黄冈名师2020版高考数学大一轮复习10.3圆的方程课件理新人教A.ppt

第三节 圆 的 方 程(全国卷5年5考),【知识梳理】 1.圆的定义及方程,定点,定长,(x-a)2+(y-b)2=r2,(r0),(a,b),x2+y2+Dx+Ey+F=0,2.点与圆的位置关系 (1)理论依据:_与_的距离与半径的大小关系. (2)三种情况 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),点,圆心,(x0 -a)2+(y0 -b)2_r2点M在圆上; (x0 -a)2+(y0 -b)2_r2点M在圆外; (x0-a)2+(y0 -b)2_r2点M在圆内.,=,【常用结论】 1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:A=C0,B=0,且D2+E2-4AF0. 2.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题. 3.过x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.思维辨析(在括号内打“”或“×”). (1)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的圆. ( ),(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 , 半径为 的圆. ( ) (3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则 +Dx0+Ey0+F0. ( ),(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( ),【解析】(1)×.t0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径 为|t|的圆. (2)×. a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,即-20.,(4).设M(x,y)是圆上异于直径端点A,B的点,由 得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,2.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),PAB是直角三角形,则动点P的轨迹方程为 _.,【解析】若PAB=90°,则P在直线x=-2上, 由P、A、B三点构成三角形知,y0; 若PBA=90°,则P在直线x=2上,且y0; 若APB=90°,则P在圆x2+y2=4上,且y0,综上,P的轨迹方程为x=±2(y0)或x2+y2=4(y0). 答案:x=±2(y0)或x2+y2=4(y0),题组二:走进教材 1.(必修2P120例3改编)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4,【解析】选C.设圆心C的坐标为(a,b),圆的半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0上,所以b=2-a. 因为|CA|2=|CB|2, 所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2. 所以a=1,b=1.所以r=2. 所以方程为(x-1)2+(y-1)2=4.,2.(2016·全国卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直 线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( ) (源于必修2P107例5) A.- B.- C. D.2,【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为 (x-1)2+(y-4)2=4, 故圆心为(1,4),d= 解得a=- .,3.(必修2P119例2改编)ABC的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外接圆的方程为_.,【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则由题意有 解得 故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 答案:x2+y2-4x-2y-20=0,方法二:由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2,线段 BC的中垂线方程为x+y-3=0,所以圆心是两中垂线的交 点(2,1),半径r= 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25. 即x2+y2-4x-2y-20=0. 答案:x2+y2-4x-2y-20=0,考点一 求圆的方程 【题组练透】 1.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是 ( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=4,【解析】选A.根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.,【巧思妙解】选A.因为圆心在y轴上,所以排除C;因为半径长为1,所以排除D;把点A的坐标代入方程知A选项成立.,2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为 ( ) A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1 C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=1,【解析】选A.因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+y2=1.,3.圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为_.,【解析】设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所 以可设点C的坐标为(2a+3,a). 又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|, 即 ,解得a=-2, 所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= , 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 答案:(x+1)2+(y+2)2=10,【一题多解微课】 题3还可以采用以下方法求解: 方法一: 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意得,解得a=-1,b=-2,r2=10, 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 答案:(x+1)2+(y+2)2=10,方法二: 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心坐标为,由题意得 解得D=2,E=4,F=-5,故所求圆的方程为 x2+y2+2x+4y-5=0. 答案:x2+y2+2x+4y-5=0,4.(2019·南昌模拟)若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是_.,【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过 点(0,0)和(4,0),设圆心为(2,m),又因为圆与直线y=1 相切, 所以 解得m=- , 所以圆C的方程为(x-2)2+ 答案:(x-2)2+,【规律方法】 1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.,(2)待定系数法: 根据题意,选择标准方程与一般方程; 根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; 解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线. 提醒:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.,考点二 与圆有关的轨迹问题 【典例】(1)(2019·贵阳模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为_.,(2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线 段长为2 ,在y轴上截得的线段长为2 . 求圆心P的轨迹方程; 若点P到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.,【解析】(1)设P(x,y),圆心C(1,1). 因为P点是过点A的弦的中点,所以 . 