实数、整式、分式及二次根式.pdf
专题一实数 一、考点扫描 1、实数的分类： 实数 0 正实数 有理数 或 无理数 负实数 2、实数和数轴上的点是一一对应的 3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数 若 a、b 互为相反数，则a+b=0， 1 a b （a、b 0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 )0( )0(0 )0( | aa a aa a 5、近似数和有效数字；6、科学记数法； 7、整指数幂的运算： mmmmn n mnmnm baabaaaaa,（a0） 负整指数幂的性质： p p p aa a 11 零整指数幂的性质：1 0 a（ a0） 8、实数的开方运算：aaaaa 22 ;0)(9、实数的混合运算顺序 *10、无理数的错误认识：无限小数就是无理数如1 · · ·(41 无限循环）； （2）带根号的数是无理数如4 ,9； （3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，如3+2 3-2，都是无理数，但它们的积却是有理数； （4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误， 每一个无理数在数轴上都有一 个唯一位置，如2，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此 *11、实数的大小比较： (1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较(4).倒数法 : 如6756与(5).平方法 二、考点训练 1、 （2005、杭州， 3 分）有下列说法：有理数和数轴上的点一对应；不带根号的数一定是有理数；负数 没有立方根；17 是 17 的平方根，其中正确的有（） A0 个B1 个C2 个D3 个 2、如果 2 (x-2) =2-x 那么 x 取值范围是（）A、x 2 B. x 2 C. x 2 D. x 2 3、 8 的立方根与16的平方根的和为（）A2 B0 C2 或一 4 D0 或 4 4、若 2m4 与 3m 1 是同一个数的平方根，则m 为（）A 3 B1 C 3 或 1 D 1 5、若实数 a 和 b 满足b=a+5 +-a-5 ,则 ab 的值等于 _ 6、在3 2 的相反数是 _，绝对值是 _. 7、81 的平方根是（）A9 B9 C± 9 D± 3 8、若实数满足|x|+x=0, 则 x 是（）A零或负数B非负数C非零实数D.负数 三、例题剖析 1、设 a= 3 2 ， b=23 ，c=5 1, 则 a、b、c 的大小关系是（） Aabc B、acb C cba Dbc a 2、若化简 |1x| 2 x-8x+162x-5的结果是，则 x 的取值范围是（） AX 为任意实数B1X4 Cx1 Dx4 3、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+ 2 1-2a+a 其中 a=9 时” ，得 出了不同的答案，小明的解答：原式= a+ 2 1-2a+a= a+(1a)=1 ， 小芳的解答：原式= a+(a1)=2a 1=2×91=17 _是错误的； 错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：_ 4、计算： 20012002 (2-3)(2+3)= 5、我国 1990 年的人口出生数为人。保留三个有效数字的近似值是人。 四、综合应用 1、 已知 ABC 的三边长分别为a、b、c, 且 a、b、c 满足 a 2 6a+9+4|5 |0bc，试判断 ABC 的形状 2、数轴上的点并不都表示有理数，如图l22 中数轴上的点P所表示的数是2 ” ，这种说明问题的方式体现 的数学思想方法叫做（） A代人法B换无法C数形结合D分类讨论 3、 （开放题）如图l 23 所示的网格纸，每个小格均为正方形，且小正方形的边长为1， 请在小网格纸上画出一个腰长为无理数的等腰三角形 4、如图 124 所示，在 ABC 中， B=90 ,点 P 从点 B 开始沿 BA 边向点 A 以 1 厘米秒的宽度移动； 同时，点 Q 也从点 B 开始沿BC 边向点 C 以 2 厘米 /秒的速度移动， 问几秒后，PBQ 的面积为 36 平方厘米？ 5、观察表一，寻找规律表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c 的值分别为 A20、29、30 B18、30、26 C18、20、26 D18、30、28 18 c 32 12 15 a 20 24 25 b 表二表三表四 黄冈教育 张家界教育中心内部使用 3 专题二整式 一、考点扫描 1、代数式的有关概念 (1) 代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子 (2) 求代数式的值的方法：化简求值，整体代人 2、整式的有关概念 (1) 单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式 (2) 多项式：几个单项式的和，叫做多项式 (3) 多项式的降幂排列与升幂排列 (4) 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷 3、整式的运算 (1) 整式的加减： 几个整式相加减， 通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接 整式加减的一般步骤是： (2) 如果遇到括号按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项 都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉括号里各项都改变符号 (3) 合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数字母和字母的指数不变 4、乘法公式 (1). 平方差公式 : 22 bababa (2).完全平方公式: ,2)( 222 bababa 5、因式分解 (1). 多项式的因式分解， 就是把一个多项式化为几个整式的积分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止 (2). 分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式法 二、考点训练 1、 a 2b3 12 的系数是，是次单项式； 2、多项式3x 216x54x3 是次项式，其中最高次项是，常数项是，三次项系数是，按 x 的降幂排列； 3、如果 3m 7xny+7 和-4m 2-4y n 2x 是同类项，则x= ,y= ；这两个单项式的积是。 4、下列运算结果正确的是（） 2x 3-x2=x x 3?(x5)2=x13 (-x) 6÷(-x)3=x3 (0.1) -2?10-1=10 （A）（B）（C）（D） 5、若 x 22（m3）x 16 是一个完全平方式，则 m 的值是（） 6、代数式a 2 1，0,1 3a ,x+ 1 y ， xy 2 4 ，m， x+y 2 , 2 3b 中单项式是，多项式是， 分式是。 三、例题剖析 1、设2，求 22 2 的值。 2、若qxxpxx38 22 的积中不含有 2 x和 3 x项，求 p、q 的植。 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 3、从边长为a的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形（如图1） ，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2） ， 上述操作所能验证的等式是（） A a 2-b2=（ a+b） （a-b） B.