1、1.帮助学生第一局部在教室中目的教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原那么。学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他单独面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但假设教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作。如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问
2、题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。2 .问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中，我们总是问:未知数是什么？我们可以变换提法,以各种不同的方式提问同一个问题：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选
3、与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。3 .普遍性表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么?这些问题都是普遍适用的,对于所有各类问题,我们提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。这没什么差异，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。事实上，还存在一个限
4、制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，那么必须采用别的提问方法，见第三局部“求解题，求证题”这一段。4 .常识我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的,但是除去其普遍性以外,它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题这条建议不管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体的劝告。你是不是肚子饿了？如果你希望搞点吃的,你就会想起你所熟悉的搞到食物的一些方法。你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形,你也会想起你所熟悉的
5、一些作三角形的方法你是否有一个任意的问题?你假设希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些方法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以表达。这张表所提出的处理方法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动而且他可能根本不会这样做；我们这张表却尝试去表达这些。5 .教师与学生，模仿与实践当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一
6、帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功,他就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地提出
7、这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功，他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活泼的思维活动。这样，学生就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师可以做些什么事呢？解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践（实地练习游泳）来学会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并且最后通过实践来学会解题。希望提高学生解题能力的教师,必须
8、培养学生的兴趣,然后给他们提供大量的时机去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中开展相应于我们表中的问题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西。6 .四个阶段主要局部，主要问题在求解过程中,我们很可能再三地改变我们的观点,或者改变考虑问题的途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问题的概念可能很不完整；当我
9、们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。为了把我们表中的问题与建议进行适当分组,我们把工作分为四个阶段。首先,我们必须了解问题;我们必须清楚地看到要求的是什么?其次,我们必须了解各个项之间有怎样的联系？未知数和数据之间有什么关系？为了得到解题的思路，应该制定一个方案。第三，实现我们的方案。第四，我们回忆所完成的解答，对它进行检查和讨论。上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况:一个学生想出了一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通过上述四阶段中的
10、任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种方案的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其方案的过程中检查每一步，就可以防止许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答，那么可能失去某些最好的效果。7、弄清问题答复一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错，问题应当精选，所选的题目不太难但也不
