1、121 三角函数的定义（一）三角函数的定义（一）1.初中学过的初中学过的锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义:在直角三角形在直角三角形ABC中，角中，角C是直角，角是直角，角A为锐角，则用角为锐角，则用角A的的对边对边BC，邻边邻边AC和和斜斜边边AB之间的比值来定义角之间的比值来定义角A的三角函数的三角函数.2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：以坐标原点为角以坐标原点为角的顶点，以的顶点，以OX轴的正方向轴的正方向为角为角的始边，则角的始边，则角的终边落在直角坐标系的的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点第一象限内，若点P(x,y)是角是角
2、终边上的任意终边上的任意一点，点一点，点P到原点到原点O的距离是的距离是r ,试试将角将角的三角函数用的三角函数用x、y、r的式子表示出来的式子表示出来 sin=，cos=，tan=。3.任意角的三角函数任意角的三角函数:（1）确立任意角）确立任意角在直角坐标系中的位置；在直角坐标系中的位置；以坐标原点为角以坐标原点为角的顶点，以的顶点，以OX轴的正轴的正方向为角方向为角的始边；的始边；（2）在其终边上取点）在其终边上取点A，使，使OA=1，点，点A的坐的坐标为标为(l,m)，再任取一点，再任取一点P(x,y)，设点，设点P到原点到原点的距离为的距离为r，OP=r（r0），根据三角形的相），根
3、据三角形的相似知识得：似知识得：因为因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得符号相同，因此得 不论点不论点P在终边上的位置如何，它们都是在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于定值，它们只依赖于的大小，与点的大小，与点P在在终终边上的位置无关。即当点边上的位置无关。即当点P在在的终边上的位的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。置变化时，这三个比值始终等于定值。叫做角叫做角的余弦，记作的余弦，记作cos,即即cos=；叫做角叫做角的正弦，记作的正弦，记作sin，即即sin=；叫做角叫做角的正切，记作的正切，记作tan，即即 tan=依照上述
4、定义，对于每一个确定的角依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应：对应：当当2k (kZ)时，它有唯一的时，它有唯一的正切值与之对应正切值与之对应.因此这三个对应法则都是因此这三个对应法则都是以以为自变量的函数，分别叫做角为自变量的函数，分别叫做角的余弦函的余弦函数、正弦函数和正切函数。数、正弦函数和正切函数。3.角角的其他三种函数：的其他三种函数：角角的正割：的正割：角角的余割：的余割：角角的余切：的余切：4.几点说明：几点说明：(1)这里提到的角这里提到的角是是“任意角任意角”，当，当=2k+(kZ)时，时，与与的同名
5、的同名三角函数值三角函数值应应该是该是相等相等的，即凡是的，即凡是终边相同的角终边相同的角的三角函数的三角函数值都相等。值都相等。(2)定义中只说怎样的定义中只说怎样的比值比值叫做叫做的什么函的什么函数，并没有说数，并没有说的终边在什么位置（终边在坐的终边在什么位置（终边在坐标轴上除外），即函数的定义与标轴上除外），即函数的定义与的终边位置的终边位置无关。无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。同样适用。(3)三角函数是以三角函数是以“比值比值”为函数值的函数。为函数值的函数。(4)对于正弦函数对于正弦函数sin=,因为因为r0，所以，所以恒有意
6、义，即恒有意义，即取任意实数，取任意实数，恒有意义，恒有意义，也就是说也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定恒有意义，所以正弦函数的定义域是义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；类似地可写出余弦函数的定义域是是R；对于正切函数对于正切函数tan=,因为因为x=0时，时，无意义，又当且仅当无意义，又当且仅当的终边落在的终边落在y轴上时，才有轴上时，才有x=0，所以当，所以当的终边落不在的终边落不在y轴上时，轴上时，恒有意义，即恒有意义，即tan=恒有意义，所以正切恒有意义，所以正切函数的定义域是函数的定义域是|k+（kZ）从而三角函数的定义域是从而三角函数的定义域是 y=sin,R y=co
7、s,Ry=tan,k+（kZ）例例1.已知角已知角的终边过点的终边过点P（2，3），求），求的的六个三角函数值。六个三角函数值。解：因为解：因为x=2，y=3，所以，所以sin=cos=tan=cot=sec=csc=解：（解：（1）因为当）因为当=0时，时，x=r，y=0.所以所以例例2.求下列各角六个三角函数值：求下列各角六个三角函数值：（1）0；（；（2）；（；（3）sin0=0，cos0=1，tan0=0，csc0不存在，不存在，sec0=1，cot0不存在不存在.(2)；解：（解：（2）因为当）因为当=时，时，x=r，y=0.所以所以sin=0，cos=1，tan=0，Csc不存在，
8、不存在，sec=1，cot不存在不存在.(3)解：（解：（3）因为当）因为当=时，时，x=0，y=r.所以所以sin =1，cos =0，tan 不存在，不存在，csc =1，sec 不存在，不存在，cot =0.例例3.角角的终边过点的终边过点P(b，4)，且，且cos=则则b的值是（的值是（）解：解：r=cos=解得解得b=3.（A）3 （B）3 （C）3 （D）5A例例4.在直角坐标系中，终边过点在直角坐标系中，终边过点(1，)的所的所有角的集合是有角的集合是 .解：点解：点(1，)在第一象限，且在第一象限，且x=1，y=所以所以r=2，sin=，cos=所以满足条件的角所以满足条件的角=2k+|=2k+，kZ例例5.已知角已知角的终边上一点的终边上一点P(，y)(其中其中y0)，且，且sin=，求，求cos和和tan.解：解：sin=解得解得y2=5，y=当当y=时，时，cos=,tan=当当y=时，时，cos=,tan=
