2012年1月自考高等数学一(微积分)试题及答案-赢在路上DOC.pdf

北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 1 全国 2012 年 1 月自学考试高等数学（一）试题 课程代码 :00020 一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题2 分，共 10 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中为奇函数的是（） A.( ) 2 xx ee f xB.( ) 2 xx ee f x C. 3 ( )cosf xxxD. 5 ( )sinf xxx 2.当0x时，下列变量为无穷小量的是（） A. 1 exB.ln x C.x sin 1 x D. 1 sin x x 3.设函数 f (x)= 2 ln(1),0 , ,0 xx xx 则 f (x)在点 x=0 处（） A.左导数存在，右导数不存在B.左导数不存在，右导数存在 C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在 4.曲线 y= 3 2x在 x=1 处的切线方程为（） A.x-3y-4=0 B.x-3y+4=0 C.x+3y-2=0 D.x+3y+2=0 5.函数 f (x)=x 2+1 在区间 1,2上满足拉格朗日中值公式的中值 =（） A.1 B. 6 5 C. 5 4 D. 3 2 二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 2 6.函数 f (x)= 2 32 1 5 x 的定义域为 _. 7.设函数 f (x)= 2 (1) ,0 cos ,0 x xx axx 在点 x=0 处连续，则a=_. 8.微分 d(e -2+tan x)=_. 9.设某商品的需求函数为Q=16-4p，则价格p=3 时的需求弹性为_. 10.函数 f (x)=x-2cos x 在区间 0, 2 上的最小值是_. 11.曲线 y= 2 2 23 1 xx x 的铅直渐近线为_. 12.无穷限反常积分 4 0 2 d 1 x x x =_. 13.微分方程xy-2y=0 的通解是 _. 14.已知函数f (x)连续，若(x)=x 1 x f (t)dt，则(x)=_. 15.设函数 z=sin(xy 2)，则全微分 dz=_. 三、计算题（一） （本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分） 16.求数列极限 2 2 1 lim(62)sin. 31 n n n 17.设函数 f (x)= 2 1xarctan x-ln( x+ 2 1x)，求导数f(1). 18.求极限 30 sin lim 11 x xx x . 19.求不定积分 3 ln dxxx. 20.设 z=z(x，y)是由方程xz+y 2+ez=e所确定的隐函数，求偏导数 (0,0) z x . 四、计算题（二） （本大题共3 小题，每小题7 分，共 21 分) 21.确定常数a,b 的值，使得点(1, 1 2 )为曲线 y= 32 1 1 4 xaxbx的拐点 . 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 3 22.计算定积分I= 3 2 0 coscos d .xxx 23.计算二重积分I= 4 1 1Dx dxdy，其中 D 是由曲线y=x 3， x=l 及 x 轴所围成的区域，如图所示. 五、应用题（本题9 分） 24.设 D 是由曲线y=e x，y=e-x 及直线 x=l 所围成的平面区域， 如图所示 . (1)求 D 的面积 A. (2)求 D 绕 x 轴一周的旋转体体积Vx. 六、证明题（本题5 分） 25.证明：当x0 时， e 2x1+2x. 一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 下列函数中为奇函数的是（） A. ( ) 2 xx ee f x B.( ) 2 xx ee f x C. 3 ( )cosf xxx D. 5 ( )sinf xxx 答案： B 知识点：函数奇偶性 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 4 解：()( ) 2 xx ee fxf x故( ) 2 xx ee f x为偶函数 ()( ) 2 xx ee fxf x，故( ) 2 xx ee f x为奇函数 3 3 ()coscosfxxxxx， 故 3 ()c o sfxxx为非奇 非偶函数 5 5 ()sinsin( )fxxxxxfx，故 5 ( )sinf xxx 为偶函数 2. 