又因为 =(2-x,3-y), =(1-x,1-y). 所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.,所以P点的轨迹方程为 +(y-2)2= . 答案: +(y-2)2=,【一题多解】本题还可以采用以下方法: 由已知得,PAPC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径 的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为 , |AC|= 所以半径为 . 所求动点P的轨迹方程为 +(y-2)2= .,答案: +(y-2)2= (2)设P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2,所 以y2+2=x2+3,即y2-x2=1.所以点P的轨迹方程为y2-x2=1;,设点P的坐标为(x0,y0),则 即|x0-y0|=1.所以y0=x0±1. 当y0=x0+1时,由 得(x0+1)2- =1, 所以 所以r2=3, 所以圆P的方程为x2+(y-1)2=3;,当y0=x0-1时,由 得(x0-1)2- =1, 所以 所以r2=3, 所以圆P的方程为x2+(y+1)2=3. 综上所述,圆P的方程为x2+(y±1)2=3.,【误区警示】在求与圆有关的轨迹方程时,一定要做到该分类讨论的要分类讨论,该舍去的点一定要舍去.,【规律方法】 与圆有关的轨迹问题的四种求法,【对点训练】 1.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1,【解析】选A.设点M(x0,y0)为圆x2+y2=4上任一点,PM中 点为Q(x,y),则 所以 代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4, 即(x-2)2+(y+1)2=1.,2.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则点M的轨迹方程为_.,【解析】圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y). 由题设知 · =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0. 即(x-1)2+(y-3)2=2. 答案:(x-1)2+(y-3)2=2,考点三 与圆有关的最值问题 【明考点·知考法】 与圆有关的最值问题,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大.考查借助几何性质,建立函数关系求最值.,命题角度1 借助几何性质求最值 【典例】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样 一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0且 k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平 面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比 为 ,当P,A,B不共线时,PAB面积的最大值是 ( ),A.2 B. C. D.,【解析】选A.如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的 垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0), 设P(x,y),因为 所以 两边平方整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8, 所以PAB面积的最大值为 ×2×2 =2 .,【状元笔记】 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如= 形式的最值问题可转化为动直线斜率的 最值问题. (2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距 的最值问题.,(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,命题角度2 建立函数关系求最值 【典例】若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0), B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为 世纪金 榜导学号( ) A.2 B.2 C.4 D.4,【解析】选B. 易得|PA|2+|PB|2=4,由基本不等式得 所以|PA|+|PB|2 .,(2)过点P(-1,1)作圆C:(x-t)2+(y-t+2)2=1(tR) 的切线,切点分别为A,B,则 的最小值为 ( ),【解析】选C.由已知,圆心坐标为C(t,t-2),半径r=1, 其中 |PC|2=(-1-t)2+(1-t+2)2=2t2-4t+10, |PA|2=|PB|2=|PC|2-1=2t2-4t+9, cosAPC=,cosAPB=2cos2APC-1=2× -1= , 利用平面向量数量积的定义有 ×cosAPB =(2t2-4t+9)× =(t2-2t+5)+(t2-2t+4)× ,设m=t2-2t+4,(m3),则 =m+(m+1)× =2(m+1)+ -3, 结合对勾函数的性质得, f(m)=2(m+1)+ -3,在区间3,+)上单调递增, 当m=3时,( )min=2×4+ -3= .,【状元笔记】 建立函数关系式求最值 根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.,【对点练·找规律】 1.(2019·拉萨模拟)已知点P在圆C:x2+y2-4x-2y+4=0 上运动,则点P到直线l:x-2y-5=0的距离的最小值是 ( ) A.4 B. C. +1 D. -1,【解析】选D.圆C化为(x-2)2+(y-1)2=1,圆心C(2,1)半 径为1,先求圆心到直线的距离 则圆上一点P到直线l :x-2y-5=0的距离的最小值是 -1.,2.(2018·沈阳模拟)已知圆C的方程为x2-2x+y2=0,直 线l:kx-y+2-2k=0与圆C交于A,B两点,则当ABC面积最 大时,直线l的斜率k= ( ) A.1 B.6 C.1或7 D.2或6,【解析】选C.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为 C(1,0),半径r=1.直线l变形为y=k(x-2)+2,过定点 (2,2),记ACB=,由面积公式,得S= r2sin = sin ,当= 时,ABC面积最大,此时,点C到直线l距离为 解得k=1或7.,3.(2019·兰州模拟)若直线ax+by+1=0(a0,b0)把圆 (x+4)2+(y+1)2=16分成面积相等的两部分,则 的最小值为 ( ) A.10 B.8 C.5 D.4,【解析】选B.因为圆(x+4)2+(y+1)2=16的圆心坐标为 (-4,-1),直线ax+by+1=0把圆分成面积相等的两部分, 所以该直线过点(-4,-1),-4a-b+1=0,即4a+b=1, =( )(4a+b)=4+ 4+2 =8,当且 仅当a= ,b= 时取“=”.,数学能力系列直观想象在圆的方程中的应用 【能力诠释】 借助几何直观想象感知事物的形态与变化,利用图 形理解和解决数学问题.借助空间想象认识事物的位置 关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学,问题;建立数与形的联系,构建数学问题直观模型,探索解决问题的思路. 以学过的圆的相关知识为基础,借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”,然后利用“直观想象”解决新问题.,【典例】(2018·深圳模拟)已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则PAB面积的最大值与最小值分别是_.,【解析】 如图,圆心(1,0)到直线AB:2x-y+2=0的距离 d= ,所以点P到直线AB距离的最大值是 +1,最小值是 -1,又|AB|= ,所以PAB面积的最大值,最小值 分别是2+ ,2- . 答案:2+ , 2-,【技法点拨】求最值的常用方法 方法一:构造函数法:本题关键是引入变量构造PAB面积的函数. 方法二:数形结合:利用图形确定PAB高何时最大,何时最小,进而求最值.,【即时训练】 如图,在等腰ABC中,已知|AB|=|AC|,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积为_.,【解析】由已知|AB|=2|AD|,设点A(x,y),则(x+1)2+y2=4(x-2)2+y2,所以点A的轨迹方程为 (x-3)2+y2=4(y0),设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0)知A(4-x, -y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4,即 (x-1)2+y2=4(y0),所以点C的轨迹所包围的图 形面积为4. 答案:4,