1、求函数解析式的常用方法求函数的解析式不仅是最根本的题型，而且在求解的过程中还蕴含着一些思想方法和解题技巧。一、“拼凑变量”法将原复合函数解析式的右边拼凑了变量，然后看成整体替换成变量X,从而得到/(X)的解析式。iJ1/(x-)=x2-!7,求/(尢)的解析式.XX解析：等式左边是关于尢L的函数,右边是关于X的表达式，要想方法把右边X的表达式拼凑成关于，的表达式即可。X解：Qf(,x)=/I-=-+2,将X看成变量X,XX械XX./(x)=x2+2O二、换元法解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化,这叫换元法。例2假设函数/(x)满足f(x-1)=2x2+1,求
2、/(x)的解析式。解析：学生思考函数的解析式表达的含义。设x-l=f,利用换元法，转化为求。利用整体思想把1看成一个整体，即可得到函数的解析式。注意/(X)与/是表示同一个函数。解：令X1=，那么x=r+l,/()=2(r+l)2+l=2r2+4/+3,即/(x)=2x2+4x+3点评：/(U(x)=,求的解析式，通常用换元法，其步骤是：设g(x)=f,确定，的取值范围；把/看成常数，解关于X的方程g(x)=，得到x=h(t)i将X=力Q)代入/(x),得到函数/的解析式；再用X替换/中的/得函数/(X)的解析式。三、待定系数法我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一
3、些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。例3实系数的一次函数F(X)满足/(X)=4x+3,求/(x)o解：设一次函数/(X)=履+(ZwO),那么ff(x)=k(kx+b)+b=k2x+kb+bt又f(%)=4x+3,比拟对应的系数，得k2 =4优Z+ 1) = 3% = 2 或1=2b = b = -3故f(x)的解析式为f(x)=2x+1或/(x)=2x-3o点评：当函数的类型求其解析式时，常用此法。练习：/(%)是二次函数且/*+1)+/*D=2丁4x4,求/(x)的解析式。解：由题意，设/(x)=Or2+v+a。？0),那么/(x+l)+f(x-1)=a
4、x+I)2+b(x+1)+ca(x-I)2b(x-1)c=Ix2-4戈+4对XiR恒成立,2a = 2从而有，2b = 42a 2c = 4a=1.,.b2,.*.f()A?22x+1,c=l即所求函数的解析式为/(x)=2-2+四、方程法(消参法)假设式中出现两个不同的变量的函数关系式时，常常采用“消参法”解决，即依据这两个变量的关系，重新产生一个关于这两个变量的不同等式，利用整体思想，把/(X)和另一个函数看成未知数，解方程组得了(X)的解析式，类似于解二元一次方程组，故称为方程法。例42/。)+/(一)=3x,求f(x)的解析式。X解：将2(x)+d)=3x中的所有X换为得到XX13I
5、12-)+(x)=，由联立消去了(一)，得/(x)=2。XXXX五、赋值法(特殊值法)在求函数解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋予特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利于求解。例5函数/(x),对任意的a,%iR满足f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),且/(O)=1,求/(x)的解析式。解析：等式/(-b)=f(a)-b(2a-b+1)中，含有两个未知量，令其中一个未知量为某些特殊值，就可以使等式减少一个变量，从而到达求解的目的。解:由题意，令。=0,那么/(a-b)=/()-b(2a-b+1)为/(-b)=/(0)-b(-b+1),即/(b)=b1-Z?+1,再令-b=
6、f得/(X)=+x1。点评：此种方法用于抽象函数，减少变量时通常是令X=y或X=y,一般要先求出特殊值对应的函数值，如/(0)、/和/(-1)等。归纳拓展：1 .求函数的解析式，就是要清楚对接受法那么的对象施予什么运算和建立什么关系，并不在意接受法那么的是哪一个字母或是怎样的式子。在进行变形或变量代换的过程中，要注意取值范围的变化。2 .利用复合函数的式子求函数的解析式常有拼凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等方法。课后练习：1 .一次函数/(x)的图像经过点(-1,2)和(1,3),求/(幻的解析式。2 .二次函数的图像经过点(3,8),且顶点坐标为G6,5),求解析式。3 .函数/3)满足/(k+1)=Y+5x+2,求/(元)的解析式。4 .函数/(x)为一次函数，且/(X)=4x-1,求了。5 .函数/(2x+1)=3x+2,且/3)=2,那么。得值是().8B.1C.5D.-16 .3(x)+/(-x)=5x,求f(x)的解析式。7 .函数y=/(x)的定义域为(0,+oo),且对于定义域内的任意的x,y都有，(孙)=*)+(y),且/(2)=1,那么玄)的值为()A.1B.%C-%D.28 ./(x+2)=x+4/7,求/(X)。9 .二次函数/(x)满足条件/(0)=1,/(x+1)-f(x)=2xt(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最值。
