高考数学函数与方程思想练习题及答案.pdf

第 1 页 共 6 页 高考数学函数与方程思想练习题 函数与方程的思想就是用函数、方程的观点和方法来处理问题，从而可利用函数的性质、 图象或解方程来获得问题的解的一种思维策略。 函数与方程的思想是中学数学中最重要的数学思想之一，许多问题一旦转化为函数或方 程来研究，思考的方向就会非常明确，从而有效解决。 1已知xyx623 22 ，则1 22 yx的最大值是 ( ) (A) 2 5 (B) 3 (C) 2 7 (D) 4 2方程03 3 axx有三个相异实根,则实数a的取值范围是 ( ) (A) 0a (B) 0a (C) 22a (D) 2a 3. 若函数( ),( )f xg x分别是R上的奇函数、 偶函数， 且满足( )( ) x f xg xe，则有（） (A) (2)(3)(0)ffg (B) (0)(3)(2)gff (C) (2)(0)(3)fgf ( D) (0)(2)(3)gff 4已知1 5 5 a cb ， （a、 b 、Rc） ，则有（） (A)acb4 2 (B)acb4 2 (C)acb4 2 (D)acb4 2 5若关于x的方程02cossin 2 axax有实数解， 则实数a的取值范围是 _ 6已知ttf 2 log)(， 8,2t，对于)(tf值域内的所有实数m，不等式 xmmxx424 2 恒成立，则x的取值范围为 _ 7关于x的不等式03332 22 aa xx ，当10x时恒成立 , 则实数a的取值范围为 _ 8. 设1a，若有且仅有一个常数c使得对于任意的aax2,，都有 2 ,ya a满足方程 cyx aa loglog，这时a的取值的集合为 9. 已知数列 n a是由正数组成的等差数列， n S是其前n项的和，并且3 2 a，81 35S a （1）求数列 n a的通项公式； （2）求不等式12) 1 1() 1 1)( 1 1( 21 na aaa n 对一切*Nn均成立最大实数a 10. 已知函数cbxaxxf 2 )(cba) 图象上有两点)(,( 11 mfmA,)(,( 22 mfmB满足 0) 1(f且0)()()()( 2121 2 mfmfamfmfa。 （1）求证0b； （2）能否保证)3( 1 mf和) 3( 2 mf中至少有一个为正数？请证明你的结论。 第 2 页 共 6 页 基础大题自测（九） 1已知在ABC 中,3a, 向量(sincos) 2 A mA，(3 2cos) 2 A n，nm/ (1) 求角 A的大小； (2) 求 bc 的取值范围 2甲乙两个人进行射击，甲射击一次中靶概率是 1 p，乙射击一次中靶概率是 2 p，已知 1 1 p 、 2 1 p 是方程 2 560xx的根，若两人各射击5 次，甲中靶次数的方差是 5 4 。 （1）求 1 p、 2 p的值； （2）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？ （3）两人各射击2 次，中靶至少3 次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？ 3如图所示，等腰ABC的底边6 6AB，高3CD，点B是线段BD上异于点B、 D的动点 . 点F在BC边上，且EFAB。现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使 PEAE。记BEx，Vx表示四棱锥PACEF的体积。 （1）求V x的表达式； （2）当x为何值时，V x取得最大值？ （3）当V x取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。 函数与方程思想参考答案 1.B 2.C 3.D 因为( )( ) x f xg xe，用x替换x得：()(), x fxgxe 因为函数( ),( )f xg x分别是R上的奇函数、偶函数， 所以( )( ) x f xg xe，又( )( ) x f xg xe 解得：( ), ( ) 22 xxxx eeee f xg x，而)(xf单调递增且00f， 320ff大于等于0，而1)0(g，故选 D 。 4.B 法一：依题设有055cba F E D C BA P 第 3 页 共 6 页 5是实系数一元二次方程0 2 cbxax的一个实根； 04 2 acbacb4 2 故选 (B) 法二：去分母，移项，两边平方得： accaaccacab2052110255 222 acb4 2 故选 (B) 点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决； 解法二转化为 2 b是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。 53240|aa 原方程可化为 x x a cos2 sin 2 x x a cos2 sin 2 是函数 x x xf cos2 sin )( 2 的函数值 . 问题等价于求函数 x x xf cos2 sin )( 2 的值域 . 记xtcos 问题又化为求函数 t t y 2 1 2 （ 1 , 1t）的值域 . 4 2 3 )2( 2 1 2 t t t t y记tm2 4 3 m my（3 , 1m） 3240y即a的取值范围为3240a 62|xx或 1x 解析 8,2t， 3, 2 1 )(tf 原题转化为：0)2()2( 2 xxm恒成立， 为m的一次函数 （这里思维的转化很重要） 当2x时，不等式不成立。 