北京中考第二轮复习讲解(二)二次函数综合题.pdf

课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 1 第二讲：二次函数综合题 内容要求 中考 分值 考察类 型 二次函数 综合题 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图 象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似解 7 二 次 函 数综合 1.熟练掌握二次函数的有关知识点 2.掌握二次函数中的数形结合和转化的数学思想 【例 1】 （ 2015 西城 127）已知二次函数 2 1 yxbxc的图象 1 C经过( 1,0)，(0, 3)两点 （ 1）求 1 C对应的函数表达式； （ 2） 将 1 C先向左平移1个单位，再向上平移4 个单位，得到抛物线 2 C， 将 2 C对应的函数表达式记为 2 2 yxmxn，求 2 C对应的函数表达式； （ 3）设 3 23yx ，在（ 2）的条件下，如果在 2xa 内存在 某 一个 x 的值，使得 2 y 3 y成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围 解： （1） 二次函数 2 1yxbxc的图象1C经过( 1,0)，(0, 3)两点， 10, 3. bc c 1 分 解得 2, 3. b c 2 分 抛物线 1 C的函数表达式为32 2 1 xxy 3 分 （2） 22 1 23=(1)4yxxx， 抛物线 1 C的顶点为 (14 分 例题精讲 方法策略 考试要求 中考第二轮复习代数综合题 图 7 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 2 平移后抛物线 2 C的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为 2 2 yx 5 分 （3）a1（见图 7） 7 分 【例 2】 （2015 延庆 127）二次函数 2 yxmxn的图象经过点A（ 1，4） ，B（1，0） ， 1 2 yx b 经过点 B，且与二次函数 2 yxmxn交于点 D过点 D 作 DCx 轴，垂足为点C （1）求二次函数的表达式； （2）点 N 是二次函数图象上一点（点N 在 BD 上方） ，过 N 作 NPx 轴，垂足为点P，交 BD 于点 M，求 MN 的最大值 . 解： （ 1）二次函数 2 yxmxn的图象经过点A（ 1，4） ，B（1，0） 41 01 mn mn m=-2,n=3 二次函数的表达式为 2 23yxx （2） 1 2 yxb经过点 B 1 2 b 画出图形 2 11 ( ,),23 22 M mmmmm设，则N 211 23() 22 MNmmm设 2 35 22 MNmm 2 349 () 416 MNm MN 的最大值为 49 16 【例 3】 （ 2015 朝阳 127） 如图，将抛物线M1: xaxy4 2 向右平移3 个单位，再向上平移3 个单位， 得到抛物线M2，直线 xy 与 M1的一个交点记为A，与 M2的一个交点记为B，点 A 的横坐标是 3. （1）求a的值及 M2的表达式； （2）点 C是线段 AB上的一个动点，过点C作 x轴的垂线，垂足为D，在 CD的右侧作正方形CDEF. 当点 C的横坐标为 2时，直线nxy恰好经过正方形CDEF 的顶点 F，求此时 n 的值； 在点 C的运动过程中， 若直线nxy与正方形 CDEF 始终没有公共点， 求 n 的取值范围 （直接写出结果）. 解： （ 1）点 A 在直线 xy ，且点 A 的横坐标是 3， A( 3， 3) . 1 分 把 A(3， 3)代入xaxy4 2 ， 解得a=1. 2分 M1 : xxy4 2 ，顶点为 (2， 4) . M2的顶点为 (1， 1) . -7 分 -2 分 -6 分 -5 分 -3 分 -4 分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 3 M2的表达式为xxy2- 2 . 3 分 （2）由题意， C(2，2)， F(4，2) . 4 分 直线 nxy 经过点 F， 2=4+n . 解得 n =2. 5 分 n 3， n 6. 7 分 【例 4】 （2014 门头沟 123）27抛物线cbxxyC 2 1 2 1 :与y轴交于点C(0，3)，其对称轴与 x轴交于 点 A(2，0) （1）求抛物线 1 C的解析式； （2）将抛物线 1 C适当平移，使平移后的抛物线 2 C的顶点为D(0，k)已知点 B(2，2)，若抛物线 2 C与 OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围 解： （1）抛物线cbxxy 2 2 1 与y轴交于点 C(0，3)， 3c；1 分 抛物线cbxxy 2 2 1 的对称轴为2x， 2 2 1 2 b ， 解得2b，2 分 抛物线 1 C的解析式为32 2 12 xxy3 分 （2）由题意，抛物线 2 C的解析式为kxy 2 2 1 4 分 当抛物线经过点A(2，0)时，02 2 12 k， 解得2k5 分 O(0，0)，B(2，2)， 直线 OB 的解析式为 xy 1 1 2 A C O x y B 1 1 2 A C O x y B 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 4 由 kxy xy 2 2 1 , ， 得022 2 kxx， （* ） 当 k214)2( 2 0，即 2 1 k时，6 分 抛物线 2 C与直线 OB 只有一个公共点， 此时方程（ * ）化为012 2 xx， 解得1x， 即公共点P的横坐标为1，点 P在线段 OB 上 k的取值范围是 2 1 2k7 分 逆袭训练 1. （2015 丰台 127）在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1， a ） ，（3， a） ， 且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a 的值； （2）设抛物线顶点C 关于 y 轴的对称点为点D，点 P是抛物线对称 轴上一动点，记抛物线在点A，B 之间的部分为图象G（包含 A， B 两点） .