新课标2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3_8正弦定理和余弦定理的应用课时规范练理含解析新人教A版.pdf

3-8 正弦定理和余弦定理的应用3-8 正弦定理和余弦定理的应用 课时规范练课时规范练 (授课提示：对应学生用书第 259 页) A 组 基础对点练 1(2017·宁夏银川一中月考)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所 在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为 50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以计 算出A，B两点的距离为( A ) A50 m B50 m23 C25 m D m2 25 2 2 2.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75°，30°，此时气球的 高是 60 m，则河流的宽度BC等于( C ) A240(1)m B180(1)m32 C120(1)m D30(1)m33 3(2018·呼和浩特二模)为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个 自然村建造一座垃圾处理站， 集中处理A，B，C三个自然村的垃圾， 受当地地理条件的限制， 垃圾处理站M只能建在B村的西偏北方向，要求与A村相距 5 km，且与C村相距 km，已31 知B村在A村的正东方向， 相距 3 km，C村在B村的正北方向， 相距 3 km， 则垃圾处理站M3 与B村相距( C ) A2 km B5 km C7 km D8 km 解析：以A为原点，以AB为x轴建立平面坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，3 以A为圆心， 以5为半径作圆A， 以C为圆心， 以为半径作圆C， 则圆A的方程为x2y225，31 圆C的方程为(x3)2(y3)231，即x2y26x6y50，33 两圆的公共弦方程为xy5，3 设M(x，y)，则Error! 解得M(5,0)或M. ( 5 2， 5 3 2) 垃圾处理站M只能建在B村的西偏北方向， M. ( 5 2， 5 3 2) MB7.故选 C. 121 4 75 4 4 (2018·荆州一模)某商船在海上遭海盗袭扰， 商船正以 15 海里/小时的速度沿北偏东 15° 方向行驶，此时在其南偏东 45°方向，相距 20 海里处的海军舰艇接到命令，需要在 80 分 钟内(含 80 分钟)追上商船为其护航 为完成任务， 海军舰艇速度的最小值为 15 (海里/3 小时) 解析：设追上处为C，海军舰艇为A，B为商船， 由条件知ABC120°，AB20 海里， 设海军舰艇速度的最小值为x，可得BC15×20，ACx， 80 60 4 3 由余弦定理AC2AB2BC22AB·BCcosABC.得 22022022×20×20cos 120°， 解 ( 4 3x) 得x15，故海军舰艇速度的最小值为 15.33 5如图，在山底测得山顶仰角CAB45°，沿倾斜角为 30°的斜坡走 1 000 米至S点，又 测得山顶仰角DSB75°，则山高BC为 1 000 米 解析：由题图知BAS45°30°15°，ABS45°15°30°，ASB135°， 在ABS中，由正弦定理可得，AB1 000，BC1 000. 1 000 sin 30° AB sin 135° 2 AB 2 6如图，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90°.3 (1)若PB ，求PA； 1 2 (2)若APB150°，求 tanPBA. 解析：(1)由已知得PBC60°，所以PBA30°. 在PBA中，由余弦定理得PA23 2×× cos 30° .故PA. 1 4 3 1 2 7 4 7 2 (2)设PBA，由已知得PBsin . 在PBA中，由正弦定理得， 3 sin 150° sin sin30° 化简得cos 4sin .3 所以 tan ，即 tanPBA. 3 4 3 4 B 组 能力提升练 1(2017·武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45°方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区 都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( B ) A14 h B15 h C16 h D17 h 2(2018·镇海区校级模拟)帕普斯(Pappus)是古希腊数学家，34 世纪人，伟大的几何学 家，著有数学汇编 此书对数学史具有重大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理， 并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料如图 1，图 2，利用帕 普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一个数学公式，这个公式是( C ) Asin()sin cos cos sin Bsin()sin cos cos sin Ccos()cos cos sin sin Dcos()cos cos sin sin 解析：结合图形可证明的数学公式为 cos()cos cos sin sin ，故选 C. 3(2017·北京朝阳区质检)如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔AA1和BB1. 已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的 2 倍， 从两 塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角 的正切值为 ；塔BB1的高为 45 m. 1 3 解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2. 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角， A1ACCBB1， AA1 30 30 BB1 AA1·BB1900，3 600tan tan 2900， tan ，tan 2 ，BB160tan 245. 1 3 3 4 4(2018·全国二模)如图，测量对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个 观测点C，D，测得BCD15°，CBD30°，CD10(米)，并在C处测得塔顶A的仰2 角为 45°，则塔高AB 20 米 解析：BCD中，BCD15°，CBD30°，CD10(米)，2 ， CD sin CBD CB sin CDB ， 10 2 sin 30° CB sin180°15°30° CB20×20.RtABC中，ACB45°，2 2 2 塔高ABBC20(米) 5如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西 偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此 山的高度CD 100 m.6 解析 ： 依题意，BAC30°，ABC105°.在ABC中，由ABCBACACB180°， 所以ACB45°，因为AB600 m由正弦定理可得，即BC300 600 sin 45° BC sin 30° 2 m在 RtBCD中，因为CBD30°，BC300 m，所以 tan 30°，所以CD1002 CD BC CD 300 2 m.6 6 如图， 在四边形ABCD中， 已知ABAD， ABC120°， ACD60°，AD27， 设ACB， 点C到AD的距离为h. (1)用表示h的解析式； (2)求ABBC的最大值 解析：(1)由已知得ADC360°(90°120°60°)90°. 在ACD中，由正弦定理得， AD sinACD AC sinADC 所以AC18cos . 27cos sin 60° 3 又CAD30°，且 0°60°， 所以hAC·sinCAD18cos ·sin(30°)(0°60°)3 (2)在ABC中，由正弦定理得AB18sin 2， ACsin sin 120° BC36cos sin(60°)99cos 29sin 2， ACsin60° sin 120° 33 于是ABBC99cos 29sin 2918sin(260°)333 因为 0°60°，所以当15°时，ABBC取得最大值 918.3 7(2018·南通模拟)如图，某机械厂欲从AB2 米，AD2米的矩形铁皮中裁剪出一个2 四边形ABEF加工成某仪器的零件， 裁剪要求如下 ： 点E，F分别在边BC，AD上， 且EBEF，AF BE.设BEF，四边形ABEF的面积为f()(单位：平方米) (1)求f()关于的函数关系式，并写出定义域； (2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值 解析：(1)如图所示，过点F作FMBE，垂足为M. 在 RtFME中，MF2，EMF，FEM，所以EF，ME， 2 2 sin 2 tan 故AFBMEFME， 2 sin 2 tan 所以f() (AFBE)×AB 1 2 ××2. 1 2( 2 sin 2 tan 2 sin ) 4 sin 2 tan 据题意，AFBE，所以.且当点E重合于点C时，EFEB2，FM2，. 2 2 4 所以函数f()，其定义域为. 4 sin 2 tan 4 ， 2) (2)由(1)可知， f() 4 sin 2 tan 4(sin2 2 cos2 2) 2sin 2 cos 2 2(1tan2 2) 2tan 2 3tan22，当且仅当 3tan时，取“” 2 1 tan 2 3tan 2 × 1 tan 2 3 2 1 tan 2 又，故 tan， 4 ， 2) 2 8 ， 4) 2 3 3 所以，. 2 6 3 此时BE，AF. 2 sin 4 3 3 2 sin 2 tan 2 3 3 8 (2017·武汉联考)如图， 某小区准备将闲置的一直角三角形(其中B 2 ，ABa，BC 3 a) 地块开发成公共绿地， 设计时， 要求绿地部分有公共绿地走道MN， 且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(AMN 和AMN)， 现考虑方便和绿地最大化原则， 要求点M与点B不重合，A落在边BC上， 设AMN . (1)若时，绿地“最美” ，求最美绿地的面积； 3 (2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，AN设计为最短，求此时绿地公共走道的长 度 解析 ： (1)设MAMAxa(0x1)，则MBaxa，又，所以在 RtMBA中，cos 3 BMAcos(2) ，解得x . axa xa 1 2 2 3 由B，ABa，BCa，可得BAC. 2 3 3 所以AMN为等边三角形， 所以绿地的面积S2× ×a×a×sin a2. 1 2 2 3 2 3 3 2 3 9 (2)在AMN中， 因为MAN， 所以ANM， 由正弦定理得. 3 2 3 AN sin AM sin(2 3 ) 设AMy，则AMy， 在 RtMBA中，cosBMAcos(2)，可得AMy， ay y a 2sin2 所以AN. a 2sin sin(2 3 ) 令t2sin sin sin2sin ·cos sin 2 cos 2 ( 2 3 )3 1 2 3 2 1 2 1 2 sin， (2 6) 因为，所以2， 4 2 3 6 5 6 所以当且仅当 2，即时，AN取得最小值，为a， 6 2 3 2 3 此时绿地公共走道的长度为MNa. 2 3