北京中考第二轮复习讲解(一)二次函数与一元二次方程的综合.pdf
课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 1 第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 内容要求 中考 分值 考察类型 二次函数与一 元二次方程综 合题 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定 图象的顶点、 开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似解 7 二次函数与 一元二次方 程 1.熟练掌握二次函数的有关知识点 2.掌握二次函数与一元二次方程的联系。 【例 1】 （2015 怀柔 127）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（ a-1）x 2+2x+1 与 x 轴有交点， a 为正整 数. （1）求 a 的值 . （2）将二次函数y=（a-1 ）x 2+2x+1 的图象向右平移 m个单位， 向下平移m 2+1 个单位，当 -2 x1 时，二次函数有最小值 -3 ， 求实数 m的值 . 27. 解： （1）二次函数y=（a-1 ）x 2+2x+1 与 x 轴有交点， 令 y=0，则（ a-1 ）x 2+2x+1=0， =4-4(a-1)0，解得 a2.,1 分. a 为正整数 .a=1、2 又 y=（a-1 ）x 2+2x+1 是二次函数， a-1 0， a 1， a 的值为 2.,2 分 （2） a=2，二次函数表达式为y=x 2+2x+1， 将二次函数y=x 2+2x+1 化成顶点式 y=（x+1） 2 二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m 2+1 个单位 后的表达式为y=（x+1-m） 2- （m2+1）. 此时函数的顶点坐标为（m-1, -m 2-1 ）. , 4 分 当 m-1-2，即 m -1 时，x=-2 时，二次函数有最小值-3， -3=（ -1-m ） 2- （m2+1） ，解得3 2 m且符合题目要求.,5 分 当 -2 m-1 1, 即-1m 2, 时，当x= m-1 时，二次函数有最小值-m 2-1=-3 ， 解得2m. - 2m不符合 -1 m 2 的条件，舍去. 2m. ,6 分 当 m-11，即 m 2 时，当x=1 时，二次函数有最小值-3， -3=（ 2-m） 2-（m2+1） ，解得3 2 m , 不符合 m 2 的条件舍去 . 例题精讲 方法策略 考试要求 中考第二轮复习代数综合题 y x 1 1 O 27题 图 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 2 O y x 综上所述， m 的值为 3 2 或2,7 分 【例 2】 （ 2015 昌平 123） 已知二次函数 22 (1)(31)2ykxkx （1）二次函数的顶点在 x轴上，求 k的值； （2）若二次函数与x轴的两个交点A、B 均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B 两点的坐 标. 23.解： （1）方法一二次函数顶点在 x轴上， 2 -4=0bac，且0a,1 分 即 2 2 314210ak，且 2-1 0k =3k,3 分 （2）二次函数与x轴有两个交点， 2 -40bac，且0a,分 即 2 -30k（） ，且±k 1 当3k且1k时，即可行 A、B两点均为整数点，且k为整数 1222 -1 +-3-1+ -3-42 = -1-1-1+1 kkkkk x kkkk （3）（） 34 2（）2（） 2（） 2222 -1 -3-1- +3+21 = -1-1-1-1 kkkkk x kkkk （3）（） 32 2（）2（） 2（） ,5 分 当=0k时，可使 1 x， 2 x均为整数， 当=0k时，A、B两点坐标为(-1 0)，和(2 0)，,6 分 【例 3】 （ 2015 门头沟 1 27）已知：关于x 的一元二次方程x2+(m+1)x+(m+2)=0（m0） （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y=x 2 +(m+1)x+(m+2)经过点（ 3，0） ，求该抛物线的表达式； （3）在（ 2）的条件下，记抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象 G，如果直线 y=k(x+1)+4 与图象 G 有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4 与 y 轴交点的纵坐标t 的取 值范围 （1）证明：= (m+1)24×(1)×(m+2) = ( m + 3 ) 2 .,1分 m0， (m+3)20， 即 0， 原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 .,2分 （2）解：抛物线抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)经过点（ 3，0） ， 3 2 + 3 ( m + 1 ) + ( m + 2 ) = 0 ， ,3分 m=1. y = x 2 + 2 x + 3 .,4分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 3 （3）解：y=x2+2x+3=(x1)2+4， 该抛物线的顶点为（1， 4）. 