11、要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙述方式上也应当自然而有趣。首先，必须了解问题的文字表达。教师在某种程度上可以检查这一点，他可以要求学生重新表达这题目，而学生应能流利地重新表达这个问题。学生还应当能够指出问题的主要局部，即未知数，数据，条件。所以老师提问时，不要错过这样的问题：未知数是什么？数据是什么？条件是什么？学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要局部。如果问题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与数据。如果对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望有一个明
12、确的答复，而只不过想有一个临时性的答复或一个猜测，那么另外还有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢？（在本书第二局部中，把“弄清问题”分成两个阶段：“熟悉问题”和“深人理解问题”）。8、例子让我们说明上节中的某几点内容。我们选以下简单问题：长方体的长、宽、高，求其对角线长度。为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体,其尺寸可以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教师指出教室的长、宽、高，
13、用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联系而使他画在黑板上的图变得更加形象。以下是老师与学生间的对话：“未知数是什么？”“长方体对角线的长度。”“数是什么？”“长方体的长、宽、高J“引入适当的符号，用哪个字母表示未知数？”“X”“长、宽、高应选哪些字母？”“a,b,c”“联系a,b,C与X的条件是什么？”“x是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为a,b,c”“这是个合理的问题吗?我意思是说,条件是否充分,足以确定未知数吗？”“是的，是充分的。如果我们知道a,b,c,我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定，那么对角线也被确定了。”9.拟定方案当我们知道，或至少大体上知道，为了求解未知数，
14、必须完成哪些计算、要作哪些图的时候，我们就有了一个方案。从弄清问题到想出一个方案，其过程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是设想出一个解题方案的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后，突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题与建议正是要诱发这样一种好念头。为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回忆他自己在解题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如果我们完全没有知识，那么根本不可能产生好念头。一个
15、好念头的根底是过去的经验和已有的知识。仅仅靠记忆缺乏以产生好念头。但假设不重新收集一些有关事实，那么也不会出现好念头。只有材料还缺乏以盖房子，但是不收集必需的材料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以以下问题开始工作常常是适宜的：你知道一个与此有关的问题吗？困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它有某种共同之处我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把力量放在主要的共同之处上看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来。如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的
16、早已解决的问题,那是很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。这里有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗？上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一局部条件等等；具体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，那么应首先尝试去解
17、决某些与此有关的问题。尝试去应用各种的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一个很好的问题可以把我们带回原处你是否利用了所有的数据?你是否利用了整个条件？10.例子我们回到第8节中的例子。“你是否知道一个与此有关的问题？”“看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题？”“好，未知数是什么？”“平行六面体的对角线。”“你是否知道任何具有相同未知数的问题？”“不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题”“你是否知道任何具有相似未知数的问题？”“你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知数是直线长度的问
