2019秋 金版学案 数学·选修1-2（人教版）练习：章末评估验收卷（三） Word版含解析.pdf

章末评估验收卷章末评估验收卷(三三) (时间：时间：120 分钟 满分：分钟 满分：150 分分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 (2017·山东卷山东卷)已知已知 aR， i 是虚数单位， 若是虚数单位， 若 zai， z·4，3 z 则则 a( ) A1 或或1 B.或或77 C D.33 解析：解析：依题意，依题意，z|ai|2a334， z 3 所以所以 a±1. 答案：答案：A 2 “复数 “复数 z 是实数”的充分不必要条件为是实数”的充分不必要条件为( ) A|z|z Bzz Cz2是实数是实数 Dz是实数是实数 z 解析：解析：由由|z|z 可知可知 z 必为实数，但由必为实数，但由 z 为实数不一定得出为实数不一定得出|z|z， 如 ， 如 z2，此时，此时|z|z，故“，故“|z|z”是“”是“z 为实数”的充分不必要条件为实数”的充分不必要条件 答案：答案：A 3 若复数 若复数 z1i，是，是 z 的共轭复数， 则的共轭复数， 则 z2 2的虚部为 的虚部为( ) z z z z A0 B1 C1 D2 解析：解析：因为因为 z1i，则，则1i. z z 则则 z2 2 (1i)2(1i)22i2i0. z z 因此因此 z2 2的虚部为 的虚部为 0. z z 答案：答案：A 4i 是虚数单位，若集合是虚数单位，若集合 S1，0，1，则，则( ) AiS Bi2S Ci3S D. S 2 i 答案：答案：B 5已知已知 a 是实数，是纯虚数，则是实数，是纯虚数，则 a 等于等于( ) ai 1i A1 B1 C. D22 解析：解析：是纯虚数，是纯虚数， ai 1i （ai）（1i） （1i）（1i） （a1）（a1）i 2 则则 a10，a10，解得，解得 a1. 答案：答案：A 6z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i，则，则 m1 是是 z1z2的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D即不充分又不必要条件即不充分又不必要条件 解析：解析：因为因为 z1z2m1 或或 m2， m m2 2m13， m m2 2m42，) 所以所以 m1 是是 z1z2的充分不必要条件的充分不必要条件 答案：答案：A 7i 为虚数单位，设复数为虚数单位，设复数 z 满足满足|z|1，则的最大值为，则的最大值为 | z22z2 z1i| ( ) A.1 B222 C.1 D222 解析 ：解析 ：|z(1i)|， 故只需求， 故只需求 x2y21 上的点到上的点到(1， 1) | z22z2 z1i| 的最大距离，其值为的最大距离，其值为 1 . 2 答案：答案：C 8(2017·全国卷全国卷)设有下面四个命题设有下面四个命题 p1：若复数：若复数 z 满足 满足 R，则，则 zR； 1 z p2：若复数：若复数 z 满足满足 z2R，则，则 zR； p3：若复数：若复数 z1，z2满足满足 z1z2R，则，则 z1 2； ； z p4：若复数：若复数 zR，则，则R. z 其中的真命题为其中的真命题为( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 解析 ：解析 ： p1： 设： 设zabi(a， bR)， 则 ， 则 R， 得到， 得到b0， 1 z 1 abi abi a2b2 所以所以 zR.故故 p1正确；正确； p2： 若： 若 z21，满足，满足 z2R，而，而 zi，不满足，不满足 zR，故，故 p2不正确 ；不正确 ； p3： 若： 若 z11， z22， 则， 则 z1z22， 满足， 满足 z1z2R， 而它们实部不相等， 不是共轭复数，故 ， 而它们实部不相等， 不是共轭复数，故 p3不正确；不正确； p4：实数的共轭复数是它本身，也是实数，故：实数的共轭复数是它本身，也是实数，故 p4正确正确 答案：答案：B 9.如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1 2i，2i，0 那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( ) A3i B3i C13i D13i 解析 ：解析 ： 由题意可知，因为四边形由题意可知，因为四边形 OACB 为正方形，所以为正方形，所以 AB 和和 CO 的中点坐标相同，设的中点坐标相同，设 C(x，y)，则，则 x x 2 2 1 （ （2） ） 2 ， y y 2 2 2 1 2 ， ) 所以所以第四个顶点对应的复数为所以所以第四个顶点对应的复数为13i. x x1， y y3，) 答案：答案：D 10设复数设复数 z 满足满足|z| 0，) 答案：答案：(3，4) 14已知已知 a，bR，i 是虚数单位若是虚数单位若(ai)(1i)bi，则，则 abi _ 解析：解析：由由(ai)(1i)bi，得，得 a1(a1)ibi， 即即 a10，a1b，解得，解得 a1，b2，所以，所以 abi12i. 答案：答案：12i 15若若 x，则，则 x24x_ 5 2 i i 解析：解析：因为因为 x， 5 2 i i 所以所以 x24x4 ( 5 2 i i) 2 2 ( 5 2 i i) 4 5（ （2i） ） 5 2 2 5（ （2i i） ） 5 (2i)24(2i) 414i84i 5. 答案：答案：5 16复数复数|z|1，若存在负数，若存在负数 a 使得使得 z22aza2a0，则，则 a _ 解析：解析：由由 z22aza2a0，得，得(za)2a. 又又 a 为负数，所以为负数，所以 za 为纯虚数为纯虚数 设设 zabi，则，则 zabi，所以，所以(bi)2a， 故故 ab2. 又又|z|1，所以，所以 a2b21，所以，所以 a2a10. 故故 a.