1、习题一1 .用集合的形式写出以下随机试验的样本空间与随机事件A：(1)抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A=两次出现的面相同；(2)记录某总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A=一分钟内呼叫次数不超过3次;(3)从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A=寿命在2000到2500小时之间。解(1)=(+,+)(+,),(+),(,)A=(+,+),(一,一).(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数，那么C=Xkk=0,1,2,A=(Xkk=0,1,2,3)-(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位：小时)，那么=X(0,+oo),A=X(20,2500).2 .袋中有10个球，分别编有号码1至10,从中任
2、取1球，设A=取得球的号码是偶数,8=取得球的号码是奇数),C=取得球的号码小于5,问以下运算表示什么事件:(I)AU8;(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)8UC;(J)A-C.3 (1)AUB=C是必然事件；(2) AB=是不可能事件；(3) AC=取得球的号码是2,4)；(4)而=取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10；(5)不己=取得球的号码为奇数，且不小于5=取得球的号码为5,7,9)；(6)后五=Xn己=取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6,8,10)；(7)4-。=4=取得球的号码是不小于5的偶数)二取得球的号码为6,8,103.在区间0,2上
3、任取一数，记Ahxxl.,=,求以下事件的表达式：(I)AU8；(2)AB；(3)AB；(4)B.解(1)AB=jJx;x42(2)AB=JJx-WclB=x-x-UXl242(3)因为AU区，所以Ab=0；(4) AUB=AUxx:或x2=jJX4=元件：通达,1=123,4,5,61111Kl-那么A=AA2(JA3A4JA5Ahf所以14 .假设一部机器在一天内发生故障的概率对研机器瘤前障时全天停止工作，假设一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。解P=C(0.2)3(0.8)2=0.0512.15 .灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2
4、求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。解=2(0.2)3+Qo.8(O.2)2=0.008+0.096=0.104.16 .设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，假设A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在每次试验中出现的概率P（八）.解记A,=A在第i次试验中出现,i=1,2,3.p=P（八）依假设=1-P(4不4)=1-(l-p)3所以，(J吟，此即p=1/3.17 .加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解注意至J,加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出
5、现次品。记A,=第i道工序为次品,i=1,2,3.那么次品率18 .三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4.求此密码被译出的概率。解记A=译出密码,4=第i人译出,i=l,2,3.那么19 .将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？20.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻丁，各电梯正在运行的概率均为0.75,求：(1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率;(2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率;(3)在此时刻所有电梯都在运行的概率。解(1)1-(1-0.75)4=1-(0.25)4=Q(0W
6、0W=62(lp75)YT=装习题四(1) 下给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。Pj=m=0,123,4,5；(2) i=0,123；6(3) Pj=；,i=2,3,4,5;(4) Pi=山,i=1,2,3,4,525解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证Pj是否满足以下二个条件：其一条件为PJ0,Z=l,2,其二条件为ZPj=10依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律；(2)中的数列不是随机变量S-Q4的分布律，因为Pa=?=-j0；(3)中的数列为随机变量的分布律；(4)中的数列不665911是随机变量的分布律，这是因为2,试确定常数c,使尸(
7、X=i)=5,(i=0,l,2,3,4)成为某个随机变量X的分布律，并求:P(X2);解要使上成为某个随机变量的分布律，必须有=1,由此解得c=3;2,2,31(2) P(X2)=P(X=0)+PX=1)+P(X=2)(3) pf-X-l=P(X=l)+P(X=2)=-f-+-l=-o122jv7v731U4；313. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有3,3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。解X可能取的值为-3,1,2,且p(x=-3)=Lp(X=1)=Lp(X=2)=L,即X的326分布律为XI312概
