1、第七章习题解答1 .设(X,d)为一度量空间，令U(x0,)=xxeX,(x,x0)h)因此口,切按d(f,g)成度量空间。3 .设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集G，6M包含B，而且AqI=B。M=I证明令=Bq,=或工,8)/,冷=12.4是开集：设0那么存在X8,使nJ(x0,x1)0,那么易验证U(X0,b)uq,这就证明了q,是开集nn显然Co假设Xco”那么对每一个n,有WB使d(x,X)x(fj8)。因B是闭集，必有t8,所以CO“=B。=14 .设d&,y)为空间X上的距离，证明Z(X,y)=,d(jN)l+d(x9y)是X上的距离。证明假设d(x,y)=O那么d(x,
2、y)=O,必有二y因，/(%,工或工,2)+4(乂2)而一在0,8)上是单增函数，于是1+f7(x,y)=-L7(x,y)=Hz)+d(y,z)l+d(x,y)1+J(x,z)+J(,z)d0,z)Id(y,z)1+d(x,z)+d(y,z)l+d(x,z)+d(y,z)d(x,z)1 + d(x,z)I d(y,z)l+d(y,z)= d(x,z)+ d (y,z)。5 .证明点列/；按习题2中距离收敛与fC,例的充要条件为A的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数。证明假设，按习题2中距离收敛与C4,即1(0-r0(A)7max,0()+A-r,0(oo),这样因此对每个r,maxr2r
3、A-maxk0-0(-8),即力在a,b上一致收敛于/。反之，假设的。，存在，使)N,时，max1力一尸)(“N时，t(,t)max,w-4即(/，)。(一8)。6 .设8u向,证明度量空间Cm,切中的集f当tB时f=0为Qa,句中的闭集，而集A=f当tB时，If(t)I0)为开集的充要条件是R为闭集。证明记E=f当teB时f=0。设力E,按Qa,切中度量收敛于f,即在a,bln(Z)一致收敛于f(t)。设，8,那么/=Iim00充分性。当B是闭集时，设fA因f在B上连续而B是有界闭集，必有f3,使)=max(r).设6Z-(r0)=Oo我们证明必有U(,5)uA。设gU(f,b),那么假设
4、t三B.必有(f)-g卜6,于是lg(3(f)-g+FQ)l%(一8),倘假设Wb,那么定义，=。一|/一片|。于是对任意，6,力Q)=一|，一八|。因此，)A由于A是开集，必有0,当Ca,b且d(,/)0(n-00)因此当fb时，ZIWA但是(G=-fT+%TOl=*此与A的必要条件:对任意B,有，(r)o,证明必有不相交开集O及G分别包含E及F证明设或瓦产)=So令o=xd(x,E)=J,G=XId(Xi)=前zOnG那么EuO,/UG,且OCGW，事实上，假设OcG，那么有，所以存在E中的点X使d(x,z)g,F中点y使c(y,z)(g,于是d(x,y)d(x,z)+d(y,z)S,此与
5、d(x,y)d(E尸)=b矛盾。8 .设Ba,b表示a,b上实有界函数全体，对Ba,b中任意两元素f,gBa,b,规定距离为d(f,g)=supIf(t)-g(f)I证明Ba,b不是可分空间。atb证明对任意foa,b,定义儿)=lo)2,f0,b)那么4)Ba,bj,且假设乙WG，d(D=l倘假设Ba,b是不可分的，那么有可数稠密子集g对任意%wb,U,g)必有某g，即(g”,儿)g由于b上的点的全体是不可数集。这样必有某g，f”,使&一4)，gU(41),于是d(fli,ft2)或九，g.)+d(gn,ft2)Vg+g=1此与d(fh,乙)=1矛盾，因此Ba,b不是可分空间。9 .设X是可