18、题？”“当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。”“好啊!这里有一个知你的问甄关吗？ ”“你真走运，你想起了一的问题,旦早P解决,你能利用它 -4f前已经解决了。你愿意利用它蜥为个与你;觊有苦的问题,而且这个问题你以 I声琳能否引进某个辅助元素？”图1“看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗？”我们希望这最后的提示己明白得足以诱发出解题的思路（即引入一个在图1中用阴影画出的直角三角形）。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。“你是否想在图1中
19、有个三角形？”“在图中，你想有哪种三角形？”“你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢？”“如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗？”经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理解已有足够的深度。“我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否有未知数？”“未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它”“如果两边为，你会计算。但它们是的吗？”“一个边己给定，是C。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另一个直角三角形的斜边。”“很好!现在我看
20、出你有个方案了。”11 .实现方案想出一个方案,产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件，如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现方案那么容易得多,我们所需要的主要是耐心。方案仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的模糊之处为止。如果学生真的拟定出一个方案，那么教师就比较清闲了。现在的主要危险是学生可能会忘记他的方案。因为那些从外界接受方案的和根据教师的权威来采纳某个方案的学生,很容易发生这种现象;但假设是学生自己搞出来的方案（即便经过某种帮助）并且学生满意地看出了最终的思路,那么他就不那么容易
21、忘记爱师必须坚持让学生检查每一步骤。根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不疑心每一步骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法那么推导出有问题的这一点（在许多重要的场合,直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的;更进一步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!）主要之点是:学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可以强调“看出来”与“证明”二者之间的差异而提出：你能清楚地看出这一步骤是正确的吗？同时你也能证明这一步骤是正确的吗？12 .例子我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。
22、他看出未知数X是直角三角形的斜边,而给定的高度c是边长之一,另一边那么是六面体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应中选择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚：解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y最后，陆续对这两个直角三角形进行考虑之后，他得到xzzy2+c2y22+b2于是消去辅助未知数y,从而有x2=ac如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：“你能清楚地看出具有三边X,y,c的三角形是直角三角形吗？”对于这个问题，学生可能老老实实答复：“是”。但是如果老师不满足于学生
23、的直观猜测，他应该继续提问：“但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗？”除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点，否那么教师不应当提出这个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的答复可能成为大多数学生的主要困难。13 .回忆即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。通过回忆所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子学生们可以稳固他们的知识和开展他们解题的能力。一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的。总剩下
24、些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改良这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。现在学生己经完成了他的方案。他己经写出了答案，检查了每一步。这样，他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的，特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快速而直观的方法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗？你能检验这个论证吗？为了确信某个东西的存在或其质量的好坏,我们总喜欢去看看它,摸摸它。我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证明使我们对结果确信无疑。因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗？