当0x时，下列变量为无穷小量的是（） A. 1 e x B.ln x C.x sin 1 x D. 1 sin x x 答案： C 知识点：无穷小量 解： 1 0 0 0 0 lim e lim ln x=- 1 lim x sin =0 1 limsin x x x x x x x x =1 3. 设函数f (x)= 2 ln(1),0 , ,0 xx xx 则f (x)在点x=0处（） 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 5 A.左导数存在，右导数不存在B.左导数不存在，右导数存在 C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在 答案： C 知识点：导数的定义 解： 2 2 0 00 0 0 ln(1),0 (), ,0 0 '(0)lim0 0 ln(1)0 '(0)limlim1 0 '(0)20 1 '(0)1 1 x xx x x xx fx xx x f x xx f xx fx f x 法一： 法二： 所以原函数的左右导数都存在，但不可导 4. 曲线y= 3 2x在x=1 处的切线方程为（） A.x-3y-4=0 B.x-3y+4=0 C.x+3y-2=0 D.x+3y+2=0 答案： A 知识点：曲线的切线方程 解： 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 6 2 3 1 11 '2 33 1 1 3 340 x yx yx xy 所求切线斜率为： 所求切线方程为+1= 即 5. 函数f(x)=x 2+1在区间1,2 上满足拉格朗日中值公式的中值 =（） A.1 B. 6 5 C. 5 4 D. 3 2 答案： D 知识点：拉格朗日中值公式 解：根据拉格朗日中值公式 21 21 f(x)-f(x) f ()= x -x 得 2 ( )1,1, 523 2 211 3 2 fxxxx 12 =2 求解得到 二、填空题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6. 函数f (x)= 2 32 1 5 x 的定义域为 _. 答案：1 4- ， 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 7 知识点：函数定义域 解： 2 32 10 5 1 4 x 根据题意得 解得原函数定义域为- ， 7. 设函数f(x)= 2 (1) ,0 cos ,0 x xx axx 在点x=0处连续，则a=_. 答案： 2 e 知识点：函数的连续性 解： 0 22 211 2 000 2 limcos lim (1)lim(1)lim (1) (0) x xxx xxx axa xxxe fa ae 又函数在 x=0连续 8. 微分d(e -2 +tanx)=_. 答案： 2 sec 2 x dx x 知识点：函数微分 解：d(e -2 +tanx)= d(e -2 )+ d(tanx)=0+ 2 secx d(x)= 2 sec 2 x dx x 9. 设某商品的需求函数为Q=16-4p，则价格p=3时的需求弹性为 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 8 _. 答案： 3 知识点：需求价格弹性 解： 3333 '43 1644 pppp EQppp Qp EpQpp 10. 函数f(x)=x-2cos x在区间0, 2 上的最小值是 _. 答案： -2 知识点：函数最值 '( )12sin0( )0 2 (0)2,() 22 ( )02 2 fxxf x ff f x 解：由得在，上无驻点和不可导点 再由 故在，上的最小值为 - 11. 曲线y= 2 2 23 1 xx x 的铅直渐近线为 _. 答案：1x 知识点：曲线的渐近线 2 2 1 2 2 23 lim 1 23 1 1 x xx x xx x x 解： 曲线的铅直渐近线为 12. 无穷限反常积分 4 0 2 d 1 x x x =_. 答案： 2 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 9 知识点：无穷限反常积分 解： 22 44 000 21 ddarctan 112 x xxx xx 13. 微分方程xy-2y=0的通解是 _. 答案： 2 Cx 知识点：可分离变量的微分方程 2 2 : 2ln dx x C yCx dy 解 原方程分离变量为 y 两边同时积分得 lnylnx 即原方程的通解为 14. 已知函数f (x) 连续，若(x)=x 1 x f (t)dt，则 (x)=_. 答案： 1 ( )( ) x f t dtxf x 知识点：变限积分的导数 解： 1 '( )( ) x xf t dtxf x 15. 设函数 z=sin(xy 2)，则全微分 dz=_. 