当直线 y=k(x+1)+4 经过顶点（ 1，4）时， 4=k(1+1)+4， k=0， y=4. 此 时 直 线y = k ( x + 1 ) + 4与y轴 交 点 的 纵 坐 标 为4.,5分 y=x 2+2x+3， 当 x=0 时， y=3， 该抛物线与y 轴的交点为（ 0，3）. 此 时 直 线y = k ( x + 1 ) + 4与y轴 交 点 的 纵 坐 标 为3.,6分 3 t 4 .,7分 【例 4】 （2014 门头沟 123）已知关于x 的一元二次方程 04)15( 22 mmxmx . （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求 m 的取值范围； （3）抛物线 mmxmxy 22 4) 15( 与 x 轴交于点A、B（点 A 在点 B的左侧），现坐标系内有一矩形 OCDE ，如图 11，点 C （0，-5)， D（6，-5) ，E（6，0),当 m 取第（ 2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物 线上下平移h个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点， 请结合图形写出h 的取值或取值范围 （直 接写出答案即可） .解： (1)证明：= )4(14)15( 22 mmm,1 分 =169 2 mm = 2 ) 13( m 2 )13( m0，,2 分 无论 m 取何实数时，原方程总有两个实数根. （ 2） 解关于 x 的一元二次方程04)15( 22 mmxmx， 得14, 21 mxmx. ,3 分 由题意得 314 8 814 3 m m m m 或,4 分 解得8 2 1 m. ,5 分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 4 （3）5h或94h. ,7 分 逆袭训练 1. （2015 通州 227）已知关于x 的方程 mx 2(3m1)x+2m2=0 （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 （2）若关于x 的二次函数y= mx2(3m1)x+2m2 的图象与x 轴两交点间的距离为2 时，求二次函数的 表达式 .解：(1)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1， =（m+1）2； =（m+1） 20 ， .(1分) 无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根； (2)设 x1，x2为抛物线 y=mx2-（3m-1）x+2m-2 与 x轴交点的横坐标 令 y=0，则 mx2-（3m-1）x+2m-2=0 由求根公式得， x1=2， ，.(2分) 抛物线 y=mx2- （3m-1）x+2m-2 不论 m 为任何不为 0 的实数时恒过定点 （2，0） x2=0 或 x2=4，m=1 或) 当 m=1 时，y=x2-2x， ，抛物线解析式为y=x2-2x 当时, 3 8 2 3 1 2 xxy 答：抛物线解析式为y=x2-2x；或 3 8 2 3 1 2 xxy .(3分) 2. （2015 朝阳 227）已知：关于x 的一元二次方程 2 2(1)20(0)axaxaa （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 1x ，2x （其中1x 2x ） 若y是关于 a的函数，且21yaxx ，求这个函数 的表达式； （3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：若使 2 31ya，则自变量a的取值范围为 （1）证明： 2 2(1)20(0)axaxaa是关于 x 的一元二次方程， 2 2(1)4 (2)aa a· · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 =4 即0 方程有两个不相等的实数根· · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 （2） 解：由求根公式，得 2(1)2 2 a x a 1x或 2 1x a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 5 0a， 1 x 2 x ， 11x， 2 2 1x a ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 21 1yaxxa 即1(0)yaa为所求 5分 （3）0 a 2 3 7分 3. （ 2015 石景山 2 27）已知关于 x的方程 2 31220mxmxm （ 1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （ 2）若关于x的二次函数 2 3122ymxmxm的图象经过坐标原点，得到抛物线 1 C将抛物线 1 C向下平移后经过点0, 2A进而得到新的抛物线 2 C,直线l经过点A和点2,0B，求直线l和抛物线 2 C的解析式； （ 3）在直线l下方的抛物线 2 C上有一点C，求点C到直线l的距离的最 大值 解： （ 1）当0m时，2x 当0m时， 2 31422mmm 22 961 88mmmm 2 2 21 1 mm m 2 10m ，0 综上所述：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；3 分 （2）二次函数 2 (31)22ymxmxm的图象经过坐标原点 220m 1m4 分 抛物线 1 C的解析式为： 2 2yxx 抛物线 2 C的解析式为： 2 22yxx 设直线l所在函数解析式为：ykxb 将A和点2,0B代入ykxb 直线l所在函数解析式为：2yx 5 分 （3）据题意：过点C作CEx轴交AB于E， 可证45DECOAB,则 2 2 EC CD 设 2 ,22C t tt ，,2E t t，03t EC ECyy 2 3tt 2 39 24 t6 分 3 03 2 当 3 2 t时， max 9 4 EC CD随EC增大而增大， x y O B y x E D C B A O 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 6 max 9 2 8 CD为所求 .7 分 4. （2015 顺义 227）已知关于x 的方程 2 230xmxm （1）求证：方程 2 230xmxm总有两个实数根； （2）求证：抛物线 2 23yxmxm总过 x 轴上的一个定点； （3）在平面直角坐标系xOy 中，若（ 2）中的“定点”记作A，抛物线 2 23yxmxm与 x 轴的另 一个交点为B，与 y 轴交于点C，且 OBC的面积小于或等于8，求 m 的取值范围 解：（ 1） 2 4bac= 2 243mm1 分 = 2 44412mmm = 2 816mm = 2 4m 2 40m， 方程 2 230xmxm总有两个实数根2 分 （2 ） 2 1,2 24 2 mm x= 24 2 mm .3 分 1 1x， 2 3xm， 抛物线 2 23yxmxm总过 x 轴上的一个定点（-1,0） 4 分 （3） 抛物线 2 23yxmxm与 x 轴的另一个交点为B，与 y轴交于点C， B（3-m,0） ，C（0, m-3） ，.5分 OBC为等腰直角三角形， OBC的面积小于或等于8， OB，OC小于或等于4， 3-m4 或 m-3 4， .6分 m-1 或 m7 -1m7 且3m7分 5.（2014 朝阳 123）已知关于x 的一元二次方程 2 3(1)230mxmxm. （1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； x y O 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 7 （2） 在 （1） 的条件下， 当关于 x 的抛物线 2 3(1)23ymxmxm与 x 轴交点的横坐标都是整数，且4x 时，求 m 的整数值 解： （ 1）由题意m0，,1 分 方程有两个不相等的实数根， 0 ,2 分 即 22 3(1)4(23)(3)0mmmm 得 m 3,3 分 m 的取值范围为m0 和 m 3； （2）设 y=0，则 2 3(1)230mxmxm 2 (3)m， 33(3) 2 mm x m 1 23m x m ， 2 1x ,5 分 当 1 23m x m 是整数时， 可得 m=1 或 m=-1 或 m=3,6 分 4x， m 的值为 1 或 3 ,7 分 6.（2014 东城 223）已知：关于 x的一元二次方程 2 (3) -30mxmx （1）求证：无论 m取何值，此方程总有两个实数根； （2）设抛物线 2 (3) -3ymxmx，证明：此函数图像一定过x轴，y轴上的两个定点（设x轴上的定点 为点 A，y轴上的定点为点C） ； （3）设此函数的图像与 x轴的另一交点为 B，当 ABC为锐角三角形时，求 m的取值范围 解： （ 1） 22 (3)12(3)mmm 2 (3)0m 无论 m 取何值，此方程总有两个实数根. ,2 分 （2）由公式法： 2 1,2 3(3)123(3) 22 mmmmm x mm x1= 1,x2= m 3 . ,4 分 此函数图像一定过x轴，y轴上的两个定点，分别为A （ 1，0）,C（0， 3） ,4 分 （3）由（ 2）可知抛物线开口向上，且过点A（ 1，0）,C（0， 3）和 B （ m 3 ，0）. 观察图象，当m0 时， ABC为钝角三角形，不符合题意 . 当 m0 时，可知若ACB =90°时， -3 C B A 3 x y 6 3 -1 0 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 8 可证 AOC COB . BO CO CO AO . OBOAOC 2 . 3 2=1× OB. OB=9.即 B(9,0) . 当9 3 0 m 时， ABC为锐角三角形 . 