2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8．2　立体图形的直观图 Word版含答案.doc

82立体图形的直观图考点学习目标核心素养平面图形的直观图会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图直观想象简单几何体的直观图会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图直观想象直观图的还原与计算会根据斜二测画法规则进行相关运算直观想象、数学运算 问题导学预习教材P107P111的内容，思考以下问题：1画简单几何体的直观图的步骤是什么？2水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？3用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半2空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z轴(2)直观图中平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 名师点拨 (1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°) 判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90°，则在直观图中，A45°.()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行()(3)相等的角在直观图中仍相等()答案：(1)×(2)(3)× 根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的Ox，Oy，Oz，则xOy与xOz的度数分别为()A90°，90°B45°，90°C135°，90° D45°或135°，90°解析：选D.根据斜二测画法的规则，xOy的度数应为45°或135°，xOz指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 下列关于直观图的说法不正确的是()A原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y轴，长度不变B原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x轴，长度不变C画与直角坐标系xOy对应的xOy时，xOy可以画成45°D在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同解析：选A.平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错 利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的()解析：选C.正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项 如图所示的直观图AOB，其原平面图形的面积为_答案：6画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示(2)画相应的x轴和y轴，使xOy45°，在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图.(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图.画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化 用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)解：(1)画对应的坐标系xOy，使xOy45°.(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图画简单几何体的直观图已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图【解】(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45°，xOz90°.(2)画下底面以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF6，在y轴上取线段GH，使得GH3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图(3)画上底面在z轴上截取线段OO14，过O1作O1xOx，O1yOy，使xO1y45°，建立坐标系xO1y，在xO1y中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图)画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的. 由如图所示几何体的三视图画出直观图解：(1)画轴如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45°，xOz90°.(2)画底面作水平放置的三角形(俯视图)的直观图ABC.(3)画侧棱过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA，BB，CC，且AABBCC，如图.(4)成图，顺次连接A，B，C，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图.直观图的还原与计算如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD 的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形，并求原图形的面积【解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D与y轴平行的直线上截取DA2D1A12.在过点A与x轴平行的直线上截取ABA1B12.连接BC，便得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S×25.(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可(2)直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有SS或S2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积 已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2B.a2C.a2 D.a2解析：选D.如图所示为实际图形和直观图由可知，BCBCa，OAOAa，在图中作ADBC于点D，则ADOAa.所以SABCBC·AD×a×aa2.1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行 D原来共点的仍共点答案：B2如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y轴，故选C.3如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为()A2S B.SC2S D.S解析：选C.法一：设OCh，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，CBCB，OAOA.过C作CDOA于点D(图略)，则CDh.由题意知CD(CBOA)S，即h(CBOA)S.又原直角梯形面积为S·2h(CBOA)h(CBOA)2S.所以梯形OABC的面积为2S.故选C.法二：由S直观图S原图，可得S梯形OABC2S，故选C.4若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在xOy平面上，则圆柱的高应画成()A平行于z轴且大小为10 cmB平行于z轴且大小为5 cmC与z轴成45°且大小为10 cmD与z轴成45°且大小为5 cm解析：选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致5画一个正四棱锥(底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定)解：步骤：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，使xOy45°，xOz90°.(2)画底面以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高(4)画棱连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S­ABCD的直观图，如图所示A基础达标1对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是()A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：选B.根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形2如图，ABOy，BCOx，则直观图所示的平面图形是()A任意三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形解析：选C.因为ABOy，且BCOx，所以原平面图形中ABBC.所以ABC为直角三角形3已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A2 cmB3 cmC2.5 cm D5 cm解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为235(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.4已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A16 B64C16或64 D都不对解析：选C.根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.5.正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A6 cmB8 cmC(23)cm D(22)cm解析：选B.如图，OA1 cm，在RtOAB中，OB2 cm，所以AB 3 (cm)所以四边形OABC的周长为8 cm.6如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为_解析：因为DAB45°，由斜二测画法规则知DAB90°，又因四边形ABCD为平行四边形，且AB2BC，所以ABBC，所以原四边形ABCD为正方形答案：正方形7如图是四边形ABCD的水平放置的直观图ABCD，则原四边形ABCD的面积是_解析：因为ADy轴，ABCD，ABCD，所以原图形是一个直角梯形，如图所示又AD4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S×(25)×828.答案：288.如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_解析：在直观图中四边形ABCO是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B到x轴的距离为.答案：9如图是上、下底面处在水平状态下的棱长为2 cm的正方体的直观图，比例尺为11，回答下列问题：(1)线段AB1在图中、实物中长度各为多少？AB1A1在图中、实物中的度数各为多少？(2)在实物中，ABC、AEB、BEC、ABD、CBD的度数是多少？(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？AD1A1、CB1C1在实物中的度数是多少？解：(1)平面AA1B1B处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形，由已知AA1A1B12 cm，AA1A1B1，所以AB12 (cm)所以线段AB1在图中，实物中的长度都是2 cm，AB1A1在图中、实物中度数都是45°.(2)在实物中，ABCAEBBEC90°，ABDCBD45°.(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1 cm，2 cm，AD1A1、CB1C1在实物中的度数都是45°.10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CDBO1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积解：法一：在梯形ABCD中，AB2，高OD1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，ODOD，梯形的高DE，于是梯形ABCD的面积为×(12)×.法二：梯形ABCD的面积S(DCAB)×OD×(12)×1.所以梯形ABCD直观图的面积为SS×.B能力提升11如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图ABC，其中D是AC的中点，在原三角形ABC中，ACB60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有()A0条 B1条C2条 D3条解析：选C.先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段把三角形ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以ADDCBD.故选C.12.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A. B1C1 D2解析：选D.因为ADBC，所以ADBC.因为ABC45°，所以ABC90°.所以ABBC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示其中，ADAD1，BCBC1，AB2，即S梯形ABCD2.13水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知BC4，AC3，BCy轴，则ABC中AB边上的中线的长度为()A. B.C5 D.解析：选A.由斜二测画法规则知ACBC，即ABC为直角三角形，其中AC3，BC8，所以AB，AB边上的中线长度为，故选A.14.如图是一个边长为1的正方形ABCD，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为AC在水平位置，ABCD为正方形，所以DACACB45°，所以在原四边形ABCD中，ADAC，ACBC，因为AD2DA2，ACAC，所以S四边形ABCDAC·AD2.C拓展探究15. 已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)解：画法：(1)建系：如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使xOy45°，xOz90°.(2)画底：在x轴上取线段OB8 cm，在y轴上取线段OA2 cm，以OB和OA为邻边作平行四边形OBBA.(3)定点：在z轴上取线段OC4 cm，过C分别作x轴，y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD4 cm，CC2 cm.以CD和CC为邻边作平行四边形CDDC.(4)成图：连接AC，BD，BD，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图)