2x，令 2 )2()2()(xxmmg， 3, 2 1 m 问题转化为 2 )2()2()(xxmmg在3, 2 1 m上恒大于0，则： 0)3( 0) 2 1 ( g g ； 解得：2x或1x 评析首先明确本题是求x的取值范围， 这里注意另一个变量m， 不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元” 往往是解题的关键。 71|aa或2a 分析 :不等式恒成立问题,如果能分离系数, 就可以转化为函数的最值来处理. 解: 设 x t3,10x，则 3, 1t 原不等式可化为ttaa 22 23, 3, 1t 原问题等价于3 2 aa大于函数tttf 2 2)(, 3, 1t的最大值 13 2 aa, 得1a或2a即实数a的取值范围为1|aa或2a. 8. 2 解：由已知cyx aa loglog，得 c a y x （其中 ,2xaa） ，函数为反比例函数， c a y x 在,2aa（1a）上为单调递减，所以当 ,2 xaa时， 1 1 , 2 c ca ya 第 4 页 共 6 页 又因为对于任意的aax2,，都有 2 ,ya a，所以 1 1 2 2log 2 2 3 a c c a c a a c a ， 因为有且只有一个常数c符合题意，所以2log 23 a ，解得2a， 所以a的取值的集合为2。 9解 :(1) 设 n a的公差为 d ，由题意0d，且 81)33)(4( 3 11 1 dada da 1 1 a， 2d ，数列 n a的通项公式为12nan (2) 由题意) 1 1() 1 1)( 1 1( 12 1 21n aaan a对*Nn均成立， 记) 1 1() 1 1)( 1 1( 12 1 )( 21n aaa n nF， 则1 )1(2 )1(2 1)1(4 ) 1(2 )32)(12( 22 )( ) 1( 2 n n n n nn n nF nF 。 0)(nF )()1(nFnF即)(nF随n增大而增大， )(nF的最小值为 3 32 )1(F 3 32 a，即a的最大值为 3 32 。 10. 简析：把握方程根的意义，构建二次方程的判别式和函数的单调性和不等式结论求解。 （ 1）由0)()()()( 2121 2 mfmfamfmfa知，amf)( 1 或amf)( 2 即 1 m， 2 m是方程acbxax 2 的两根。 所以0)(4 2 caab, 即)(4 2 caab 因为0) 1(cbaf且cba, 所以0a,0c 所以04 2 abb，即0)4(abb即0)3(cab 因为03ca, 所以0b 设cbxaxxf 2 )(的两根 1 x, 2 x. 由0) 1(f，可知其中一根为1，另一根为 a c 由0a, 0c, 知1 a c 因为cba且cab, 所以 cca caa 即 ca ca 2 2 即 a c a c 2 1 2 即 2 1 2 a c 所以 31 2 3 a c 即3| 2 3 21 xx 设)(1()()( 21 a c xxaxxxxaxf 由(1) 知amf)( 1 或amf)( 2 第 5 页 共 6 页 若amf)( 1 ，则0)(1( 11 a a c mma故1 1 m a c 133 1 a c m,又)(xf在), 1(上为增函数，所以0)1()3( 1 fmf 同理，当amf)( 2 时，有0)3( 1 mf. 故)3( 1 mf和)3( 2 mf中至少有一个为正数 基础大题自测（九）参考答案 1解： (1) 由nm/得 2sincos3cos0 22 AA A即 sin3cos0AA tan3A 由于 A是 ABC 的内角 ,故可得 3 A (2) 由 ABC及 3 A可得 2 3 BC，即 2 3 CB 由正弦定理得 3 2 sinsinsin sin 3 bca BCA 所以2sinbB ,2sincC 所以 2 2(sinsin)2sin2sin() 3 bcBCBB 2sin3cossin3sin3cosBBBBB2 3sin() 6 B 由 2 0 3 B知 5 666 B故 1 sin()1 26 B 所以32 3sin()2 3 6 B 即 bc 的取值范围为( 3,23 2解：1由题意可知甲 B(5, p1) ， D甲 = 5p11p1 = 5 4 p1 2 p1 + 1 4 = 0 p1 = 1 2 又 1 p1 · 1 p2 = 6 ， p2 = 1 3 2设事件 A, B 分别表示甲、乙能击中 A, B互相独立 P A·B = P AP B = 1P A1P B = 1p11p2 = 1 2 × 2 3 = 1 3 1 P A·B = 2 3 为所求概率 3两种情况： 击中 3 次概率 C 2 2 1 2 2 1 2 0× C 1 2 1 3 1 2 3 1 + C 1 2 1 2 1 1 2 1× C 2 2 1 3 2 1 3 0 = 1 6 ； 击中 4 次概率 C 2 2 1 2 2 1 2 0× C 2 2 1 3 2 2 3 0 = 1 36 第 6 页 共 6 页 所求概率为 1 6 + 1 36 = 7 36 3解：（1）由折起的过程可知， PE 平面 ABC ， 119 6 3 63 222 BDC SBD CD， 2 22 966 () 54212 3 6 BEFBDC xx SSx 221661 ( )(96)(9) 312312 V xxxxx （0 36x ） （ 2） 2 61 '( )(9) 34 Vxx ， (0,6)x时，'( )0vx，( )V x单调递增；63 6x时,'( )0v x，( )V x单调递减； 6x时，( )V x取得最大值126； （ 3）过 F作 ACMF /交 AD与M, 则 1 2 BMBFBEBE ABBCBD AB ，212MBBE,26PM， 66 54942 3 3 6 MFBFPFBC， 在PFM中， 84722 cos 427 PFM，异面直线 AC与PF所成角的余弦值为 2 7 ；