25、当然，我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子看出它吗？教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联系，和任何其他事物那么完全没有什么联系。当我们回参谋题解答的时候，我们自然有时机来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生己经作出了真诚的努力并且意识到自己完成得不错那末他们将发现对解答加以回忆确实饶有趣味。这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次利用所使用的方法，或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个其它问题吗？14 .例子在第12节，学生最后
26、得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边为a,b,c,那末对角线为s2+c2你能检验这个结果吗？教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题的良好答复。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的题那么不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好几个问题，对这些问题，学生可以很容易地答复“是；但如答复“不是”，这将说明结果中存在严重的缺点。“你是否使用了所有的数据?是否所有数据a,b,c都在你的对角线公式中出现？”“长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对a,b,c来说是对称的。
27、你所得的公式对a,b,C对称吗？当a,b,C互换时公式是否保持不变？”“我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a,b,c,求平行六面体的对角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b,求矩形的对角线，这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似？”“如果高C减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在你的公式中，令c=0,是否得到矩形对角线的正确公式？”“如果高C增加，那么对角线也增加。你的公式是否说明这点？”“如果平行六面体的三个量度a,b,c按同一比例增加，那么对角线也按同一比例增加。在你的公式中，如将a,b,C分别代以12a,12b,12c,那么对角线也将乘以12,是否
28、这样？”“如果;，b,c的单位是尺，那么你的公式给出的对角线的单位也是尺；如果将所有单位改为寸，那么公式应保持正确，是否如此？”（后两个问题根本上是等价的。参见“量纲检验”一节）上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实不能不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公式的细节获得了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生的知识得以稳固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获得一些经验以后，一
29、个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即，利用所有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方的习惯，他解题的能力肯定会提高。你能检验这个论证吗？在困难而重要的场合，可能需要逐步地重新检验论证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例，可以建议讨论以前提过的问题：你能证明具有三边X,y,C的三角形是直角三角形吗（见第12节末尾处）？你能把这结果或方法用于其它问题吗？在受到一些鼓励并且经过一两个示范例子以后，学生们很容易找到应用，这些应用实质上就是把问题的抽象数学元素赋予具体的解释。当教师在进行讨论的教室里，把教室当作问题中的长方体，他自己就使用了这样一种具体的解释
30、一个笨拙的学生可能会提议计算食堂的对角线，而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学生们自己提不出来更有想象力的内容，那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题，例如：“给定长方体的长、宽、高，求中心到一角的距离”。学生可以利用刚刚解决的问题的结果，因为所求距离是对角线的一半。或者他们也可以利用引入适当的直角三角形的方法（后一种方法对于本例来说是那么显而易见的，并且多少有点笨拙）。在这个应用例子之后，教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体的结构，这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以后，教师应当回到他的问题上来你能把结
31、果或方法用于某个其他问题吗?现在学生有时机找到更有趣的具体应用了，例如，下面就是一个：“在一个长21码、宽16码的建筑物的长方形平屋顶的中心要立一个高8码的旗杆。为了支撑这根旗杆,我们需要四根等长的拉线。规定四根拉线要离旗杆顶点为2码处的同一点开始,而另一端是建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长？”学生可以采用上面已详细求解过的问题中所用方法，即在一个垂直平面上引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者他们也可以利用上面的结果：设想有一个长方体，其对角线X就是四根缆绳之一而它的边是a=10.5,b=8,c=6直接应用公式可求出x=14.5o更多的例子可见“你能利用这个结果吗？那一节