6、分距离空间，0,存在%A,使(/,No)vinfd(x,y)+刍=/(/)+专。取E2=f0那么当d(x,/)6时,F(X)=infd(x,y)d(x,为)d(x,/)+(%,%)/(%)+因此/(x)-/(与)。由于X与10对称性，还可得*o)-F(X)0，使U(X,J)Cg=。，令G=UU(X,W),类似G?=Ut(y,其中U(y,4)c6=O,显然G,G?是开集，且XWFl2XG&2G1FpG2F2倘假设GCG2。,，那么必有XW匹，yw72，使U(y,晟)nu(x,当)Oo设zU(y,mi)nua,).不妨设4j,那么xyd(y,x)d(x,z)+J(z,y)c是开集。这样&I%WXJ
7、a)cCxxeX9f(x)c是闭集。同理xxX,(x)c是闭集。反之，假设对每个实数c,xxXJ(x)c和xxXJ(x)c都是闭集,那么xxXJ(X)Vc和%|%*,/)。都是开集。设G是直线上的开集，那么G=IIa也)或G=OQ也)，其中(4.也)是G的构成区间。不妨设=l=lG=U(%也)于是/=1OOOOFT(G)=UxXeX,%f(x)j)11(xXWX(x)0,存在N,使当n,mN时，d(xn.xm).9令M=maxd(x,XN)0。一0),2t因此对任意0,存在b0,当03时Y,对此b0,存在n,mN时,l-2,/d( x )-y1 -cw0一乙2+|”一M)I1|产()_卢(M)
8、I因此%F马，从而IlTr)I总8)。令X=4故有XS,81尸。，存在i0,使Z-rN,时，Ig泮一|N=maxTV1,Nb)时，f1KYj0,存在N，使当n,mN时d(x.,x,”)。这样对任意，A,Ixm(0-xltl(01supIxn(Z)-xm(/)x(tn-),由于n,mN时|/(。-Xma)K,m-,得,这样Ix(01Xtta)+,于是supIx(t)suxnQ)+0,存在N,当n,mN是火/,()N,d(,巧v)N是Z=X因此%一(一8),即(X,d)是完备的度量空间。16.证明与C0,1的一个子空间等距同构。证明假设X=(。&,),定义T(XJ)C(0,lj(0J,假设工=(。
9、/2,百.)尸，y=Sl力2,7.)，那么d(x,y)=sup6一/I=SUPlTaJ)-T(yw)=d(7,4)因此T到广到(0,1的子空间的一个同构/e(0,l映射，即广到(0,1的一个子空间等距同构。17 .设F是n维欧几里得空间R的有界闭集，A是F到自身中的映射，并且适合以下条件：对任何%,yF(xy)9有d(Ar,Ay)d(x,y)。证明映射A在F中存在唯一的不动点。证明定义F上的函数f(x)=d(Ax,x)由于(x)-f(y)Hc(Ax,x)-dAy,y)d(AxyAy)+d(x,y)2d(x,y)因此是F上的连续映射，因F是有界闭集，必有F,使/Ff(x0)=min/(x)xeF
10、我们先证明了(Xo)=(),假设/(/)0,那么AToXo,记M=Ar,那么Arl=A2%,于是/(-vi)=J(Ar1,x1)=d(A2x09Ax0)J(Ar0,x0)=/(x0)此与/(%)是f的最小值矛盾。故d(AXo,%)=。即Ax0=J0假设王是A的另一个不动点，那么(工0，玉)=(40，加；)330,内)，矛盾。18 .设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记J=SUPd(AyA%),rzd(X9X|)假设Zan9那么映射A有唯一不动点。w=l证明因S48,那么必有N,使4v0)内适合又A在闭球5(x0,r)=xJ(x,x0)r上连续，并且d(x0,Ax0)(-)r.证明：A在S
11、XO/)中有不动点。证明设X二A/,=1,2。那么d(xxn)=J(Anx0,Aw-)比(ALX,A%。)0,存在N,使夕v,且,mN,有rdC,xnr)d(x,M)+d(%,%2)+d*F)(I-。)，+歹2(l)r+el-6)reX58),因IJ/1=14(x”,Xo)d(x.,XM_i)+da“T，X_2)+d(M，)4e(l-e)r+e(l-O)r+-+e(l-6)r=e(l-O)rA的不动点不一定是唯一的。例如X是离散的度量空间。A是X中的恒等映射。在开球UaO,1)内只有%一点，自然满足条件(Aa;AV)a(x,x),OvOvLo而d(,Ar)=0,也满足J(x0,Ar0)r.o
