北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)数学理.pdf

7 8 3 5 5 7 2 3 8 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙甲 北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习（二） 高三数学（理科） 学校 _班级 _姓名 _考号 _ 本试卷共5 页，共 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项） （1） 23 sin() 6 （A） 3 2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D） 3 2 （2）设 4 loga， 1 4 logb， 4 c，则a，b，c的大小关系是 （A）bca（B）acb （C）abc（D）bac （3）已知 n a为各项都是正数的等比数列，若 48 4aa，则 567 aaa （A）4（B）8 （C）16（D）64 （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示， 12 ,x x分别表示甲、乙两名同学 8次数学测验 成绩的平均数， 12 ,s s分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有 （A） 12 xx， 12 ss （B） 12 xx， 12 ss （C） 12 xx， 12 ss （D） 12 xx， 12 ss （5）已知p，q是简单命题，那么“pq是真命题”是“p是真命题”的 （A）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （6）若实数yx,满足不等式组 330 10 1 xy xy y ， ， ， 则2|zxy的取值范围是 （A） 1,3（B）1,11 （C）3, 1 （D）11, 1 （ 7）定义在R上的函数( )f x满足)()6(xfxf. 当)1,3x时， 2 )2()(xxf , 当 )3 , 1x时，xxf)(，则(1)(2)(3)(2015)ffff （A）336（B）355 （C）1676（D）2015 （8） 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设 定原信息为 012 a a a，其中0,1 i a（0,1,2i） ，传输信息为 00121 h a a a h， 001 haa， 102 hha，运算规则为：000，011，101，110例如原信息为111， 则传输信息为01111传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一 定有误的是 （A）11010（ B）01100 （C）10111（D）00011 l1 l2 O M(p,q) 第二部分（非选择题共 110 分） 二、 填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分） （9）若 1 () n x x 的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n，展开式中的常 数项为 （用数字作答） （10）已知正数,x y满足xyxy，那么xy的最小值为 （11）若直线 12 ( 32 xt t yt ， 为参数)与曲线 4cos ( sin xa ya ， 为参数，0a)有且只有一个公共 点，则a （ 12 ） 若 双 曲 线 22 22 1(0,0) xy ab ab 截 抛 物 线 2 4yx的 准 线 所 得 线 段 长 为 b ， 则 a （13）已知非零向量,a b满足| 1b，a与ba的夹角为120，则|a的取值范围是 （14）如图，平面中两条直线 1 l和 2 l相交于点O，对于平面上任意一点M，若,p q分别是M到直 线 1 l和 2 l的距离，则称有序非负实数对( , )p q是点M的“距离坐标” 给出下列四个命题： 若0pq，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个 若0pq，且0pq，则“距离坐标”为( , )p q的点有且仅有2个 若0pq，则“距离坐标”为( , )p q的点有且仅有4个 若pq，则点M的轨迹是一条过O点的直线 其中所有正确命题的序号为 G D E B C F A 三、解答题（共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15） （本小题共13 分） 已知函数 2 sin 22sin ( ) sin xx f x x （）求( )f x的定义域及其最大值； （）求( )f x在(0,上的单调递增区间 （16） （本小题共13 分） 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中 甲同学必选 A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程 中随机任选三门课程 （）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率； （）用 X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望 （17） （本小题共14 分） 如图，三棱柱ABCDEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC侧面ADEB， 4AB，60DEB，G是DE的中点 （）求证：CE平面AGF； （）求证：GB平面BEFC； （）在线段BC上是否存在一点P，使二面角PGEB为45，若存在，求BP的长；若不存 在，说明理由 （18） （本小题共13 分） 已知函数( )e x f xxa （）当 2 ea时，求( )f x在区间1,3上的最小值； （）求证：存在实数 0 3,3x，有 0 ()f xa. （19） （本小题共13 分） 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆C上的点到两个焦点的 距离之和为4 （）求椭圆C的方程； （）设 A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M ，与y轴交于点N，过原点与l平 行的直线与椭圆交于点 P证明： 2 | | 2|AMANOP （20） （本小题共14 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 (3)aa a， n nn Sa3 1 ，设 n nn Sb3 ， nN ( ) 求证：数列 n b是等比数列； ( ) 若 1nn aa，nN，求实数a的最小值； （）当4a时，给出一个新数列 n e，其中 3,1, ,2. n n n e bn 设这个新数列的前n项和为 n C， 若 n C可以写成 p t(, t pN且1,1 pt)的形式，则称 n C为“指数型和”问 n C中的项 是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由 北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案及评分标准（理科） 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） （1）C（2）D （3）B（4）B （5）D （6）D （7）A （8）C 二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） （9）615（10）4 （11）2（12） 2 5 5 （13） 2 3 (0, 3 （14） （1） （2） （3） 注：两个空的填空题第一个空填对得3 分，第二个空填对得2 分 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） （15） （共 13 分） 解： （）由sin0x，得xkkZ 所以( )f x的定义域为|xxkkRZ ,2 分 因为 2 sin 22sin ( ) sin xx f x x ， 2cos2sinxx 2 2 cos() 4 x，,6 分 所以( )f x的最大值为2 2,7 分 （）函数cosyx的单调递增区间为22kk（kZ） 由22 4 kxk，xkkZ，且(0,x， 所以( )f x在(0,上的单调递增区间为 3 , 4 ,13 分 （16） （共 13 分） 解： （）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程” 则 1 2 2 3 C2 ( ) C3 P A， 2 4 3 5 C3 ( ) C5 P B 因为事件 A与B相互独立， 所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为 224 ()( )( )( )1() 3515 P ABP A P BP AP B,4 分 （）设事件C为“丙同学选中C课程” 则 2 4 3 5 C3 ( ) C5 P C X的可能取值为：0,1,2,3 1224 (0)() 35575 P XP ABC (1)()()()P XP ABCP ABCP ABC 22213212320 35535535575 (2)()()()P XP ABCP ABCP ABC 23222313333 35535535575 23318 (3)() 35575 P XP ABC X为分布列为： X 01 2 3 P 4 75 20 75 33 75 18 75 420331814028 ()0123 757575757515 E X ,13 分 （17） （共 14 分） （）证明：连接CD与AF相交于 H ，则H为CD的中点，连接HG 因为G为DE的中点， 所以HGCE 因为CE平面AGF，HG平面AGF， 所以CE平面AGF,4 分 （）证明：1BE，2GE，在GEB中，60GEB，3BG 因为 222 BGBEGE， 所以GBBE 因为侧面BEFC侧面ADEB， 侧面BEFC侧面ADEBBE， H G D E B C F A P y z x GB平面ADEB， 所以GB平面BEFC,8 分 （）解：,BG BE BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系Bxyz 假设在线段BC上存在一点 P，使二面角PGEB为45 平面BGE的法向量(0,0,1)m，设(0,0,),0,1P ( 3,0,0),G(0,1,0)E 所以(3,0,)GP，(3,1,0)GE 设平面PGE的法向量为( , , )x y zn，则 0, 0. GP GE n n 所以 30, 30. xz xy 令1z，得y， 3 x， 所以PGE的法向量为(, ,1) 3 n 因为1m n， 所以 2 2 2 111 32 ，解得 3 0,1 2 ，故 3 2 BP 因此在线段BC上存在一点P，使二面角PGEB为45， 且 3 2 BP.,14 分 （18） （共 13 分） 解： （）当 2 ea时， 2 ( )e x f xx，3 , 1x. 因为 2 '( )1e x fx， 由0)(xf，2x. 则x，)(xf，)(xf关系如下： 所以当2x时，)(xf有最小值为3.,5 分 （） “存在实数 0 3,3x，有axf)(”等价于( )f x的最大值大于a. 因为'( )1e x fxa， 所以当0a时，3 ,3x，0)( ' xf，)(xf在)3, 3(上单调递增， 所以( )f x的最大值为(3)(0)ffa. 所以当0a时命题成立 . 当0a时，由0)(xf得axln. 则xR时， x，)(xf ，)(xf关系如下： （1）当 3 ea时 ，3ln a，)(xf在)3 , 3(上单调递减， 所以( )f x的最大值( 3)(0)ffa. 所以当 3 ea时命题成立 . （2）当 33 eea时，3ln3a， 所以)(xf在)ln,3(a上单调递减，在)3 ,(ln a上单调递增 . 所以( )fx的最大值为( 3)f或(3)f. 且aff)0()3(与aff)0()3(必有一成立， x)2 ,1 ( 2 )3,2( ( )fx0 ( )fx 极小值 x )ln,(a aln),(ln a ( )fx 0 ( )f x极小值 所以当 33 eea时命题成立 . （3） 当 3 0ea时 ，3ln a， 所以)(xf在)3, 3(上单调递增， 所以( )f x的最大值为(3)(0)ffa. 所以当 3 0ea时命题成立 . 综上：对任意实数a都存在3,3x使axf)(成立 . ,13 分 （19） （共 13 分） 解：（）设椭圆C的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由题意知 222 , 3 , 2 24, abc c a a 解得2a，1b 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y ,5 分 （）设直线AM的方程为：(2)yk x，则(0,2 )Nk 由 22 (2) 44, yk x xy ， 得 2222 (1+4)161640kxk xk（* ） 设( 2,0)A， 11 (,)M xy，则2， 1 x是方程（ *）的两个根， 所以 2 12 28 14 k x k 所以 2 22 284 (,) 1414 kk M kk 22 22 22 28284 |()() 1414 kkk AM kk 22 222 16 164 1 (1 4)14 kk kk 22 |442 1ANkk 222 22 4 12 18(1) | 1414 kkk AMAN kk 设直线OP的方程为：ykx 由 22 44, ykx xy ， 得 22 (1 4)40kx 设 00 (,)P xy，则 2 0 2 4 14 x k ， 2 2 02 4 14 k y k 所以 2 2 2 44 | 14 k OP k ， 2 2 2 88 2 | 14 k OP k 所以 2 | |2|AMANOP,13 分 （20） （共 14 分） 解：( ) 因为 11 11 32332 nnn nnnn bSSb，nN，且3a， 所以 n b是首项为3a，公比为2等比数列 所以 1 2)3( n n ab,4 分 ( ) 由( ) 可得 1 2)3(3 nn n aS， 1, 2, nnn aSSnnN 12 ,1 2 3(3) 2,2 n nn an a an 因为 nn aa 1 ， 所以 9a ，且 3a 所以a的最小值为9,9 分 （）由 ( ) 当4a时， 1 2 n n b 当2n时， 1 3242 n n C12 n ，3 1 C， 所以对正整数n都有12n n C 由12 np t， np t21，(, t pN且1,1 pt)，t只能是不小于3 的奇数 当p为偶数时， n pp p ttt2) 1)(1(1 22 ， 因为1 2 p t和1 2 p t都是大于1 的正整数， 所以存在正整数hg,，使得 g p t21 2 ， h p t21 2 ， 222 hg ,2)12(2 hgh ，所以22 h 且112 hg 2, 1 gh， 相应的3n，即有 2 3 3C， 3 C为“指数型和”； 当p为奇数时，)1)(1(1 12pp ttttt， 由于 12 1 p ttt是p个奇数之和，仍为奇数，又1t为正偶数， 所以 np tttt2)1)(1( 12 不成立， 此时没有“指数型和”,14 分