32、15 .不同的方法我们对前面8、10、12、14几节所考虑的问题继续讨论一下。主要的工作，即提出方案,己在第10节加以表达。让我们观察教师用不同的方式来进行。从与第10节相同之点出发，以后可以沿着稍许不同的路线提出以下各问题：“你是否知道任何与此有关的问题？”“你是否知道一个类比的问题？”“你看，所提的问题是关于空间的图形，它与长方体的对角线有关。关于平面中的类比问题可能是什么？它应该与长方形的对角线有关”。“平行四边形”。即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推测任何事物的学生,最后也会被迫对解题的思路至少作出微小的奉献。此外，如果学生确实比较迟钝，为了使学生有所准备，教师应该事先讨论平行四
33、边形的类比问题，否那么不能一下子就端出现在的这个长方体问题。然后，教师可以继续提问如下：“这里有一个与你有关且已解决了的问题，你能利用它吗？”“为了有可能利用它，你是否应当引入某个辅助元素？”最后教师可以成功地向学生提出他所希望的概念。这就是把给定长方体的对角线想象为必须引入图中的一个适宜的平行四边形的对角线（这个平行四边形是通过长方体和两个对边的平面的截面）。此概念本质上和前面（第10节）相同，但方法却不一样。在第10节是通过未知数来触及到学生的可用的知识的；我们回想起一个以前已解决的问题是因为其未知数和当前提出的问题中的未知数相同。而在本节，是用类比的方法使学生触及到解题的概念。16 .教
34、师提问的方法在第8,10,12,14,15各节所阐述的提问方法主要是先从表中一般化的问题和建议开始，在需要时，逐步转向更特殊更具体的问题和建议，直到在学生的头脑中能引出一个答复为止。如果你必须帮助学生开拓某种思路，如果可能的话，从表中一个一般化的问题或建议重新开始提问，并在必要时再一次回到某个更特殊的问题，如此等等。当然，这张表仅仅是这种类型的第一张表，看来对大多数简单情况是够用了。但无疑它还应该改良。重要的是，我们开始提的问题与建议应该简单、自然和一般化，同时表应当短。建议必须简单而自然，否那么就会太唐突。如果我们想培养学生的能力而不是特殊技巧的话，那么建议必须一般化，不仅可用于目前的问题，
35、而且可用于各类问题。表必须简短，使得在不同情况下，能够不矫揉造作地重复提问，从而有机会最终能为学生所掌握，并对培养思维习惯作出奉献。为了培养学生的独立工作能力，必需逐步改为提出特殊的建议。这种提问的方法不是一成不变的，幸好如此，因为在这类事情中，任何一成不变的、机械的、陈旧的程序必然很糟糕。我们允许有一定的灵活性，它允许采用各种方法（见第15节），它可以而且应该这样来实施，使得教师所提的问题可以由学生自己提出来。如果有读者希望在他的班上试一试这里所提出的方法,他当然应该小心地进行，他应该仔细地研究第8节的例子和后面笫18、19、20节中的例子。他应当仔细地准备他打算讨论的例子，同时也考虑到各种
36、不同的方法。他开始时应作少量试验，并逐渐摸索出他应如何掌握这个方法，学生如何学习这个方法并且需要多少时间。17 .好问题与坏问题如果能很好地理解上节所提出的提问方法，那么通过比较可以有助于判断某些建议的好坏，这些建议是为了帮助学生而可能提出来的。回到原来在第10节开始时的情况,那时提问以下问题:你知道一个与此有关的问题吗?我们从帮助学生的最好意愿出发，不问这个问题，而改为提问：你能应用毕达哥拉斯定理吗？我们的动机可能是极好的，但是这种提问却大概是最坏的。我们必须认识是在什么情况下提出这个问题的；然后我们会发现有一大堆反对意见反对这种类型的“帮助”。(1)如果学生已接近于问题的解决,他可能理解问
37、题的建议;但是如果他不是这样，他十分可能完全看不到问题的着眼点，因而在最需要帮助之处却得不到帮助。(2)这建议的针对性太强了，即使学生能利用它解决当前的问题，对于将来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。(3)即使学生理解这建议，他们也极少能理解教师怎么会想到提出这样一个问题,而学生他自己又怎样能想出这样一个问题呢?它看起来很不自然,很令人惊讶，就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么启发性。对第10、15节中所描述的过程就提不出上述任何反对意见了。18 .一个作图题更多的例子在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形的另两边上。“未知的是什
38、么？”“一个正方形”“已如数据是什么？”“一个给定的三角形，其它没有。”“条件是什么？”“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一个。”“是否可能满足条件？”“我想如此，但不太有把握。”“看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足局部条件吗？”“你说局部条件是什么意思？”“你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点？”“四个。”“所谓局部条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持局部条件而舍去其余局部。什么样的局部条件容易满足？”“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是图2容易画出来的！”“画
39、张图！”学生画出图2。“你仅仅保存了局部条件，同时你舍去了其余条件。现在未知确实定到了什么程度？”“如果正方形只有三个顶点在三啖四线上，那么它是不确定的。”“好!画张图。/学生画出图3。/“正象你所说的，保持防祢讨不能确心正为形、它会怎样变化呢？”3“你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样，它怎样变化？”“如果你希望的，你可以用实验的方法试试看。按照图中已有的两个正方形的相同方法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么?它将怎样变化？教师己把学生带到非常
