，得，此不等式化等价于， 0f x 25xax 525xxax 即为不等式组，解得， 52 25 xxa xax 3 7 a x a x 因为，所以不等式组的解集为，0a | 3 a x x 由题设可得，故1 3 a 3a 法三：（从不等式与方程的关系角度突破） 因为是不等式的解集，所以是方程的根， |1x x 0f x 1x 0f x 把代入得，因为，所以1x 250xax37aa 或0a 3a 【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小 17【广东省揭阳市 2019 届高三高考二模数学】已知正实数x，y满足x+y=1 （1）解关于x的不等式； 5 2 2 xyxy （2）证明： 22 11 (1)(19 xy ） 【答案】（1）（2）见解析 1 1 6 ， ） 【解析】（1），且，1xy0x 0y ， 01 5 2 5 2221 2 x xyxy xx ， 0101 111 2121 222 xx xxxxx （ ） 解得，所以不等式的解集为 1 1 6 x 1 1 6 ， ） （2）解法 1：，且，1xy00xy， 2222 2222 11()() (1)(1) xyxxyy xyxy 22 22 22xyyxyx xy 22 22 22 ()() yyxx xxyy 22 5 xy yx 22 259 xy yx 当且仅当时，等号成立 1 2 xy 解法 2：，且，1xy00xy， 22 2222 1111 (1)(1) xy xyxy 22 (1)(1) (1)(1)xxyy xy 22 (1)(1)x yy x xy 1xyxy xy ，当且仅当时，等号成立 2 1 xy 2 2 19 () 2 xy 1 2 xy 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题对于 绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法而不等式的证明，关键是灵活运用 不等式的性质以及基本不等式