答案： 2 cos2yxyydxxdy 知识点：全微分 解： 222 2 d cos2cos cos2 zz zdxdy xy yxydxxyxydy yxyydxxdy 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 10 三、计算题（一）（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 16. 求数列极限 2 2 1 lim(62)sin. 31 n n n 答案： 2 知识点：数列极限 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 :lim(62)sin 31 62 lim 31 2 6 lim 1 3 2 1 : lim(62)sin 31 1 sin 31 2 lim 1 31 2 n n n n n n n n n n n n n n n 法一 法二 17. 设函数f (x)= 2 1xarctan x-ln(x+ 2 1x)， 求导数f(1). 答案： 4 2 知识点：函数导数 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 11 22 2 2 2 22 222 2 '( )1arctanln1' 1 21 1 arctan1 1 2 11 11 arctan 111 arctan 1 '(1) 4 2 fxxxxx x x x xx x xxx x x xxx xx x f 解： 18. 求极限 30 sin lim 11 x xx x . 答案： 1 3 知识点：洛必达法则 解： 2 300 3 2 0 0 sin1cos limlim 3 11 2 1 21 cos lim 3 1sin lim 3 1 3 xx x x xxx x x x x x x x 19. 求不定积分 3 ln dxxx. 答案： 4 4 1 ln 416 x xxC 知识点：不定积分的分部积分法 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 12 3 4 43 4 4 ln d 1 ln d 4 11 ln d 44 1 ln 416 xxx x x xxxx x xxC 20. 设z=z(x，y) 是由方程xz+y 2+ez=e所确定的隐函数，求偏导 数 (0,0) z x . 答案： 1 e 知识点：隐函数求导 2 1 (0,0) ( , , ) ''2' ' ' 11 0 z z xyz x z z F x y zxzyee FzFyFxe Fzz xFxe z xee 解： 设 则 ， 所以 四、计算题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分) 21. 确定常数a,b的值，使得点 (1, 1 2 )为曲线y= 32 1 1 4 xaxbx的 拐点. 答案： 3 0 4 ab， 知识点：曲线拐点 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 13 11 (1)1 42 3 “(1)20 2 3 0 4 fab fa ab 解： 由题意得 解得 ， 22. 计算定积分I= 3 2 0 coscos d .xxx 答案： 2 3 知识点：定积分换元法 解： 322 222 000 22 00 0 1 0 3 2 1 coscos dcos1 cos dcos sin d sincos dcos dcos cos d 22 33 xxxxxxxxx xxxxx xuuu u 令 23. 计算二重积分I= 4 1 1Dx dxdy，其中D是由曲线y=x 3，x=l 及 x 轴所围成的区域，如图所示. 答案： 2-1 2 知识点：二重积分 解： 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 14 3 3 4 1 4 00 1 0 4 0 13 4 0 1 4 4 0 1 4 0 1 d d 1 1 d 1 1 d 1 =d 1 11 d 1 4 1 1 1 2 2-1 2 D x x Iy x y x dy x x yx x x x x x x x 五、应用题（本题9 分） 24. 设D是由曲线y=e x，y=e-x 及直线x=l 所围成 的平面区域，如图所示 . (1) 求D的面积A. (2) 求D绕 x 轴一周的旋转体体积Vx. 答案： 1 2e e ； 2 2 1 2 2 e e 知识点：定积分的几何应用 解： 1 1 0 0 1 ()2 xxxx Aeedxeee e 北京赢在路上学校 www.xueliedu.com 15 1 1 22222 2 0 0 1 ()2 22 xxxx x Veedxeee e 备注：习题 5.10 第 1 题的第 6）题 六、证明题（本题5 分） 25. 证明：当x0时，e 2x1+2 x. 知识点：函数单调性 解： 2 2 2 1200, '22 '0 012 . x x x fxexf fxe fxfx fxfex 设，则其导数 因为当 x0时，所以当x0时单调增加， 从而当 x0时，即