由于由于 a 为负数，所以为负数，所以 a. 1 ± 5 2 1 5 2 答案：答案：1 5 2 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤 分解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分本小题满分 10 分分)设复数设复数 zlg(m22m2)(m23m2)i， 当 ， 当 m 为何值时，为何值时， (1)z 是实数？是实数？ (2)z 是纯虚数？是纯虚数？ 解：解：(1)要使复数要使复数 z 为实数，需满足为实数，需满足m 2 2m2 0， m23m20，) 解得解得 m2 或或 m1，即当，即当 m2 或或 m1 时，时， z 是实数是实数 (2)要使复数要使复数 z 为纯虚数，需满足为纯虚数，需满足 m22m21， m23m2 0，) 解得解得 m3，即当，即当 m3 时，时，z 是纯虚数是纯虚数 18 (本小题满分本小题满分12分分)已知已知O为坐标原点，对应的复数为为坐标原点，对应的复数为3 O OZ Z1 1 4i，对应的复数为，对应的复数为 2ai(aR)若与共线，求若与共线，求 a 的值的值 O OZ Z2 2 O OZ Z1 1 O OZ Z2 2 解：解：因为对应的复数为因为对应的复数为34i，向量对应的复数为，向量对应的复数为 2a O OZ Z1 1 O OZ Z2 2 i(aR)，所以，所以(3，4)，(2a，1) O OZ Z1 1 O OZ Z2 2 因为与共线，所以存在实数因为与共线，所以存在实数 k 使使k， O OZ Z1 1 O OZ Z2 2 O OZ Z2 2 O OZ Z1 1 所以所以(2a，1)k(3，4)(3k，4k)， 所以所以所以所以 2 2a a3k， 1 14k，) k1 4， ， a a3 8.) 故实数故实数 a 的值为的值为 . 3 3 8 8 19(本小题满分本小题满分 12 分分)已知复数已知复数 z123i，z2，求：，求： 155i （2i）2 (1) 1z2， ，(2). z z 1 z2 解：解：z21 155i （2i）2 155i 34i （155i）（34i） （34i）（34i） 2575i 25 3i. (1) 1· ·z2(23i)·(13i)26i3i9113i. z (2)i. z 1 z2 23i 13i （23i）（13i） （13i）（13i） 79i 10 7 10 9 10 20(本小题满分本小题满分 12 分分)求同时满足下列条件的所有复数求同时满足下列条件的所有复数 z. (1)z是实数，且是实数，且 1z6； 10 z 10 z (2)z 的实部与虚部均为整数的实部与虚部均为整数 解：解：设设 zxyi(x，yZ，且，且 x，y 不同时为不同时为 0) zxyixyi 10 z 10 xyi 10（xyi） x2y2 xyi， (1 10 x2y2)(1 10 x2y2) 因为因为 z是实数，所以是实数，所以 y0， 10 z(1 10 x2y2) 所以所以 y0 或或 x2y210. 又又 1z6，所以，所以 1x6. 10 z(1 10 x2y2) 当当 y0 时，此时时，此时 x0， 所以所以 1x6，即，即， 10 x x10 x 1 x10 x 6) 所以，此不等式组无解所以，此不等式组无解 x2x10 x 0 x26x10 x 0) 当当 x2y210 时，由时，由 1x6， (1 10 x2y2) 得得 12x6，所以 ，所以 x3. 1 2 因为因为 xZ，所以，所以 x1 或或 x2 或或 x3. 把把 x 的值代入的值代入 x2y210 中，中， 并由并由 yZ 得：得： 或或或或或或 x1， y3，) x1， y3，) x3， y1，) x3， y1.) 故所求的复数故所求的复数 z 为为 13i 或或 13i 或或 3i 或或 3i. 21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知复数已知复数 z 满足满足|z|，z2的虚部为的虚部为 2.2 2 (1)求复数求复数 z； (2)设设 z，z2，zz2在复平面内对应的点分别为在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求，求ABC 的面积的面积 解 ：解 ： (1)设设 zabi(a， bR)， 由已知条件得， 由已知条件得 a2b22， z2a2b2 2abi，2ab2， 所以所以 ab1 或或 ab1，即，即 z1i 或或 z1i. (2)当当 z1i 时，时，z2(1i)22i，zz21i， 所以点所以点 A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)， 所以所以 S ABC |AC|××1 × ×2××11. 1 1 2 2 1 1 2 2 当当 z1i 时，时，z2(1i)22i，zz213i， 所以点所以点 A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)， 所以所以 S ABC |AC|××1 × ×2××11. 1 1 2 2 1 1 2 2 所以所以ABC 的面积为的面积为 1. 22 (本小题满分本小题满分 12 分分)已知关于已知关于 x 的方程的方程 x2(6i)x9ai0(a R)有实数根有实数根 b. (1)求实数求实数 a，b 的值；的值； (2)若复数若复数 z 满足满足|abi|2|z|，求，求 z 为何值时，为何值时，|z|有最小值并有最小值并 z 求出最小值求出最小值 解：解：(1)将将 b 代入题中方程代入题中方程 x2(6i)x9ai0， 整理得整理得(b26b9)(ab)i0. 则则 b26b90，且，且 ab0，解得，解得 ab3. (2)设设 zxyi(x，yR)， 则(则(x3)2(y3)24(x2y2)， 即即(x1)2(y1)28. 所以点所以点 Z 在以在以(1，1)为圆心，为圆心，2为半径的圆上为半径的圆上2 画图可知，画图可知，z1i 时，时，|z|min . 2