如果直线DP 与图象 G 恰有 两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标 t 的取值范围 . 解： （ 1）抛物线过点（-1，a ） ，（3，a） ， 抛物线的对称轴x=1. . 1 分 抛物线最低点的纵坐标为-4 ，抛物线的顶点是（1，-4） 2 分 抛物线的表达式是 2 2(1)4yx， 即 2 242yxx. 3 分 把 （-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a. . 4 分 （2）抛物线顶点(1, 4)C关于 y 轴的对称点为点D，( 1,4)D 求出直线CD的表达式为4y. . . 5 分 求出直线BD的表达式为22yx，当1x时，0y. . 6 分 所以40t. . 7 分 3. （2015 海淀 127）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2 2 1 2 yxx与y轴交于点A，顶点为点B，点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称 xOy 2 2yxmxnAB 2 2yxmxnAB A 4 4 4 4 1 2 3 1 2 3 321213 xO y 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 5 （1）求直线BC 的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4将抛物线在点A，D 之间的部分（包含点A，D）记为图象G， 若图象 G 向下平移 t（0t ）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求 t的取值范围 解： （1）抛物线 2 2 1 2 yxx与y轴交于点 A， 点 A 的坐标为（ 0，2） 1 分 2211 ( 2 3 2 )21 2 yxxx ， 抛物线的对称轴为直线1x，顶点 B 的坐标为（ 1， 3 2 ） 2 分 又点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称， 点 C 的坐标为 (2，2)，且点 C 在抛物线上 设直线 BC 的解析式为ykxb 直线 BC 经过点 B（1， 3 2 ）和点 C(2，2)， 3 2 22. ，kb kb 解得 1 2 1. k b ， 直线 BC 的解析式为 1 1 2 yx3分 4. （2015 石景山 127）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 23(0)ymxmxm与x轴交于(3,0)A， B两点 （ 1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （ 2）当23x时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一 个新图象 M 若经过点(4, 2)C的直线(0)ykxb k与图象M在第三象限内有两个公共点，结 合图象求b的取值范围 解： x y O5432112345 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 x y O 5432112345 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 F E D A B C 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 （1）将3,0A代入，得1m 抛物线的表达式为 2 23yxx 1 分 B点的坐标1,02 分 （2） 2 2 2314yxxx 当21x时，y随x增大而减小； 当13x时，y随x增大而增大， 当1x， min 4y；3 分 当2x，5y y的取值范围是45y4 分 （3）当直线ykxb经过1,0B和点4,2时， 解析式为 22 55 yx . 5 分 当直线ykxb经过2, 5和点4,2时， 解析式为 78 63 yx . 6 分 结合图象可得， b的取值范围是 82 35 b .7 分 5. （2014 通州 127） 二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与一次函数 1 yxbk的图象交于) 10( ，A、 B两点，(1,0)C为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数 2 (0)yaxbxc a的表达式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象和一次函数 1 yxb k 的 图象； （ 3 ） 把 （ 1 ） 中 的 二 次 函 数 2 (0)yaxbxc a的 图 象 平 移 后 得 到 新 的 二 次 函 数 2 2 (0,)yaxbxcm am为常数的图象 , .定义新函数 f：“ 当自变量x 任取一值时， x 对应的函数 值分别为 1 y或 2 y，如果 1 y 2 y，函数 f 的函数值等于 1 y、 2 y中的较小值 ;如果 1 y= 2 y，函数 f 的函 数值等于 1 y（或 2 y）. ” 当新函数 f 的图象与 x 轴有三个交点时,直接写出 m 的取值范围 . 解： （1）设抛物线解析式为， 由抛物线过点，可得 (2分) （2）如图： (5 分) （3）-4m0 (7 分) 2 )1(xay )10( ，A12 2 xxy x 1 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 7 x y O 6.