8、率J!326X的分布函数z0x-3F(x)=P(Xx)=-3xl1x24. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号也，写出X的分布律和分布函数。解依题意X可育颠到的值为3,4,5,事件X=3表示随机取出的3个球的最大号码为3,那么另两个球的只能为1号，2号，即P(=3)=5=金；事件X=4表示随机取3出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时1IxP(X=4)=谭亮；同理可得p(=5)=皆得。、3JGX的分布律为X345概率136101010X的分布函数为Ox31x55.在相同条件下独引地进行5次射击，每次射
9、击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X的分布律。解依题意X服从参数=5,=0.6的二项分布，因此，其分布律5、p(=k)=k060.45*%=0,1,5,具体计算后可得X012345概率3248144216162243312562562562562531256 .从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在以下三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。(1)每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；(2)每次取出的产品都不放回这批产品中；(3)每次取出一件产品后总是放回一件正品。解(1)设事件A,i=12表示第”
10、次抽到的产品为正品，依题意，a,4,相互独立，且MAj=S,i=l,2,而即X服从参数P=W的几何分布。13(2)由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1,2,3,4,X的分布律为X1234概率(3)X可能取到的值为1,所求X的分布律为X2,10551Ti261432863,4,1234概率10337261316921972197由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。7 .设随机变量XB(6,p),MX=I)=MX=5)，求与P(x=2)的值。解由于X夙6,p),因此P(X=6)=C卜(1-p)6-Z=0J,6由此可算得P(X=I)=6(1-pF,P
11、X=5)=6/(1)，即6p(l-p)5=6p5(l-p),解得=此时，P(X=2)6x5 1Y- 15 “ 648 .掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为J，因此X服从=4,P=L的二项分22布，即由此可得X的分布函数1Ti，7()=,16119(0,XVO0xllx22x31615,34161,x49.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数2=4的泊松分布,问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？解设至少要进件物品，由题意应满足./1-14*,即P(Xn-l)=一40.99
12、A=Ok查泊松分布表可求得=9。10 .有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。解设X为IOoO辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从=100O,P=(MXX)I的二项分布，即X8(1000,0.0001),由于较大，P较小，因此也可以近似地认为X服从2=S=1000x0.0(X)l=0.1的泊松分布，即X尸(0.1),所求概率为11 .某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,假设以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。解设事件4表示第，次试验成功，那么p(4)=0.7
13、5,且4,4,相互独立。随机变量X取Z意味着前k-1次试验未成功，但第2次试验成功，因此有所求的分布亍律为X12k概率0.250.750.25a,0.7512.设随机变量X的密度函数为f(x)=2x0x10,其他，试求：曾数A；X的分布函数。解(1)f(x)成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f(x)O;其二为J：/(XMr=1,因此有C2xdx=l,解得A=l,其中A=T舍去，即取A=1。(2)分布函数Sx0二0公+岸四0xOX0x20xl1xl13.设喷机变量X的密度函数为/(x)=AeTM,rox+,求：(1)系数A；(2)MXvl);X的分布函数。解(1)系数A必须满足窘
14、AeTMdX=1,由于e-3为偶函数，所以解得A=L2P(O+玛 AMLZZr a -exdxL，2x0xOxO-exdx-exdxxOIL2J。2C re211 L+ Il -xO1 2 2r -ex-)xOxO=I 2I l-r xO14.证明：函数/W= 7_. X0 e 2c底为正的常数)Ox2时，/(X)=CO.5e2x+f.25dx+gdx=0.50.5=l综合有16.设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，求方程/+H+1=O有实根的概率。解X的密度函数为W,lxI0,其他.求：(I)X的分箱函数；(2)至少有200天有效期的概率。0,rX0；解AX)=匕/G”X=200001.
15、L+100)3,0.O,X200)=1-P(X200)=1-F(200)=1-1lj7=918 .设随机变量X的分布函数为求X的密度函数，并计算P(X1)和P(X2).解由分布函数AX)与密度函数f(H的关系，可得在/()的一切连续点处有/(x)=F,(x),因此所求概率P(X1)=F(l)=1-(1+1,=1-2e-l；P(X2)=1-P(X2)=1-F(2)=1-(1-(1+2)e2)=3e2。19,设随机变量X的分布函数为尸(X)=A+Barctan尤-8xv+oo,求(1)常数AB；(2)p(jxl);(3)随机变量X的密度函数。解：(1)要使用x)成为随机变量X的分布函数，必须满足
16、Iim77(x)=0,IimF(x)=l,即-00X4Q0Iim(A+BarctanX)二O-rA-B=O计算后得J2IA+-B=lI2r=l解得I;B=-1.另外，可验证当A=LB=L时，FG)=L+URtan九也满足分布函数其余的几条性质。22(2) P(X1)=P(-1X1)=F(l)-F(-l)(3) X的密度函数f)=F,(x)=-r-r,-X+0Y函数为/(x)=ge5,讨顾客在窗口等待效劳，假设超过IOmin,他就离开。0其他(1)设某顾客某天去银行，求他未等到效劳就离开的概率；(2)设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到效劳的概率。解(1)设随机变量X表示某顾客