即当 m 3 1 时， ABC为锐角三角形. ,7 分 7.（2012 东城 123）已知关于x 的一元二次方程 22 (41)30xmxmm. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于 7，求 m 的取值范围； （3）抛物线 22 (41)3yxmxmm与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点C，当 m 取（ 2）中符合题意 的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在ABC的内部（不包括AB C的边界），求 n 的取值范围（直接写出答案即可） 解： (1) 证明：= 2 2 (41)4(3)mmm = 2 441mm = 2 (21)m 2 (21)m0， 无论 m 取何实数时，原方程总有两个实数根. ,2 分 （ 2） 解关于 x的一元二次方程 22 (41)30xmxmm， 得 12 31,= xmxm. ,3 分 由题意得 312,317, 7.2. mm mm 或,4 分 解得 1 7 3 m. ,5 分 （3）符合题意的n 的取值范围是 915 44 n. ,7 分 8.（2014 海淀 223）已知关于x的方程： 2 (1)0xmxm和 2 (9)2(1)3xm xm，其中 0m. 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 9 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）设二次函数 2 1 (1)yxmxm的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），将A、B两 点按照相同的方式平移后，点A落在点'(1,3)A处，点B落在点'B处，若点'B的横坐标恰好是方程 的一个根，求m的值； （3）设二次函数 2 2 (9)2(1)yxm xm，在（ 2）的条件下，函数 1 y， 2 y的图象位于直线3x左 侧的部分与直线ykx（0k）交于两点，当向上平移直线ykx时，交点位置随之变化，若交 点间的距离始终不变，则k的值是 _. 解： （ 1） 222 (1)421(1)mmmmm，1 分 由0m知必有10m，故0. 方程总有两个不相等的实数根.2 分 （2）令 1 0y，依题意可解得( 1,0)A，(,0)B m. 平移后，点A落在点'(1,3)A处， 平移方式是将点A向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位得到 . 点(,0)B m按相同的方式平移后，点'B为(2,3)m. 3 分 则依题意有 2 (2)(9)(2)2(1)3mm mm. 4 分 解得 1 3m， 2 5 2 m （舍负） . m的值为 3. 5分 （3） 3 2 k. 7 分 1.（ 2013 东城 123）已知关于x 的一元二次方程x 2( m3) x m 10 （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当 m 为何整数时，原方程的根也是整数 解： (1) 证明：= 2 3)4(1)mm（ = 2 6944mmm = 2 25mm 课后练习 1 2345 - 1 -2 - 3 -4 - 5 - 5- 4- 3- 2 - 1 5 4 3 2 1 y x O 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 10 = 2 (1)4m 2 (1)m0， 2 (1)4m0 无论 m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. ,2 分 （ 2） 解关于 x的一元二次方程x2(m3) xm10， 得 2 3(1)4 2 mm x. ,3 分 要使原方程的根是整数，必须使得 2 (1)4m是完全平方数. 设 22 (1)4ma， 则(1)(1)4amam. a+ 1m和1am的奇偶性相同， 可得 12, 12. am am 或 12, 12. am am 解得 2, 1. a m 或 2, 1. a m . ,5 分 将 m=-1 代入 2 3(1)4 2 mm x，得 12 2,0xx符合题意 . ,6 分 当 m=-1 时 ，原方程的根是整数. ,7 分 2 （2013 顺义 123）已知关于 x的方程 2 (32)220mxmxm （1）求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根 . （2） 若关于x的二次函数 2 (32)22ymxmxm的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为 整数，求抛物线的解析式. （1）证明：当0m时，方程为220x，所以1x，方程有实数根.,1 分 当0m时, 2 (32)4(22)mmm = 22 912488mmmm = 2 44mm = 2 (2)0m,2 分 所以 ,方程有实数根 综所述，无论 m取任何实数时，方程恒 有实数根,3 分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 