（ 2014 门头沟 227）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2 1 4 yxbxc经过点 A（ 4，0）和 B（0，2） （1）求该抛物线的表达式； （2）在（ 1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，点 B 关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线CD的表达 式； （3）在（ 2）的条件下，记该抛物线在点A，B 之间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象G 向上平移m （m0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围 解： （1）抛物线 21 4 yxbxc经过点 A（4，0）和 B（0，2） 21 440, 4 2. bc c 1分 解得 1 , 2 2. b c 此 抛 物 线 的 表 达 式 为 2 11 2 42 yxx 2分 （2） 2 21119 21 4244 yxxx， C （ 1 ， 9 4 ） 3分 该抛物线的对称轴为直线x=1，B（0，2） ， D（2，2） 4 分 设直线 CD的表达式为y=kx+b 由题意得 9 , 4 22. kb kb 解得 1 , 4 5 . 2 k b 直 线C D的 表 达 式 为 15 42 yx 5分 （3） 0.5m1.57 分 7.（2015 昌平 227）已知抛物线 2 yaxbxc经过原点O 及点 A（- 4，0）和点 B（- 6，3） （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）如图 1，将直线2yx沿 y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y 轴交 于点 D，求直线CD的解析式； 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 8 （3）如图 2，将（ 1）中所求抛物线向上平移4 个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离 最短的点的坐标及该最短距离 解： （ 1）抛物线经过0, 0，4, 0，6, 3三点， 0 1640, 3663. c ab ab 1 分 解得 1 4 1 0 a b c ， ， 2 分 抛物线的解析式为 21 4 yx x 2 22111 44421 444 yxxxxx 抛物线的顶点坐标为2,13 分 （2）设直线CD的解析式为2yxm， 根据题意，得 21 2 4 xxxm ，4 分 化简整理，得 2 440xxm， 由16160m，解得1m，5 分 直线 CD的解析式为21yx （3）点的坐标为2, 7，6 分 最短距离为 4 5 5 7 分 8. （2015 海淀 227） 已知一次函数 1 ykxb（k0 ） 的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数 2 2 24yxax （其中 a2） （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示） ； （2）利用函数图象解决下列问题： 若 2 5 a，求当 1 0y且 2 y0 时，自变量x 的取值范围； y x 图1 B A C D O y x 图2 C D O 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 9 如果满足 1 0y且 2 y0 时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围 解： （ 1）一次函数 1ykxb（k0 ）的图象经过 (2,0)，(4,1)两点， 20, 41. kb kb 解得 1 , 2 1. k b 1 分 1 2 1 1 xy 2 分 222 24)(42aaxaxxy ， 二次函数图象的顶点坐标为 2 ( ,4)aa 3 分 （2）当 2 5 a时，45 2 2 xxy 4 分 如图 10，因为 1 0y且 2 y0，由图象得2 x4 6 分 13 6 a 5 2 7 分 1.（ 2015 丰台 227）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2 1yaxbx经过 (13)A ，(2 1)B，两点 . （1）求抛物线及直线AB 的解析式； （2）点 C在抛物线上，且点C的横坐标为3将抛物线在点 A，C之间的部分（包含点A， C）记为图象 G，如果图象G 沿 y 轴向上平移（）个单位后与直线AB只有一个公共点，求的取值范围 解： （ 1）抛物线 2 1yaxbx过(1 3)A ，(2 1)B，两点 13 4211 ab ab .1 分 t0tt 课后练习 图 10 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 10 解得， 2 4 a b 抛物线的表达式是 2 24 +1yxx .2 分 设直线 AB的表达式是ymxn， 3 21 mn mn ，解得， 2 5 m n .3 分 直线 AB的表达式是25yx.4 分 （2）点 C在抛物线上，且点C的横坐标为3 C（3， -5） .5 分 点 C平移后的对应点为点'(3,5)Ct 代入直线表达式25yx ，解得 4t .6 分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是04t .7 分 2 （2014 西城 123）抛物线 2 3yxkx与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为 (10)k ，. （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）将 （1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段 BC 上，记该抛物线为 G，求抛物线G 所对应的函数表达式； （3）将线段BC平移得到线段B C（B的对应点为 B ，C的对应点 为C） ，使其经过（ 2）中所得抛物线 G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B到直线OC的 距离h的取值范围。 