40、接近于解答的地方。如果学生能猜到第四个角的轨迹是一条直线，他就得到这个主意了。19 .一个证明题在不同平面上的两个角，其中一个角的每一边平行于另一角的对应边且方向相同。证明这两个角相等。我们要证的是立体几何的一个根本定理。这个问题可以提给那些熟悉平面几何以及立体几何中以下少数事实的学生，这少数事实构成了欧几里得原理中当前这个定理的预备知识我们不但把直接引自我们表中的问题与建议划上线，而且把那些与它们相对应的问题与建议也划上线。例如，“求证题”是和“求解题”相对应的（在“求解题，求证题”标题下的第5,6小节中，我们再系统地讨论这种对应关系）。“前提是什么？”“两角在不同的平面上，其中一个的每一边
41、平行于另一角的对应边，且方向相同。”“结论是什么？”“两角相凄“Po“画张图，引入适当的符号。”学生画出图4中的线，并在教师的或多或少的帮助下，标出图4中的字母。“前提是什么?请用你的浮表达出来。”y,C和A,B,C不在同一平面上，且AB八少AC。AB吃/方向与,B,的方向相忖IInjAC的方TAW历向相丽”图4“结论是什么？”“看着结论!尝试想起一个具有相同或相似结沦的熟悉的定理。”“如果两个三角形全等，那么对应角相等。”“很好!现在有一个与你的问题有关的定理，且早已证明。你能否利用它？”“我想如此，不过我还不清楚怎么办。”“为了可能利用它，你是否应该引入某个辅助元素？”“好，你提得非常好的
42、那个定理是关于三角形的，是关于一对全等三角形的。在你的图中有没有三角形？”“没有，但我能引进一些。让我连接B与C,B,与C,这样就有了两个三角形，ABC和ABC。”“做得好，但是这些三角形有什么用？”“去证明结论；NBAONBAC“好，如果你希望汪明这点，你需要两个什么样的三角形？”“全等三角形。噢，对了，我可以选择B,C,B,C,使得AB=AB,AC=A,Cn“好极了！现在你希望证明什么？”“我希望证明两个三角形全等，ABC=A,B,C,如果我能证明这点，那么立即可得结论NBAC=NBAC。”“妙!你有了一个新目标，这目标是一个新结论。看着这结论!并且尝试想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定
43、理。”“当且仅当一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条边时，这两个三角形全等。”图5“做得好。本来你有可能会选出一条较差的定理的。现在这里有了一条与你的问题有关的定理，且早已证明，你能否利用它？”“如果我知道BOBC,我能利用它。”“对!那么你的目标是什么？”“证明BC=B,C,0,“试回忆起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。”“是的，我知道一个定理，它最后结束的句子是：那么两线相等，但它并不适宜。”“为了能够利用它，你是否应该引入某个辅助元素？”“你看，在图中BC与BC间并无联系，你怎么能证明BOBC?“你利用了前提吗?前提是什么？”“我们假定ABAB,ACAC。是的，当然我们必须利
44、用这点。”“你是否利用了整个前提?你说ABAB,这是你所知道的关于这些线段的全部情况吗？”“不，根据作图，AB还等于AB。它们彼此平行并且相等。AC和A,C,也是这样。”“两个等长的平行线这是很有趣的图形。你以前见过吗？”“当然见过!对!平行四边形!让我联结A与A,B与B,C与C”“这主意不太坏。现在你的图中有几个平行四边形？”“两个。不，三个。不，两个。我意思是说，其中有两个，你可以立刻证明它们是平行四边形。还有第三个看来是个平行四边形。我希望我能证明它是。这样证明就结束了！”我们可能从这个学生前面的答复已经推测到他很聪明。但是等他作出上述最后一个答复以后，我们对此就深信不疑了。这个学生能够
45、猜出数学结果并且能够清楚地区分证明与猜测。他也知道猜测可以多多少少似乎是可信的。确实，他真的从数学课上得到了教益;他在解题方面有了某种实际经验，他可以看出并且摸索出一个好的解题思路。20 .一个速率问题水以速率r流进锥形容器。容器具有正圆锥形状，底是水平的，顶点在下方，底的半径是a,高为bo当水深为y时，求水外表上升的速率。最后，假定a=4尺，b=3尺，立方尺/分，y二l尺，求未知数的数值。图6我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念。“数是什么？”“圆锥底的半径a=4尺,圆锥的高b二3尺,水流入容器的速率r=2立方尺/分，在某一时刻的水深y=l尺。“对,从问题的表达方式看来,是建议你先忽
46、略具体数值而用字母求解，把未知数用a,b,r,y表示出来，而仅在最终得到未知数的字母表达式以后再代入具体数值。我愿意按照这条建议做。现在未知数是什么？”“当水深为y时，水面升起的速率。”“它是什么?你能用其他术语来说吗？”“水深增加的速率。”“它是什么？你能否再重新表达得更不同些？”“水深的变化率。”“对，y的变化率。但什么是变化率?回到定义去。”“函数的变化率是导数。”“正确。现在y是函数吗?如前所述，我们不管y的具体数值。你能否想象y是变化的？”“是的，水深y随着时间而增加“这样，y是什么的函数？”“时间t的。”“好，引入适当的记号。用数学符号，你将怎样写y的变化率？”“dy/dt”“好，
47、这就是你的未知数。你必须用a,b,r,y来表示它。顺便说一下，数据中有一个是速率，哪一个？”“r是水流进容器的速率。”“它是什么?你能用别的术语来说它吗？”“r是容器中水的体积的变化率。”“它是什么?你能否再重新表达得更不同些?你将怎样用适当的记号来写它?”r=dVdtw“V是什么？”“在时间t,容器中水的体积”“好，这样你必须用a,b,dVdt,y,来表示dydt,你将怎样做？”“如果你不能解决所提问题,首先尝试去解决某个与此有关的问题。如果你到现在还看不出dy/dt与数据间的联系尝试去引入某种能作为中间过渡踏脚石的更简单的联系。”“你看不出还有别的联系吗?例如y与V是否彼此独立？”“不，当y增加，V一定也增加。”“那么说，是有联系了，这联系是什么？”“好，V是锥体的体积，y是锥体的高。但我现在还不知道底的半径。”“不过，你可以考虑它。叫它什么，譬如设它为X吧！”“V=03“正确，关于X又知道些什么？它是否与y独立？”“不，当水深y增加，自由外表的半径X也增加。”“这么说，它们之间是有联系的。但这联系是什么？”“当然是相似三角形。x：y=a：b”“你看，又多了个联系，我不愿错过从它那儿得到的好处。别忘了，你希望知道的是y与V之间的联系。”“现在我有x=aybV二W3b2“很好，这看来像个踏