（ a-b） 2=a2-2ab+b2 C.（a+b） 2=a2+2ab+b2 Da 2+ab=a（a+b） 四、综合应用 1、将连续的自然数1 至 36 按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9 个数， 设圈出 的 9 个数的中心的数为a，用含有a 的代数式表示这9?个数的和为 _ 2、用火柴棒按下图中的方式搭图形 （1）按图示规律填空： 第 n 个图形1 2 3 火柴棒根 数 （2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 _根火柴棒 3、右边是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n?为正整数） ，表示数表中第n 行第n 列的数： _ 黄冈教育 张家界教育中心内部使用 5 专题三分式 一、考点扫描 1分式：整式A 除以整式B，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称 A B 为分式 注： （1）若 B0，则 A B 有意义；（2）若 B=0，则 A B 无意义；（2）若 A=0 且 B0，则 A B =0 2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 3约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分 4通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 5分式的加减法法则： （1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加 （2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算 6分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分 式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后 再与被除式相乘 7通分注意事项： （1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积； （2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 8分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 9对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值 二、考点训练 1、已知分式 2 5 , 45 x xx 当 x_时，分式有意义；当x=_时，分式的值为0 2、若将分式 a+b ab (a、b 均为正数）中的字母a、b 的值分别扩大为原来的2 倍，则分式的值为（） A扩大为原来的2 倍B缩小为原来的 1 2 C不变D缩小为原来的 1 4 3、分式 -3 x-2 ，当 x 时分式值为正；当整数x= 时分式值为整数。 4、计算 11 () x x xx 所得正确结果为（） 11 1 1 11 ABCD xx 5、若043 22 yxyx，则 yx yx 2 2 = 。6、若 11232 3, 2 xxyy xyxxyy 则分式=_ 三、例题剖析 1、求值： 2 22 214 ()aa +2a-1=0 2442 aaa aaaaa ，其中 满足 2、（2005、 河南，8 分） 有一道题“先化简，再求值： 22 241 244 xx xxx （） ， 其中3x。 ” 小玲做题时把 “3x” 错抄成了“ 3x” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 3、已知： P= 22 xy xyxy ，Q=(x+y) 2 2y(x-y) ，小敏、小聪每人在x2， y2 的条件下分别计算了P 和 Q 的 值，小敏说P 的值比 Q 大，小聪说C 的值比 P 大请你判断谁的结论正确，并说明理由 3、已知： 2 2 42 610, 1 x xx xx 求的值。 4、若无论 x 为何实数，分式 mxx2 1 2 总有意义，则m 的取值范围是。 四、综合应用 1、已知 ABC 的三边为a，b，c， 222 abc=abbcac，试判定三角形的形状 2、(阅读理解题）阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知 xyz abbcca ()abc、 、 互相不相等，求 x+y+z+ 的值 解：设 xyz abbcca =k, ()xk ab则，(),()x+y+z=yk bczk ca 于是， ()00k abbccak， 仿照上述方法解答下列问题： 已知：(0), yzzxxy xyz xyz xyz xyz 求的值。 黄冈教育 张家界教育中心内部使用 7 专题四二次根式 一、考点扫描 1二次根式的有关概念： (1) 二次根式： )0(aa 叫做二次根式注意被开方数只能是正数或O (2) 最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式 (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 2二次根式的性质 );0()( 2 aaa );0( ),0( | 2 aa aa aa )0; 0(babaab )0;0(ba b a b a 3二次根式的运算 (1) 二次根式的加减 先把各个二次根式化成最简二次根式；再把同类三次根式分别合并 (2) 三次根式的乘法 (3) 二次根式的除法 二、考点训练 1、 （2006 年南通市）式子 x x 2 有意义的 x 取值范围是 _ 2、 （2006 年海淀区）下列根式中能与3合并的二次根式为（） A、12B、 2 3 C、18D、24 3、 （06 烟台市）若 5 1 x x ，则 x x 1 =_ 4、 （2005 年福州市）下列各式中属于最简二次根式的是（） A、 53 xxB、1 2 xC、12D、5. 0 5、 （2006 年连云港市）能使等式 22x x x x 成立的 x 的取值范围是（） Ax2 Bx0 Cx2 Dx2 6、 （2005 年长沙市）小明的作业本上有以下四题： 4 16a=4a；5105 2aaa； a 211 aa aa ；32aaa （a0） ，做错的 题是（ ） A B C D 7、对于实数a、b，若 2 ba=b-a，则（）A ab Ba0，b0）分别作如下的变形： 甲 ab ab = ()() ()() abab ab abab ; 乙： ab ab = ()()abab ab ab . 这两种变形过程的下列说法中，正确的是（） A甲、乙都正确B甲、乙都不正确C只有甲正确D只有乙正确 四、综合应用 1、 （2006 年内江市）对于题目“化简求值：2 11 2 2 a aa ，其中 a= 5 1 ”甲、 ?乙两人的解答不同 甲的解答是： 2 112 2 a aa = 2 11 a aa = 5 49211 a a a aa 乙的解答是： 2 11 2 2 a aa = 2 11 a aa = 5 111 a a a a ， 谁的解答是错误的是，为什么？ 2、 （2006 年桂林市）观察下列分母有理化的计算: 11 21,32, 2132 11 43,54 4354 从计算结果中找出规律利用规律计算: )12007)( 20062007 1 34 1 23 1 12 1 ( 3、如果 1 1 4 2 2 1 4，那么 2 3的值
