中考挑战压轴题：第4部分图形的平移、翻折与旋转.pdf

第 1 页 共 19 页 第四部分图形的平移、翻折与旋转 §4.1 图形的平移 例 1 如图 1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点 B 的坐标为（ 2, 0） ，点 A 在第一 象限内，将 OAB 沿直线 OA 的方向平移至OBA 的位置，此时点A 的横坐标为3，则点 B的坐标为（） A （4，2 3）B （3，3 3）C （4，3 3）D （3，2 3） 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 泰安 15” ，拖动点A'运动的过程中，可以体验到，A OC 保持等边三角形的形状 答案 A思路如下： 如图 2，当 点 B的坐标为（ 2, 0） ，点 A 的横坐标为1 当点 A'的横坐标为3 时， 等边三角形A OC 的边长为6 在 RtBCD 中， BC4，所以 DC2，BD2 3此时 B (4,23) 图 2 第 2 页 共 19 页 例 2 如图 1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 (0, 6)，将 OAB 沿 x 轴向左平移得到 O AB，点 A 的对应点A落在直线 3 4 yx上，则点 B 与其对应点B 间的距离为 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 咸宁 14” ，拖动点A左右运动，可以体验到，AA与 BB保 持平行且相等的关系 答案8思路如下： 当 y6 时，解方程 3 6 4 x，得 x 8.所以 AA 8. 图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，所以BBAA8. 图 2 例 3 已知直线y2x(3a)与 x 轴的交点在A(2, 0)，B(3, 0)之间（包 括 A、 B 两点）则 a 的取值范围是_ 动感体验 请打开几何画板文件名“15 株洲 14” ，拖动点 D 在 A、B 之间运动，可以体验到，直线 与 y 轴的交点 C 在 (0,4)和(0,6)两点之间运动（如图1，图 2） 答案 7 a9思路如下： 如图 1，将点 A(2, 0)代入 y2x(3a)，得 4(3 a)0解得 a7 第 3 页 共 19 页 如图 2，将点 B(3, 0)代入 y2x(3a)，得 6(3 a)0解得 a9 图 1 图 2 第 4 页 共 19 页 例 4 如图 1，已知 ABC 中， AB AC5，BC6，将 ABC 沿射线 BC 方向平移m 个单位 得到 DEF，顶点 A、 B、C 分别与 D、E、F 对应，若以点A、D、E 为顶点的三角形是等 腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 虹口 18” ，拖动点E 在射线 BC 上运动，可以体验到，以 AE 为腰的等腰三角形ADE 有两个 答案6 或 25 6 思路如下： 如图 2，四边形ABED 保持平行四边形，AMEN4，BMDN3，ADBE m 如图 3，当 EAED 时，点 E 在 AD 的垂直平分线上，此时AD2ND 6 如图 4，当 AEAD 时，根据 AE 2 AD2，得 m2 42 (m3)2解得25 6 m 图 2 图 3 图 4 第 5 页 共 19 页 §4.2 图形的翻折 例 5 如图 1，在 ABC 中， B45°， C30°， AC2，点 D 在 BC 上，将 ACD 沿 直线 AD 翻折后，点C 落在点 E 处，边 AE 交边 BC 于点 F， 如果 DE/AB， 那么 CF BF 的值是 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 奉贤 18” ，拖动点 D 在 BC 上运动， 可以体验到， 当 DE/AB 时， ACF 是顶角为 30°的等腰三角形 答案31思路如下： 如图 2，作 AHBC 于 H 在 RtACH 中， C30°， AC2，所以 AH1，CH3 在 RtABH 中， B45°，所以BHAH1所以 BC31 如图 3，当 DE/AB 时， BAE AED C30° 此时 AFC B BAE75° 在 ACF 中， C30°， AFC 75°，所以 FAC75°所以CFCA2 所以 BFBCCF 31231 所以 2 31 31 CF BF 另解：也可以根据BAF BCA 先求得 BF 的长 由 BA2BF· BA，得 2 ( 2)( 31)BF所以31BF 第 6 页 共 19 页 图 2 图 3 第 7 页 共 19 页 例 6 18题 如图 1，在 ABC 中， ABAC4，cosC 1 4 ， BD 是中线，将 CBD 沿直线 BD 翻折，点 C 落在点 E，那么 AE 的长为 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 静安青浦18” ，可以体验到，四边形BCDE 是菱形，四边 形 AEBD 是平行四边形，AE BD 答案6思路如下： 如图 2，作 AM 作 BC 于 M，DNBC 于 N 在 RtACM 中， AC4， cosC 1 4 ，所以 CM1所以 BC2CM2 已知 D 是 AC 的中点，所以BCDC2 如图 3，由 BEBC， BCDC，DC DA，得 BEDA 由 1 2， 1 3，得 2 3所以 EB/AC 所以四边形AEBD 是平行四边形所以AEBD 如图 2，在 RtDCN 中， DC2，CN 1 2 ，所以 DN 15 2 在 RtDBN 中， BN 3 2 ，所以 BD6所以 AE6 图 2 图 3 第 8 页 共 19 页 例 7 如图 1，已知在 ABC 中，AB AC，tan B 1 3 ，将 ABC 翻折， 