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必修 4 平面向量专项练习（解答题） 一解答题（共30小题） 1在平面直角坐标系中，设向量=（cosA ，sinA） ， =（cosB ，sinB） ， 其中 A，B 为ABC的两个内角 （1）若，求证： C为直角； （2）若，求证： B为锐角 2 在ABC中，角 A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且满足 sin=，?=6 （1）求 ABC的面积； （2）若 c+a=8，求 b 的值 3已知=（sinx，cosx） ， =（，1） （）若 ，求 sin2x6cos 2x 的值； （）若 f（x）= ? ，求函数 f（2x）的单调减区间 4已知点，Q（cosx ，sinx） ，O为坐标原点，函数 （1）求函数 f（x）的最小值及此时x 的值； （2）若 A 为ABC的内角， f（A）=4，BC=3 ，求 ABC的周长的最大值 5已知 f（x）=，其中 （I）求 f（x）在区间 ， 上的单调递增区间； （）在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，f（A）=1，a=， 且向量垂直，求边长 b 和 c 的值 6已知向量=（sinx，mcosx） ， =（3，1） （1）若 ，且 m=1，求 2sin2x3cos 2x 的值； （2） 若函数 f （x） = ? 的图象关于直线 x=对称，求函数 f（2x）在， 上的值域 7已知向量=（sinA，cosA ） ， =（，1） ， ? =1，且 A 为锐角 （1）求角 A 的大小； （2）求函数 f（x）=cos2x +4cosAsinx （xR）的值域 8已知向量=（cosx ，） ， =（sinx，cos2x） ，xR，设函数 f（x）= （） 求 f（x）的最小正周期 （） 求 f（x）在 0， 上的最大值和最小值 9已知向量=（cosA，sinA） ， =（cosB ，sinB） ， ? =cos2C ，其中 A、B、C 为ABC的内角 （）求角 C的大小； （）若 AB=6，且，求 AC、BC的长 10已知向量=（m，cos2x） ， =（sin2x，n） ，函数 f（x）= ? ，且 y=f（x） 的图象过点（，）和点（，2） （）求 m，n 的值； （）将 y=f（x）的图象向左平移 （0 ）个单位后得到函数y=g（x）的 图象，若 y=g （x）图象上的最高点到点（ 0，3）的距离的最小值为1，求 y=g（x） 的单调递增区间 11已知 f（x）= ? ，其中=（2cosx ，sin2x） ， =（cosx ，1） ，xR （1）求 f（x）的单调递减区间； （2）在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=1，a=， 且向量=（3，sinB）与=（2，sinC ）共线，求边长 b 和 c 的值 12已知向量=（sinx，） ， =（cosx，1） ， （）当 时，求 tan2x 的值； （）求函数 f（x）=（ + ）? 在 ，0 上的值域 13 在ABC中， 角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 向量， ， （1）求 sinA 的值； （2）若，b=5，求角 B的大小及向量在方向上的投影 14锐角三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量=（2c， ba） ， =（2a+2b，ca） ，若 （1）求角 B的大小； （2）求 sinA+sinC的取值范围 15设向量=（sinx，sinx） ， =（cosx，sinx） ，x（0，） （1）若| =| ，求 x 的值； （2）设函数 f（x）=，求 f（x）的最大值 16已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，设向量， ， （1）若 ，求证： ABC为等腰三角形； （2）若 ，边长 c=2，角 C=，求 ABC的面积 17已知向量=（sinx，） ， =（cosx，1） （1）当 时，求 2cos 2xsin2x的值； （2）求 f（x）=（ + ）? 在 ，0 上的最大值 18设向量=（sinx，sinx） ， =（cosx，sinx） ，其中 x（0，） （1）若 ，求 x 的值； （2）设函数 f（x）=（ + ）? ，求 f（x）的最大值 19已知=（sinx，2） ， =（2cosx，cos 2x） ，函数 f（x）= ? ， （1）求函数 f（x）的值域； （2）在 ABC中，角 A，B，C和边 a，b，c 满足 a=2，f（A）=2，sinB=2sinC ， 求边 c 20已知O 为坐标原点，=（2asin 2x，a） ， =（1， 2sinxcosx +1） ， （ab 且 a0） （1）求 y=f（x）的单调递增区间； （2）若 f（x）的定义域为，值域 2，5 ，求 a，b 的值 21已知向量=（cos ，sin ） ， =（cos ，sin ） ，=（1，0） （1）求向量的长度的最大值； （2）设 =，且（） ，求 cos 的值 22已知 f（x）=2sin （）若，求 f（x）的值域； （）在 ABC中，A 为 BC边所对的内角若 f（A）=2，BC=1 ，求的最大 值 23在 ABC中，三个内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB sinC，sinC sinA） ， =（sinB+sinC ，sinA） ，且 （1）求角 B的大小； （2）若= ?cosA，ABC的外接圆的半径为1，求 ABC的面积 24已知 ABC的外接圆的半径为，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，又 向量，且， （I）求角 C； （II）求三角形 ABC的面积 S的最大值 25已知向量=（sinA，sinB） ， =（cosB ，cosA） ，=sin2C ，其中A、B、C 为ABC的内角 （）求角 C的大小； （）若 sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求 AB的长 26已知向量（xR）函数 f（x） = （）求 f（x）的最小正周期； （）若函数 y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到 函数 y=g（x）的图象，求 y=g（x）在 0， 上的最大值 27已知向量=（2sinx，cosx） ， =（sinx，2sinx） ，函数 f（x）= ? （）求 f（x）的单调递增区间； （II）在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C的对边，且 f（C）=1，c=1，ab=2， 且 ab，求 a，b 的值 28已知向量，函数 f（x）=， xR （1）求函数 f（x）的最大值； （2）若，且 f（x）=1，求的值 29已知向量，函数 （1）求函数 f（x）的最大值，并写出相应x 的取值集合； （2）若，且 （0， ） ，求 tan 的值 30已知， ，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2） （1）若| =2，且 ，求的坐标； （2）若| =，且 +2 与 垂直，求与 的夹角 必修 4 平面向量专项练习（解答题） 参考答案与试题解析 一解答题（共30小题） 1 （2017?南通模拟）在平面直角坐标系中， 设向量= （cosA ，sinA） ， = （cosB ， sinB） ，其中 A，B 为ABC的两个内角 （1）若，求证： C为直角； （2）若，求证： B为锐角 【考点】9R：平面向量数量积的运算； 9K：平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 58 ：解三角形； 5A ：平面向量及应用 【分析】 （1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合两角和的余弦公式和诱导 公式即可得证； （2）运用两向量共线的条件和两角和的正弦公式和诱导公式即可得证 【解答】 证明： （1）向量=（cosA，sinA） ， =（cosB ，sinB） ， 若，则=0， 即cosAcosB sinAsinB=0 ， 即有 cos（A+B）=0，即 cos（ C）=0， 则 cosC=0 ，即有 C为直角 （2）若 ，则 sinAcosB= 3cosAsinB ， 即 sinAcosB +cosAsinB= 2cosAsinB ， sin（A+B）=2cosAsinB ， 即 sinC= 2cosAsinB ， 由 sinB0，sinC0，则 cosA0， 由 sinA0，sinB0，则 cosB 0， 则有 B为锐角 【点评】本题考查向量的垂直和共线的条件，主要考查三角函数的化简和两角和 差公式的运用和诱导公式的运用，属于中档题和易错题 2 （2017?延边州模拟）在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 满足 sin=，?=6 （1）求 ABC的面积； （2）若 c+a=8，求 b 的值 【考点】 9R ：平面向量数量积的运算 【专题】 15 ：综合题； 38 ：对应思想； 49 ：综合法； 5A ：平面向量及应用 【分析】 （1）根据二倍角公式求出cosB ，再求出 sinB，根据向量的数量积和三角 形的面积公式即可求出答案； （2）根据余弦定理即可求出答案 【解答】 解； （1）sin=， cosB=1 2sin2=1=， sinB= ， ?=6， ?=| ?| ?cosB=6 ， | ?| =10， SABC=| ?| ?sinB=10×=4； （2）由（ 1）可知 ac=10， 又 c+a=8， 又余弦定理可得， b2=a 2+c22accosB= （a+c）22ac2ac× =64×10=32， b=4 【点评】本题考查了余弦定理三角形的面积公式和向量的数量积的运算，以及三 角函数的化简，属于中档题