2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第三章 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 Word版含答案.pdf

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 2019 考纲考题考情 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21。 (2)商数关系：tan。 sin cos 2三角函数的诱导公式 公式一 ： sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k) tan，其中 kZ。 公式二 ： sin()sin，cos()cos，tan() tan。 公式三 ： sin()sin， cos()cos， tan()tan。 公式四 ： sin()sin，cos()cos，tan() tan。 公式五：sincos，cossin。 ( 2) ( 2) 公式六：sincos，cossin。 ( 2) ( 2) 1同角三角函数关系式的常用变形 (sin±cos)21±2sincos； sintan·cos。 2诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数倍 2 和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 一、走进教材 1 (必修 4P19例 6 改编)已知 sin， ， 则 tan 5 5 2 ( ) A2 B2 C D 1 2 1 2 解析 因为 cos 1sin21( 5 5 ) 2 25 5 ，所以 tan 。 sin cos 1 2 答案 D 2(必修 4P20练习 T4改编)化简_。 1cos22 cos2tan2 解析 sin2。 1cos22 cos2tan2 sin22 cos2· sin2 cos2 答案 sin2 二、走近高考 3(2016·全国卷)若 tan ，则 cos22sin2( ) 3 4 A B 64 25 48 25 C1 D16 25 解 析 cos2 2sin2 cos24sincos cos2sin2 14tan 1tan2 。 14 × 3 4 1(3 4) 2 64 25 答案 A 4(2017·北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称。 若 sin ， 则 sin 1 3 _。 解析 由题意可知角 在第一或第二象限， 若角 与角 的 终边关于 y 轴对称， 则 2k(kZ)， 所以 sinsin() sin 。 1 3 答案 1 3 三、走出误区 微提醒：不会运用消元思想转化为关于 tanx 的齐次式； 不会对式子变形，且不注意角的范围出错；诱导公式记忆不熟 出错。 5已知 tanx2，则 sin2x1 的值为( ) A0 B9 5 C D 4 3 5 3 解析 sin2x1 ，故选 B。 2sin2xcos2x sin2xcos2x 2tan2x1 tan2x1 9 5 答案 B 6 化 简 cos sin 得 1sin 1sin 1cos 1cos( 0， cos0， 因为(sincos)21 2sin·cos1m1，所以 sincos 3 2 1 3 2 。故选 B。 23 2 423 4 1 32 4 13 2 答案 (1)B (2)B 对于 sincos，sincos，sincos 这三个式子，知一可 求二，若令 sincost，则 sincos，sincos± t21 2 (注意根据 的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应2t2 用。 【题点对应练】 1(方向 1)已知 sin() ，则 tan值为( ) 1 3 ( 2) A2 B222 C D±2 2 4 2 解析 因为 sin() ， 所以 sin ， cos±， tan 1 3 1 3 22 3 ±2。故选 D。 ( 2) cos sin 2 答案 D 2(方向 2)已知 tan2，则sin2 的值为( ) sincos sin A B C D 19 5 16 5 23 10 17 10 解析 原式sin2 sincos sin sincos sin sin2 sin2cos2 ，将 tan2 代入，得原式。故选 C。 tan1 tan tan2 tan21 23 10 答案 C 3(方向 2)若角 满足 sin2cos0，则 tan2( ) A B C D 4 3 3 4 3 4 4 3 解析 由题意知，tan2，tan2 。故选 D。 2tan 1tan2 4 3 解析 ： 由题意知， sin2cos， tan2 sin2 cos2 2sincos cos2sin2 。故选 D。 4 3 答案 D 4(方向 3)已知 sincos ，0，则 tan( ) 1 5 A B 4 3 3 4 C D 3 4 4 3 解析 将 sincos ， 左右两边平方， 得 12sincos 1 5 ， 即 2sincos0， cos0， 因为(sincos)212sincos， 所以sin 49 25 cos ， 联立解得 sin ， cos ， 则 tan 7 5 4 5 3 5 sin cos 。 4 3 答案 A 考点二 诱导公式及应用 【例 4】 (1)已知 f ()，则 f sin2cos( 2) cos( 2)tan ( 3) ( ) A B 1 2 2 2 C D 3 2 1 2 (2)已知 cos(75°) ，则 sin(15°)cos(105°)的值 1 3 是( ) A B 1 3 2 3 C D 1 3 2 3 解析 (1)f () sin2cos( 2) cos( 2)tan sin·sin sin·tan cos，则 f cos 。 sin2 sin· sin cos ( 3) 3 1 2 (2)因为 cos(75°) ，所以 sin(15°)cos(105°) 1 3 sin( 75°) 90° cos180° ( 75°) cos(75° ) cos(75°) 。 2 3 答案 (1)A (2)D 1已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角 函数值转化为锐角的三角函数值求解。转化过程中注意口诀“奇 变偶不变，符号看象限”的应用。 2对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间 存在的特定关系， 充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转 化。特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出 错。 【变式训练】 (1)sin300°tan600°的值是( ) A B 3 2 3 2 C D 1 2 3 1 2 3 (2)若 sin ，则 cos_。 ( 4) 1 3 ( 4) 解析 (1)sin300°tan600°sin(60°)tan60°sin60° tan60°。故选 B。 3 2 3 3 2 (2)因为 sin ，所以 coscos ( 4) 1 3 ( 4) 2( 4) sin 。 ( 4) 1 3 答案 (1)B (2)1 3 Error!Error! 1 (配合例 1 使用)已知 R， sin2cos， 则 tan 10 2 _。 解析 由题意结合同角三角函数基本关系有Error!Error!解方程 可得Error!Error!或Error!Error!则 tan3 或 。 sin cos 1 3 答案 3 或1 3 2 (配合例 2 使用)若角 的顶点与原点重合， 始边与 x 轴的 非负半轴重合，终边在直线 y x 上，则 cos2( ) 3 4 A B 24 25 7 25 C D 1 7 7 25 解析 由题意易得 tan ，cos2 3 4 cos2sin2 sin2cos2 1tan2 1tan2 。故选 B。 1 9 16 1 9 16 7 25 答案 B 3(配合例 3 使用)已知 sincos，则 tan的2 cos sin 值为( ) A1 B2 C D2 1 2 解析 因为 sincos，所以(sincos)22，所以2 sincos 。 所以tan2。 故选D。 1 2 cos sin sin cos cos sin 1 sincos 答案 D 4(配合例 4 使用)已知 ，sin，则 cos (0， 6) ( 3) 12 13 ( ) ( 6) A B 5 12 12 13 C D 5 13 12 13 解析 因为 sincos，所以 cos ( 3) 2( 3) 12 13 。故选 B。 ( 6) 12 13 答案 B