使点 C 与点 A 重合， 折痕 DE 交边 BC 于点 D，交边 AC 于点 E，那么 BD DC 的值为 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 闵行 18” ，拖动点 C 绕着对称轴DE 旋转到点A，可以体验 到， DE 垂直平分AC，DCDA 答案 13 5 思路如下： 如图 2，作 AHBC 于 H，那么 BHCH 已知 tanB AH BH 1 3 ，设 AH 1，BH3 设 DCDAm在 RtADH 中，由勾股定理，得m212(3m)2 解得 5 3 m所以 BDBCDC 5 6 3 13 3 所以 13 5 BD DC 图 2 第 9 页 共 19 页 例 8 题 RtABC 中，ACB90°，BC15，AC20，点 D 在边 AC 上， DEAB，垂足为 E， 将 ADE 沿直线 DE 翻折，翻折后点A 的对应点为点P，当 CPD 为直角时， AD 的长是 _ 动感体验 请打开几何画板文件名“16 浦东 18” ，拖动点 D 在 AC 上运动，可以体验到，当 CPD 为直角时， CHP PED AED ，这三个直角三角形的三边比都是345 答案 35 8 思路如下：如图1，作 CHAB 于 H 在 RtABC 中， BC 15，AC 20，所以 AB25，cosB 3 5 ，cosA 4 5 在 RtBCH 中， BHBC· cosB 3 15 5 9 当 CPD90°时， CPH 与 DPE 互余 又因为 B 与 A 互余， DPE A，所以 CPH B 于是可得 PHBH9所以 AP25187 所以 AE 7 2 所以 AD 5 4 AE 35 8 图 1 第 10 页 共 19 页 例 9 如图 1，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边 AD 上，这时折痕与边AD 和边 BC 分别交于点E、F然后再展开铺平，以 B、E、F 为顶点的 BEF 称为矩形ABCD 的“折 痕三角形”如图 2，在矩形ABCD 中， AB2，BC4，当“折痕BEF”的面积最大时， 点 E 的坐标是 _ 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“16 普陀 18” ，拖动点G 在 AD 上运动，可以体验到，BEF 的高 AB 保持不变，当点G 与点 D 重合时， BF 最大， BEF 的面积也最大（如图3，图 4 所示） 答案 3 (,2) 2 思路如下： 设菱形 BFGE 的边长为 m 如图 4，当 G、D 重合时，在RtABE 中， AB2， BEm，AE4m 由勾股定理，得m222(4m)2解得 m 5 2 此时 AE4m 3 2 ，点 E 的坐标为 3 (,2) 2 图 3 图 4 第 11 页 共 19 页 例 10 2016年张家界市中考第14 题 如图 1，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点C 落在 Q 处，点 D 落在 AB 边上的点E 处， EQ 与 BC 相交于 F，若 AD8cm，AB6cm，AE4cm则 EBF 的周长是cm 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 张家界 14” ，拖动点E 绕 GH 翻折，可以体验到，当点E 落在 AB 边上时， HEHD ， AHE BEF 答案 8思路如下： 设 HEHD m，那么 AH8m 在 RtAHE 中，由 HE 2 AE2AH2，得 m242(8 m)2解得 m5 所以 AHE 的周长为 345 12 因为 AHE BEF，AH BE32，根据相似三角形的周长比等于对应边的比，可 得 BEF 的周长为8 图 2 第 12 页 共 19 页 例 11 2016年常德市中考第 15 题 如图 1，把平行四边形ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合， 这时点 D 落在 D1，折痕为 EF， 若 BAE55°，则 D1AD_ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 常德 15” ，拖动点A 改变平行四边形ABCD 的形状，可以 体验到，四边形AECF 保持菱形的形状，四边形ACDD 1保持等腰梯形的形状， D1AD 与 DCA 、 BAE 保持相等 答案55°思路如下： 如图 2，连结 FC、DD1 因为四边形AECF 是菱形，根据中心对称性，DCA BAE 如图 3，因为 A 与 C、D 与 D1关于直线EF 对称，所以四边形ACDD1是等腰梯形，所 以对角线 AD 与 CD1交于对称轴上的点F，根据对称性，D1AD DCA 图 2 图 3 第 13 页 共 19 页 例 12 2016年淮安市中考第 18 题 如图 1，在 Rt ABC 中， C90°， AC6，BC 8，点 F 在边 AC 上，并且 CF 3， 点 E 为边 BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 折叠，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 的距 离的最小值是 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 淮安 18” ，拖动点 E 在 BC 上运动，可以体验到，点 P 的轨 迹是以 F 为圆心，以FC 为半径的圆（如图2） 当点 F、P、G 三点共线时， PG 最小（如 图 3） 答案 6 5 思路如下： 如图 2，作 PGAB 于 G，作 FHAB 于 H 在 RtAFH 中， FH AF· sinA 4 4 5 16 5 在 PFG 