17、在银行的窗口等待效劳的时间，依题意X服从2=(的指数分布，且顾客等待时间超过IOmin就离开，因此，顾客未等到效劳就离开的概率为1p(xl)=1x-5dx=e-2;(2)设Y表示某顾客五次去银行未等到效劳的次数，那么Y服从=5,p=e-2的二项分布，所求概率为21.设X服从N(0,1),借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1)P(XvZ2);(2)(X176)；(3)P(X2.5)。解查正态分布表可得(1) P(X1.76)=1-P(X1.76)=1-(l.76)=1-0.9608=0.0392；(3) P(X-0.78)=(-0.78)=1-(.78)=1-0.7823=0.2177；(4
18、) PoXkI.55)=P(-1.55X2.5)=1-P(X2.5)=1-2(2.5)-1=2-2(2.5)=2(1-0.9938)=0.0124。22.设X服从N(-1,16),借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1)Rx-1.5);(3Mx-2.8);(4)PqXlV4)；(5)P(-5X1)。解当XnL02)时，MaWXa)=(g卜(于借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得(1) p(x-1.5)=1-J=1-(-O.125)=1-(1-(.125)=(.125)=0.5498；(3) P(X-2.8)=(-0.45)=1-(.45)=1-0.6736=0.3264；(4)尸(jx
19、4)(-1)=(1.25)(一0.75)=(1.25)-1+(0.75)=0.8944-10.7734=0.6678；(5) P(-5X1)=1-p(jx-11)=1-p(X2)=1-(号=I-(.75)+(0.25)=1-0.7724+0.5987=0.8253。23 .某厂生产的滚珠直径服从正态分布N(2.05,0.01),合格品的规格规定为20.2,求该厂滚珠的合格率。解所求得概率为24 .某人上班所需的时间XN(30,100)(单位：min)上班时间为8：30,他每天7：50出门，求：(1)某天迟到的概率；(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。解(1)由题意知某人路上所花时间超过
20、40分钟，他就迟到了，因此所求概率为p(x40)=1-(40/)=1-(l)=1-0.8413=0.1587；(2)记Y为5天中某人迟到的次数，那么Y服从=5,p=0.1587的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为P(yl)=P(O.1587)0(0.8413)5+j.1587(0.8413)4=0.8192。习题五1 .二维随机变量(Xl)只能取以下数组中的值：(0,0),(-11),卜11)(2,0),且取这些组值的概率依次为岩小求这二维随机变量的分布律。解由题意可得(x,y)的联合分布车已为XW0-13-10-L11230006200122 .一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,223
21、0从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求(XI)的分布律及P(X=丫)。解X可能的取值为1,2,3,Y可能的取值为123,相应的，其概率为或写成XW12310-61221J.666310126p(=y)=p(=l,y=l)+p(=2,y=2)+P(x=3,y=3)=-o63 .箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：X=0,假设第一次取出正品；Yf0,假设第二次取出正品；Y1,假设第一次取出次品；L1,假设第二次取出次品。分别就下而两
22、种情况求出二维随机变量(,y)的联合分布律：(1)放回抽样；(2)不放回抽样。解(1)在放回抽样时，X可能取的值为0,1,Y可能取的值也为0,1,且或写成XW010162514125(2)在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为或写成XvI01014.对于第1题中的二维随机变量(X解把第1题中的联合分布律按行，X)电力28845458I4545的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。1得X的边缘分布律为102概率按列相加得Y的边缘分布律为Y5I5H6120-13概率5.对于第3题中的二维随机变量(X写出关于X及关于Y的边缘分布律。解在有放回情况下
23、X的边缘分布T律）2123的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下,01概率Y的边缘分布律为Y425501概率在无放回情况下X的边缘分布律为X45501概率455Y的边缘分布律为YO1概率-g6 .求在D上服从均匀分布的随机变量(x,y)的密度函数及分布函数，其中D为X轴、y轴及直线y=2x+l围成的三角形区域。解区域D见图5.2。易算得D的面积为S=LXIXL=L,所以224(x,y)的密度函数加介芈,加。八,0通他(x,y)的分布函数T或y0时，F(x,y)=0;-%0,0y2x+1时2当-gx0,y2x + l 时,-1F(x, y)=f1 必f R 4由，=4x2 +x +尸(y)=o
24、Mv-4公=4孙+2y-y2；当x0,0yV1时，F(xf)=-14dx=2y-y2当x0,yl时，F(X,y)=J01可:RMy=I综合有7 .对于第6题中的二维随机变量(x,y)的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。解X的边缘密度函数为=(Zdy-gvxvO=f2x+l1-gOIa其他q其他Y的边缘密度函数为也4代oy_)-y0y从参数为5的指数分布，求(x,y)的联合密度函数及p(xy)解.由均匀分布的定义知由指数分布的定义知因为X与Y独立，易得(x,y)的联合密度函数概率P(Xr)=/(x,y)dxdy,其中区域G=(x,y)xy见图53经计算有P(XK)=2dx25e5ydy=25(1-lx=e1。12,设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为求：(1)系数女；(2)P(0Xl,0y2);(3)证明X与Y相互独立。解Z必须满足rtf(x,)My=l,即力它+=
