2019-2020学年高中数学课时跟踪检测四余弦定理的应用苏教版必修5.doc

课时跟踪检测（四） 余弦定理的应用层级一学业水平达标1在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a>b>c，a2<b2c2，则角A的取值范围是()A.B.C. D.解析：选B因为a2<b2c2，所以cos A>0，所以A为锐角，又因为a>b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.2两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile、2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()A3a n mile B.a n mileC.a n mile D.a n mile解析：选B根据题意，作出图形(图略)，得ABa(n mile)3如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度组成新三角形，则新三角形的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度确定解析：选A设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2b2c2.三边都增加x(x>0)，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形4如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.解析：选D设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cos A，故选D.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2，则ABC是()A直角三角形B锐角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选A在ABC中，cos2，cos A.由余弦定理，知，b2c2a22b2，即a2b2c2，ABC是直角三角形6在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135°，若ACAB，则BD_.解析：用余弦定理求得：AB2BD2AD22AD·BDcos 135°，AC2CD2AD22AD·CDcos 45°，即AB2BD222BD，AC2CD222CD，又BC3BD，CD2BD.AC24BD224BD.又ACAB，由得2AB24BD224BD.2×得，BD24BD10.BD2.答案：27如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为_ km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.答案：68甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为_小时解析：如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD104t，乙行驶到C处，则AC6t.BAC120°，DC2AD2AC22AD·AC·cos 120°(104t)2(6t)22×(104t)×6t×cos 120°28t220t100.当t时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为小时答案：9要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的BCD120°，CD40 m，求电视塔的高度解：如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45°得BCx.在RtADB中，ADB30°，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°，即(x)2x24022·x·40·cos 120°，解得x40，所以电视塔高为40 m.10如图所示，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，求BC的长解：设BDx，在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22AD·BD·cosBDA，即142102x220xcos 60°，x210x960，x16(x6舍去)，即BD16.在BCD中，由正弦定理得，BC8.层级二应试能力达标1在ABC中，三边上的高依次为，则ABC为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不存在这样的三角形解析：选C设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别为a，b，c上的高因为SABCa×b×c×，所以可设a13k，b5k，c11k(k>0)由余弦定理，得cos A<0，则A，所以ABC为钝角三角形，故选C.2如图所示，在四边形ABCD中，BC120°，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A.B5C6 D7解析：选B连接BD，在BCD中，由已知条件，知DBC30°，ABD90°.在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BC·CDcosC，知BD222222×2×2cos 120°12，BD2，S四边形ABCDSABDSBCD×4×2×2×2×sin 120°5.3.如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A30°B45°C60° D75°解析：选B依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.4在ABC中，AD为BC边上的中线，且AC2AB2AD4，则BD_.解析：如图所示，设BDDCx，因为ADBADC180°，所以cosADBcosADC，又AC2AD2AB4，由余弦定理得，解得x(x舍去)即BD.答案：5江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 45°30(m)，ONAOtan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)答案：106在ABC中，若B60°，b2ac，则ABC的形状是_解析：b2ac，B60°，由余弦定理b2a2c22accos B，得a2c2acac，即(ac)20，ac，又B60°，ABC为等边三角形答案：等边三角形7如图所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B，求BC边上的高AD的长解：在ABC中，由已知设AB7x，AC8x，由正弦定理，得，sin C×.C60°(C120°舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)由余弦定理得(7x)2(8x)21522×8x×15cos 60°，x28x150.x3或x5，AB21或AB35.在ABD中，ADABsin BAB，AD12或AD20.8在ABC中，已知cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断ABC的形状解：在ABC中，由已知cos2得，cos A.根据余弦定理得，b2c2a22b2，即a2b2c2.ABC是直角三角形