12、但X中每一点皆为A的不动点。220.设,=12,为一组实数，适合条件1,其中/当j=k时为1,否那i，j=l么为0。证明：代数方程组对任意一组固定的4，%,2，必有唯一的解与，x2,.n.证明记定义R1到R内的映射T：TX=-AX+X+b设XXR那么nJ.由于(附一%)2),vl，于是T有唯一不动点X*，即次*=-AX*+X*+匕=X*,因此AX*=有八六1唯一解X，21.设勿表示上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。在句中定义范数卜卜3)|+玄幻,证明勿是Banach空间。证明Via,b显然是线性空间。下证H/6是赋范线性空间。1 .假设XWHa,用,显然INl0bb
13、h假设帆=0,那么k(a)+*)=O,BP-()=O,且丫(幻=0。由V(X)=O可知K在a加上为常值函数，于是Hr)三(a)=02 .假设.tVa,b,(一8,+oo),3 .假设x,yVa,切，bbh其中V(X+y)V(x)+V(y)的理由如下：对任意分划aaaT：a=t00,存在N，当n,mN时，kfJ二卜一s4+(%f”)6XT珀nqna,b上右连续。对任意e0,存在N,当,mN时，上一XJ卜氏3)-4(q)+g(x一XM)CE对a,b上的任一分划7：。=，0八L=b,有/、b|(七&)Tm(G)-(怎(*)一/(*)|七-3)=V(怎f)V令/=10？fOO,Z(xn(G)-Mj)-
14、XnaJT)-XGT)I(*)Z=I因此，从而X=XzI-(X.-x)Va,例.由(*)式及分点的任意性知，/(X7)&从而abH-=xzf(a)-x(a)+V(xn-x)2.即按句中范数收敛于其。这样我们就证明了勿是完备的赋范线性空间，即BamICh空间。22.设X,Xz,是一列BrmM空间，x=xl,x2,-xn是一列元素，其中匕Xm,n=1,2,并且Ekj0,存在M使当J时，若一,是X“中的柯西列。设*)*?令X=(X,工2,)，由于(卜？一婢)|)液，因此对任意K,(Z(W)Y1|)京V,令8=l/1=1得灯WrN,PW=I再令oc得0-xJll(w)()-(-,o)kll+l1-l
15、l这就证明了(x,y)x+V是连续映射。24 .设八是实(复)数域，X为赋范线性空间，对每个(,x)X*X,定义M=JIaI2+时,证明：(a,x)far为X*X到X中的连续映射。证明设(%,乙)(a0,x0),同第23题一样可证ana0,xnx0(noo),由于4收敛，必有M0,使.那么htn-lloc-l-llk-lllllk-l()因此映射(,x)ax是连续的。25 .。为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在C中令x=SUpIXJ,x=(xjC证明：C是可分的BawCh空间。证明由第七章4例1知是Bszc为空间。由定义易知C是/R中的线性子空间，且范数定义是一致的。因此要证。是34mc力空间，由4定理1,只要证C是/中的闭子空间即可。设七uC,xn=(物总%)；XerO,冗=(刍4,)；Ik-XI0().对于任意心0,存在M使N时，有上一司5。特别地IM-Nl京即SU甫产一K,K产一4?0,存在M使当N时，必有nxn-ao取有理数U使心一/j|.取有理数不4一，心使|若一4，=1，2-,乂令8y=(，小”/，),那么y4,且上一M=SUPM-叫再一回,%-端%+”：.=l故UA是C的可数稠密子集。这就证明了C是可分的BawM空间。证毕。