11 （2）令0y，则 2 (32)220mxmxm 解关于x的一元二次方程，得 1 1x， 2 2 2x m ,5 分 二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数， 所以m只能取 1，2 所以抛物线的解析式为 2 54yxx或 2 286yxx,7 分 3. （2014 东城 123）已知：关于x 的一元二次方程mx2（ 4m+1）x+3m+3=0 （m1） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中 x1x2） ，若 y 是关于 m 的函数，且y=x13x2，求这个函数的 解析式； （3）将（ 2）中所得的函数的图象在直线m=2 的左侧部分沿直线m=2 翻折，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象 请你结合这个新的图象回答：当关于 m 的函数 y=2m+b 的图象与此图象有两个公共点时， b 的取值范围 解： （ 1）证明： 所以方程有两个不等实根.,2 分 2 1212 41214121 2. 22 1 3,1+. 11 1,01,12. 1 ,3,1. 13 3 3 1. mmmm x mm m m mm xxxx m y mm 两根分别为 ,5 分 （3）作出函数 3 (1)m m y=-的图象，并将图象在直线2m左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示. 易知点,A B的坐标分别为 3 (3, 3),(2,). 2 AB 当直线过点A 时，可求得 2 1,= 210.mm 22 = 41433 = 21,mmmm 2ymb9,b 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 12 过点 B时，可求得 因此， ,7 分 4. （2014 石景山 123） 已知关于 x的方程 01) 1(2 2 mxmmx有两个实数根，且m为非负整数 . （ 1）求m的值； （ 2） 将抛物线 1 C：1) 1(2 2 mxmmxy向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到抛物线 2 C， 若抛物线 2 C过点），（bA2和点），（124bB，求抛物线 2 C的表达式； （ 3）将抛物线 2 C绕点 (nn, 1) 旋转180得到抛物线 3 C，若抛物线 3 C与直线1 2 1 xy有两个交点且 交点在其对称轴两侧，求n的取值范围 解：（ 1）方程01) 1(2 2 mxmmx有两个实数根， 0m且0，,1 分 则有0) 1(4-)1(4 2 mmm且0m 1m 且 0m 又m为非负整数， 1m. ,2 分 （2）抛物线 1 C： 2 xy平移后，得到抛物线 2 C：baxy 2 )(， ,3 分 抛物线 2 C过), 2(bA点，bab 2 )2(，可得2a， 同理：bab 2 )4(12，可得3b，,4 分 2 C：32 2 xy）（或74 2 xxy . ,5 分 （ 3） 将 抛 物 线 2 C：3)2( 2 xy绕 点 (nn, 1) 旋 转180° 后 得 到 的 抛 物 线 3 C顶 点 为 （322nn，） ，,6 分 当nx2时，112 2 1 nny， 由题意，132nn， 即：4n,7 分 5.（2014 石景山 223）关于 x的一元二次方程023) 1(3 2 mxmx （1）求证：无论 m 为何值时，方程总有一个根大于0； （2）若函数23) 1(3 2 mxmxy与 x 轴有且只有一个交点，求m的值； （3）在（ 2）的条件下，将函数23) 1(3 2 mxmxy的图象沿直线2x翻折，得到新的 函数图象 G在xy， 轴上分别有点 P( t ，0) ，Q(0 ，2t ) ，其中 0t ，当线段PQ与函数图象 G 只有一个公共点时，求t 的值 解： （1）证明：0231mxx1 1 x，23 1 mx 01 1 x无论 m为何值时，方程总有一个根大于0； （ 2 ） 解 ： 若 函 数23) 1(3 2 mxmxy与x轴 有 且 只 有 一 个 交 点 y 11 , 2 b 11 9. 2 b 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 13 2 9(1)4(32)0mm 3 1 m （3）解： 当 3 1 m时，函数 22 112xxxy 依题意，沿直线2x翻折后的解析式为 : 963 22 xxxy，图象G如图所示 可得，963 22 xxxy与 x， y 轴的交点分别为0 , 3，9 ,0 设直线PQ的解析式为0kbkxy， 由0, tP，Q(0 ，2t ) 直线PQ的解析式为txy22,5分 当线段PQ与函数图象G相切时， 9622 2 xxtx 029416t 2 5 t 当线段PQ经过点9, 0时， 92t 2 9 t 综上：当 2 5 t或 2 9 t时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点 x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O
