1、第一讲椭圆的定义、标准方程和几何性质1、椭圆的定义：把平面内与两个定点BR的距离的和等于常数2a2a大于IFF,)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离2c叫做椭圆的焦距.其中a2=b2+c2,2a叫做椭圆的长轴，a为长半轴，2b叫做短轴,b叫做短半轴注意：(1)两定点两点间的距离(2)轨迹上任意点到两定点的距离的和确定；(3)当IPFII+PF2FR时，轨迹是椭圆；当IPFlI+PF2=FE时，轨迹是线段IFF,；当IPFll+PF2VFR时，形不成轨迹。(4)在IPFII+PFd不变的情况下，假设两点间距离变长，那么所画出的椭圆较扁，假设两点间距离变短，那么所画出的椭
2、圆较圆，因此，椭圆的形状与两定点间的距离及与两定点BR的距离之和有关。例1取长度为1OCm的细绳，把它的两端固定在画图板上的F,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，可以画出一个椭圆，如果椭圆上的一点P到Fl的距离为4cm,那么IPF2|的长度为。例2动点P到两定点FI(4,O),F2(4,O)的距离的和是8,那么动点P的轨迹为J。2、椭圆的标准方程(1)焦点在X轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：+=l,(其中abO,且a2=b2+c2)焦点是Flab(-C,0),F2(c,0),中心在坐标原点，焦距为2c。焦点在N轴上，中心在原点的椭圆标准方程是*=1,(其中abO,且a2=b?+c2)焦点是
3、FI(0,-c),F2(0,c),中心在坐标原点，焦距为2co例3椭圆的方程为号+=L焦点在X轴上，那么其焦距为:。例4判断以下方程是否表示椭圆，假设是，求出a,b,C的值。(1)号+=1(2)手+；=1对称性关于X轴，y轴，原点对称关于X轴，y轴，原点对称顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),Bl(0,-b),B2(0,b)A(O4(0,。)，BN-瓦0),2(b,O)范围-ax-byb-bxht-aya长轴短轴长轴：2a；短轴：2b.长轴：2a；短轴：2b.离心率0e=-la0e,0)上任意一点，它的两个焦点的连线互相垂直，求离心率e的取值范围。求椭圆方程的根本方法1、定义法等腰直角三
4、角形ABC中，斜边BC的长为48，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个在线段AB上，且椭圆经过A、B两点，求该椭圆的标准方程。2、待定系数法求经过两点Pi(5,S、P2(-8,号)的椭圆的标准方程。3、代入法椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点Pl(6,1),P2(J3,-J5)求椭圆的方程。【根底练习】1、椭圆的焦点是Fl(-1,O)F2(1,O),P为椭圆上的一点，且IFiFzI是IPFJ,|PF2I的等差中项，求椭圆的方程。222、(2009浙江文)椭圆二十与=1(。Z?0)的左焦点为尸，右顶点为A,点8在椭圆上，且3/_LXcrb-轴，直线AB交y轴于点P .假设AP=2P8,
5、那么椭圆的离心率是()a3r2A.B.222、D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既表达了几何与向量的交汇，也表达了数形结合的巧妙应用.【解析】对于椭圆，因为AP=208,那么OA=2OP,.=2c,.e=,23.12009陕西卷文)0”是“方程皿2+九),2=,表示焦点在y轴上的椭圆”的（八）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件答案:C.24. (2009全国卷I文)椭圆C:5+V=I的右焦点为F,右准线/,点A,线段AF交C于点B。假设必=3/反那么IAq=（八）2(B)2(C)3(D)3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭
6、圆的定义，根底题。2解:过点B作BMJJ于M,并设右准线I与X轴的交点为N,易知FN=I.由题意E4=3&5,故I卜一.3又由椭圆的第二定义,得BF=与三=%:.AFI=y2.应选A225. 12009北京文)椭圆、+5=1的焦点为耳，工，点P在椭圆上，假设IPKI=4,那么P=;NF的大小为.6、椭圆G：4+与=1(。力0)的右顶点为4(1,0),过G的焦点且垂直长轴的弦长为L求椭圆abC1的方程;7、设椭圆E:+=l(a,bO)过M(2,J),N(卡/)两点，O为坐标原点,ab(1) 求椭圆E的方程；22解：(1)因为椭圆E:=+=l(a,bO)过MJ),N(后/)两点，FIF T + 76 / ( 以所ab解得，F所以8椭圆E的方程为土+L=11 Ilb2=484=1r=-b24