y x 1 1 O 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 11 3. （2014 房山 123）如图，抛物线cbxxy 2 经过、两点，与轴的另一交 点是 （1）求抛物线的解析式； （2）若点1,aaD在第一象限的抛物线上，求点关于直线的对称点'D的坐标； ( 1 0)A，(0 4)C，x B DBC 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 12 y x C BA O （3）在（ 2）的条件下，过点D 作BCDE于点 E,反比例函数)0(k x k y的图象经过点 E， 点3,nmF在此反比例函数图象上，求 m n 15 4 的值 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 13 4.（2013 海淀 223）已知：抛物线 2 (2)2yaxax过点(3,4)A （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线 2 (2)2yaxax在直线1y下方的部分沿直线1y翻折，图象其余的部分保持不 变，得到的新函数图象记为G点 1,Mm y 在图象G上，且 1 0y 求 m的取值范围； 若点2 ,N mk y也在图象G上，且满足24y 恒成立，则k的取值范围为 23 解： （1）抛物线 2 (2)2yaxax过点(3,4)A， 93(2)24aa 解得1a 抛物线的解析式为 2 2yxx -2分 （2）当0y时， 2 20xx 1x或2. 抛物线与x轴交于点( 1,0)A，(2,0)B .-3分 当2y时， 2 22xx 0x或1 抛物线与直线2y交于点(0,2)C, (1, 2)D. C,D关于直线1y的对称点'(0,0)C，'(1,0)D.-4分 根据图象可得1m0 或1m2-5分 k的取值范围为k4 或k4-7分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 14 5. （2013 门头沟 223） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 22 427 68 83 mm yxxmm经过原 点 O， 点 B(- 2, n) 在这条抛物线上. （1）求抛物线的解析式； （2）将直线2yx 沿 y 轴向下平移b 个单位后得到直线l， 若直线 l 经过 B 点，求 n、b 的值； （3）在（ 2）的条件下，设抛物线的对称轴与x 轴交于点C，直线 l 与 y 轴交于点D，且与抛物线的对称轴交 于点 E. 若 P是抛物线上一点，且PB=PE ，求 P点的坐标 . 来源 :Zxxk.Com 来源 学科网 解： （ 1）拋物线 22427 68 83 mm yxxmm经过原点， m 2 6m 8=0解得 m1=2，m2=4 由题意知 m 4， m=21 分 拋物线的解析式为 xxy 2 4 1 2 分 （2）点 B(- 2, n) 在拋物线 xxy 2 4 1 上， n=33 分 B点的坐标为 ( 2，3) 直线 l 的解析式为2yxb ，直线 l 经过 B点， 322b 1b4 分 （3）拋物线 xxy 2 4 1 的对称轴为直线x=2，直线 l 的解析式为y=- 2x- 1， 拋物线 xxy 2 4 1 的对称轴与x 轴的交点C的坐标为 ( 2, 0) ， 直线 l 与 y 轴、直线x=2 的交点坐标分别为D( 0,- 1) 、E ( 2,- 5). 过点 B作 BG直线 x=2 于 G，与 y 轴交于 F. 则 BG=4. 在 RtBGC中， 22 5CBCGBG. CE =5，CB =CE . 过点 E作 EHy 轴于 H. 则点 H 的坐标为 ( 0,- 5). 点 F、D 的坐标为F( 0, 3)、D( 0,- 1) ， FD=DH=4，BF=EH=2， BFD =EHD=90°. DFB DHE. DB=DE. PB=PE ， 点 P在直线 CD上 . 符合条件的点P是直线 CD与该抛物线的交点. 设直线 CD的解析式为y=kx+a. 将 D( 0,- 1) 、C( 2, 0) 代入，得 1 20 a, ka. 解得 1 1 2 a, k. 直线 CD的解析式为 1 1 2 yx. 5 分 设点 P的坐标为 ( x， xx 2 4 1 ) ， x y 1 1 O A B C O D E x y x=2 G F H 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 15 1 1 2 x= xx 2 4 1 . 解得 53 1 x，53 2 x. 2 51 1 y ， 2 15 2 y . 点 P的坐标为 (53， 2 51 ) 或(53， 2 51 ). 7 分 6.（2013 海淀 123）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 2ymxmxn与x轴交于A、B两点，点A 的坐标为( 2,0) （1）求B点坐标； （2）直线 y = 1 2 x +4m+ n经过点B. 求直线和抛物线的解析式； 点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为(0,)Dd将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折， 图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G请结合图象回答：当图象G与直线y = 1 2 x+ 4m+ n只有两 个公共点时，d的取值范围是 解： （ 1）依题意，可得抛物线的对称轴为 2 1 2 m x m .1 分 抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为( 2,0)， 点B的坐标为(4,0)2 分 （2）点 B在直线 y = 1 2 x+ 4m+ n上， 024mn . 点 A 在二次函数 2 -2ymxmxn的图象上， 044mmn . 3 分 由、可得 1 2 m ， 4n. 4 分 抛物线的解析式为y 2 1 4 2 xx，直线的解析式为y 1 2 2 x 5 分 （3） 5 0 2 d 7 分