2019秋 金版学案 数学·选修2-2（人教A版）练习：第三章3.1-3.1.1数系的扩充和复数的相关概念 Word版含解析.pdf

第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念数系的扩充和复数的相关概念 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1 下列命题中，正确命题的个数是下列命题中，正确命题的个数是( ) 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； 1 没有平方根；没有平方根； 若若 aR，则，则(a1)i 是纯虚数是纯虚数 A0 B1 C2 D3 解析 ：解析 ： 当一个复数实部等于零， 虚部也等于零时， 复数为当一个复数实部等于零， 虚部也等于零时， 复数为 0， 所以 错 ， 所以 错1 的平方根为的平方根为±i，所以错当，所以错当 a1 时，时，(a1)i0 是实数， 所以错 是实数， 所以错 答案：答案：A 2设复数设复数 z 满足满足 iz1，其中，其中 i 为虚数单位，则为虚数单位，则 z 等于等于( ) Ai Bi C1 D1 解析：解析：因为因为 i21，所以，所以i2i·(i)1，所以，所以 zi. 答案：答案：A 3设设 a，bR，i 是虚数单位，则“是虚数单位，则“ab0”是“复数”是“复数 abi 为纯为纯 虚数”的虚数”的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析 ：解析 ： 若复数若复数abi为纯虚数， 则为纯虚数， 则a0且且b0， 故， 故ab0.而由而由ab0 不一定能得到复数不一定能得到复数 abi 是纯虚数，故“是纯虚数，故“ab0”是“复数”是“复数 abi 为纯 虚数”的必要不充分条件 为纯 虚数”的必要不充分条件 答案：答案：B 4已知复数已知复数 zm2m2(m24m5)i 是纯虚数，其中是纯虚数，其中 m 为 实数，则 为 实数，则 m( ) A2 B1 C2 或或 1 D5 解析：解析：由题意得解得由题意得解得 m2.故选故选 A. m2m20， m24m5 0，) 答案：答案：A 5 已知集合 已知集合 M1， 2， (m23m1)(m25m6)i， N1， 3， 且 ， 且 MN3，则实数，则实数 m 的值为的值为 ( ) A4 B1 C1 或或 4 D1 或或 6 解析 ：解析 ： 由于由于 MN3， 故， 故 3M， 必有， 必有 m23m1(m25m6)i 3，可得，可得 m1. 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 6若复数若复数 m3(m29)i0，则实数，则实数 m 的值为的值为_ 解析：解析：依题意知解得即依题意知解得即 m3. m3 0， m290，) m 3， m3或或3，) 答案：答案：3 7设设 i 为虚数单位，若复数为虚数单位，若复数 z(m22m3)(m1)i 是纯虚数，是纯虚数， 则实数则实数 m_ 解析：解析：依题意有解得依题意有解得 m3. m m2 22m30， m m1 0，) 答案：答案：3 8复数复数 zcossini，且，且 ，若，若 z 是实数，是实数， ( 2 2 ) ( 2 2 ) 2， ， 2 2 则则 的值为的值为_；若；若 z 为纯虚数，则为纯虚数，则 的值为的值为_ 解析：解析：zcossinisin icos . ( 2 2 ) ( 2 2 ) 当当 z 是实数时，是实数时，cos 0.因为因为 ， 2 2， ， 2 2 所以所以 ± ；当± ；当 z 为纯虚数时为纯虚数时 2 2 s si in n 0， c co os s 0 0，) 又又 ，所以，所以 0. 2 2， ， 2 2 答案：答案：± 0 2 2 三、解答题三、解答题 9已知复数已知复数 z(m23m2)(m2m6)i，则当实数，则当实数 m 为何值 时，复数 为何值 时，复数 z： (1)是实数；是实数；(2)是虚数；是虚数；(3)是纯虚数是纯虚数 解：解：z(m23m2)(m2m6)i. (1)令令 m2m60m3 或或 m2，即，即 m3 或或 m2 时，时，z 为实数为实数 (2)令令 m2m60， 解得， 解得 m2 且且 m3， 所以， 所以 m2 且且 m3 时，时，z 是虚数是虚数 (3)由解得由解得 m1， m m2 23m20， m m2 2m6 0，) 所以所以 m1 时，时，z 是纯虚数是纯虚数 10关于关于 x 的方程的方程 3x 1(10x)i 有实根，求实数有实根，求实数 a 的值的值 a 2 解：解：设方程的实数根为设方程的实数根为 xm，则原方程可变为，则原方程可变为 3m 1(10 a 2 m)i， 所以所以3m a 2 10， 10m0， ) 解得解得 a58. B 级 能力提升级 能力提升 1 若复数 若复数(x2y24)(xy)i 是纯虚数， 则点是纯虚数， 则点(x， y)的轨迹是的轨迹是( ) A以原点为圆心，以以原点为圆心，以 2 为半径的圆为半径的圆 B两个点，其坐标为两个点，其坐标为(2，2)，(2，2) C以原点为圆心，以以原点为圆心，以 2 为半径的圆和过原点的一条直线为半径的圆和过原点的一条直线 D以原点为圆心，以以原点为圆心，以 2 为半径的圆，并且除去两点为半径的圆，并且除去两点(，)，(2 22 2 ，) 2 22 2 解析 ：解析 ： 因为复数因为复数(x2y24)(xy)i 是纯虚数， 所以是纯虚数， 所以 x2y240， 且 ， 且 xy，可解得，可解得 x2y24(xy)，故点，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心， 以 的轨迹是以原点为圆心， 以 2 为半径的圆，并且除去两点为半径的圆，并且除去两点(，)，(，)2 222 22 2 答案：答案：D 2若复数若复数 zcos (msin cos )i 为虚数，则实数为虚数，则实数 m 的取值 范围是 的取值 范围是_ 解析：解析：依题意有依题意有 msin cos .因为因为 sin cos sin，所以，所以 m(2 2( 2 2 s si in n 2 2 c co os s ) 2 2 ( 4 4) 2 22 2 ，)(，)2 22 2 答案：答案：(，)(，)2 22 2 3如果如果 log (mn)(m23m)i1，求自然数，求自然数 m，n 的值的值 1 2 解：解：因为因为 log (mn)(m23m)i1， 1 1 2 2 所以所以 log (mn)(m23m)i 是实数是实数 1 1 2 2 从而有从而有l lo og g 1 1 2 2 （ （mn） ）1， （ （m2 23m） ）0， ) 由由 m23m0 得得 m0 或或 m3. 当当 m0 时代入时代入 log (mn)1，得，得 0n2， 1 1 2 2 又又 mn0，所以，所以 n1； 当当 m3 时，代入时，代入 log (mn)1， 1 1 2 2 得得 n1，与，与 n 是自然数矛盾是自然数矛盾 综上可得，综上可得，m0，n1.