新课标2020年高考数学一轮总复习第七章立体几何7_2简单几何体的表面积与体积课时规范练理含解析新人教A版.pdf

7-2 简单几何体的表面积与体积7-2 简单几何体的表面积与体积 课时规范练课时规范练 (授课提示：对应学生用书第 289 页) A 组 基础对点练 1(2016·高考全国卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A ) A12 B 32 3 C8 D4 2平面截球O的球面所得圆的半径为 1，球心O到平面的距离为，则此球的体积2 为( B ) A. B463 C4 D663 3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A ) A. B 4 3 5 2 C. D3 7 3 解析 ： 由三视可知该几何体是下部为直三棱柱， 上部为三棱锥的组合体VV三棱柱V三棱锥 ×2×1×1 × ×2×1×1 . 1 2 1 3 1 2 4 3 4三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱3 锥外接球的表面积为( C ) A. B4 4 3 C8 D20 5某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( D ) A2 B2 2 C. D233 6已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，PC为 球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为( A ) 2 6 A4 B8 C12 D16 7现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一 个 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个， 则新的底面半径为 .7 解析 ： 设新的底面半径为r， 由题意得 r2×4r2×8 ×52×4×22×8， 解得r 1 3 1 3 .7 8已知矩形ABCD的顶点都在半径为 2 的球O的球面上，且AB3，BC，过点D作DE3 垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥EABCD的体积为 2 . 3 解析：如图所示，BE过球心O， DE2，4232 32 VEABCD ×3××22. 1 3 33 9已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所 得截面的面积为 ，则球O的表面积为 . 9 2 解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AHHB12，所以OHR.由 1 3 勾股定理，有R2r2OH2，又由题意得 r2，则r1，故R21 2，即R2 .由 ( 1 3R) 9 8 球的表面积公式，得S4R2. 9 2 10 (2016·高考全国卷)如图， 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O， 点E，F分别在AD，CD 上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置 (1)证明：ACHD； (2)若AB5，AC6，AE ，OD2，求五棱锥DABCFE的体积 5 4 2 解析：(1)证明：由已知得ACBD，ADCD. 又由AECF，得，故ACEF. AE AD CF CD 由此得EFHD，EFHD，所以ACHD. (2)由EFAC，得 . OH DO AE AD 1 4 由AB5，AC6，得DOBO4.AB2AO2 所以OH1，DHDH3. 于是OD2OH2(2)2129DH2，2 故ODOH. 由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH， 所以AC平面BHD，于是ACOD. 又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由，得EF . EF AC DH DO 9 2 五边形ABCFE的面积S ×6×8 × ×3.所以五棱锥DABCFE的体积V × 1 2 1 2 9 2 69 4 1 3 69 4 ×2.2 23 2 2 B 组 能力提升练 1已知A，B是球O的球面上两点，AOB90°，C为该球面上的动点若三棱锥OABC 体积的最大值为 36，则球O的表面积为( C ) A36 B64 C144 D256 2 (2016·高考全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球 若ABBC， AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( B ) A4 B9 2 C6 D32 3 3已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，SC为 球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为( A ) A. B 2 6 3 6 C. D 2 3 2 2 4 四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上， 底面ABCD是正方形且和球心O在同一平 面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 88，则球O的体积等于( A )3 A. B 32 3 32 2 3 C16 D16 2 3 解析 ： 依题意，设球O的半径为R，四棱锥SABCD的高为h，则有hR，即h的最大值是R， 易得ABR，所以四棱锥SABCD的体积VSABCD ×2R2h.因此，当hR时，四棱2 1 3 2R3 3 锥SABCD的体积最大， 其表面积等于(R)24× ×R×88， 解得R2，2 1 2 2 ( 2R 2) 2R2 3 因此球O的体积为，故选 A. 4R3 3 32 3 5已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的 3 2 2 3 表面积为 24 . 解析 ： 过O作底面ABCD的垂线段OE(图略)，则E为正方形ABCD的中心由题意可知 ×( 1 3 3 )2×OE， 所以OE， 故球的半径ROA， 则球的表面积S4R2 3 2 2 3 2 2 OE2EA26 24. 6一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥3 的侧面积为 12 . 解析 ： 由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则 ×6××22×h2， 1 3 3 4 3 解得h1， 底面正六边形的中心到其边的距离为， 故侧面等腰三角形底边上的高为331 2，故该六棱锥的侧面积为 ×12×212. 1 2 7多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 cm3. 32 3 解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥DABC中，底面ABC是 等腰三角形， 设底边AB的中点为E， 则底边AB及底边上的高CE均为 4， 侧棱AD平面ABC， 且AD4，所以三棱锥DABC的体积VSABC·AD × ×4×4×4(cm3) 1 3 1 3 1 2 32 3 8一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 m3. 8 3 解析 ： 由三视图可得该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体，圆柱的底面圆的半径 为 1 m，高为 2 m，圆锥的底面圆的半径和高都是 1 m，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面 重合，故该组合体的体积为 22× (m3) 1 3 8 3 9如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD. (1)证明：平面AEC平面BED； (2)若ABC120°，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积 6 3 解析：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形， 所以ACBD. 因为BE平面ABCD，AC平面ABCD， 所以BEAC. 而BDBEB，BD，BE平面BED， 所以AC平面BED. 又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED. (2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可知AGGCx，GBGD . 3 2 x 2 因为AEEC， 所以在 RtAEC中，可得EGx. 3 2 由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形， 可得BEx. 2 2 由已知得，三棱锥EACD的体积 VEACD ×AC·GD·BEx3， 1 3 1 2 6 24 6 3 故x2.从而可得AEECED.6 所以EAC的面积为 3，EAD的面积与ECD的面积均为，5 故三棱锥EACD的侧面积为 32.5 10(2018·贵阳质检)如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四 边形，DC平面ABC，AB2，EB.3 (1)求证：DE平面ACD； (2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值 解析：(1)证明：四边形DCBE为平行四边形， CDBE，BCDE. DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC. AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC， DC，AC平面ADC，BC平面ADC. DEBC，DE平面ADC. (2)DC平面ABC，BE平面ABC. 在 RtABE中，AB2，EB.3 在 RtABC中，ACx，BC(0x2)，4x2 SABCAC·BCx·， 1 2 1 2 4x2 V(x)V三棱锥EABCx·(0x2) 3 6 4x2 x2(4x2) 24，当且仅当x24x2，即x 时取等号，当x时，体 ( x24x2 2) 22 积有最大值 . 3 3