中， PF2 为定值， PFPGFG 而 FG 的最小值是FH，所以 PG 的最小值是FH PF 16 2 5 6 5 （如图 3） 第 14 页 共 19 页 §4.3 图形的旋转 例 15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18 题 如图 1，已知 AD 是等腰三角形ABC 底边 BC 上的高， ADDC13，将 ADC 绕着 点 D 旋转，得 DEF ，点 A、C 分别与点E、F 对应，且EF 与直线 AB 重合，设AC 与 DF 相交于点 O，那么 SAOF SDOC _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 昂立 18” ，拖动点F 绕点 D 旋转，可以体验到，当点F 落 在射线 BA 上时， AOF DOC 答案 3245思路如下： 如图 2，设 ADm，DBDC3m，那么 ACEF10m，cosBAD 10 10 作 DH AB 于 H，那么 AHAD· cosBAD 10 10 m所以 AE 10 5 m 于是 AFEFAE 4 10 5 m 由 AOF DOC，得 SAOFSDOCAF 2DC2 224 10 ()(3) 5 mm3245 图 2 第 15 页 共 19 页 例 16 如图 1， 在 RtABC 中， ABC90°，ABBC2， 将 ABC 绕点 C 逆时针旋转60°， 得到 MNC，联结 BM，那么 BM 的长是 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 崇明 18” ，拖动点M 绕点 C 逆时针旋转，可以体验到，当 旋转 60°时， AC 就是等腰直角三角形ABC 和等边三角形ACM 的公共边， BM 是两个三角 形 AC 边上的高的和 答案26思路如下： 如图 2，在等腰RtABC 中， ABBC2，高 BH2 在等边三角形AMC 中， AC22，高 MH6 图 2 第 16 页 共 19 页 例 17 如图 1，在 RtABC 中， BAC90°，将 ABC 绕点 C 逆时针旋转，旋转后的图形 是 A BC，点 A 的对应点A落在中线AD 上，且点 A是 ABC 的重心， A B与 BC 相交于点 E，那么 BECE_ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 黄浦 18” ，拖动点A 可以改变直角三角形ABC 的形状，可 以体验到，当点A 落在 ABC 的重心时， AD/BC 答案4 3思路如下： 根据旋转前后的对应边相等，对应角相等，可知ACB ACB ，CACA 所以 CAA CA A 又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以DADC 所以 CAA ACB 所以 ACB CA A所以 AD/ B C 根据重心的性质，可得 1 ' 3 DADA又因为 1 2 DACB，所以 1 ' 6 DACB 所以 '1 '6 DEDA CECB 所以 7184 7163 BE CE 图 2 第 17 页 共 19 页 例 18 如图 1，点 D 在边长为6 的等边三角形ABC 的边 AC 上，且 AD 2，将 ABC 绕点 C 顺时针方向旋转60°，若此时点A 和点 D 的对应点分别记为点E 和点 F，联结 BF 交边 AC 于点 G，那么 tanAEG_ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 嘉定宝山18” ，拖动点E 绕点 C 顺时针旋转60°，可以体 验到，四边形ABCE 是菱形， MEBC1 2，从而得到AGCG 32这样在 AEG 中，就已知了A 及夹 A 的两边，构造AE 边上的高就可以解AEG 了 答案 3 3 7 思路如下： 如图 2，将 ABC 绕点 C 顺时针方向旋转60°，得到菱形ABCE延长 AE 交 BF 的延 长线于 M 因为 1 2 MEEF BCCF ，所以 3 2 AGMA CGBC 设菱形的边长为10m，那么 AG6m 如图 3，作 GHAE 于 H 在 RtAGH 中， GAH60°，所以AH 1 2 AG3m，GH3 3m 在 RtEGH 中， EHAEAH7m，所以 tanAEG 3 33 3 77 GHm EHm 图 2 图 3 第 18 页 共 19 页 例 19 如图 1， 底角为 的等腰三角形ABC 绕着点 B 顺时针旋转， 使得点 A 与 BC 边上的点D 重合，点 C 与点 E 重合，联结AD、CE，已知 tan 3 4 ，AB5，则 CE _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 闸北 18” ，拖动点E 绕点 B 旋转，可以体验到，当点D 落 在 BC 上时， BAD BCE 答案 8 10 5 思路如下： 如图 2，作 AHBC 于 H，那么 BHCH 在 RtABH 中， tanB 3 4 ，AB5，由此可得AH3，BH4所以 BC8 在 RtADH 中， DH BDBH541，所以 AD 22 3110 如图 3，由 BAD BCE，得 ADBA CEBC ，即 105 8CE 所以 8 10 5 CE 图 2 图 3 第 19 页 共 19 页 例 20 2016年邵阳市中考第 13 题 如图 1，将等边三角形CBA 绕点 C 顺时针旋转得到三角形CB A ，使得 B、C、A 三点在同一条直线上，则的大小是 _ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 邵阳 13” ，拖动点A绕着点 C 顺时针旋转，可以体验到， ACA就是旋转角 当 B、C、 A 三点在同一条直线上， 120°（如图2） 答案 120°思路如下： 图 2