全等三角形的经典模型(一).pdf

. 作弊？ 漫画释义 三角形 9 级 全等三角形的经典模型（二） 三角形 8 级 全等三角形的经典模型（一） 三角形 7 级 倍长中线与截长补短 秋季班第四讲 秋季班第三讲 秋季班第二讲 满分晋级 3 全等三角形的 经典模型（一） . D C BA 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： 利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或 904545° ，） . 如图 1； 常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题. 如图 2； 补全为正方形. 如图 3，4. 图 1 图 2 图 3 图 4 思路导航 知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型 . A B C O M N A B C O M N 【例 1】 已知：如图所示，RtABC 中， AB=AC，90BAC°，O 为 BC 的中点， 写出点 O 到 ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要 求证明） 如果点M、N 分别在线段AC、 AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断 OMN 的形状，并证明你的结论. 如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动，且在移动中 保持 AN=CM，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明 【解析】 OA=OB=OC 连接 OA, OA=OC45BAOC°AN=CM ANO CMO ON=OM NOAMOC 90NOABONMOCBON 90NOM OMN 是等腰直角三角形 ONM 依然为等腰直角三角形， 证明： BAC=90° ，AB=AC，O 为 BC 中点 BAO=OAC=ABC=ACB=45° ， AO=BO=OC， 在ANO 和CMO 中， ANCM BAOC AOCO ANO CMO（ SAS） ON=OM，AON=COM ， 又 COMAOM=90° ， OMN 为等腰直角三角形 【例 2】 两个全等的含30 ， 60 角的三角板ADE和三角板ABC，如 图所示放置，,E A C 三点在一条直线上，连接 BD，取BD的 中点M ，连接ME，MC试判断EMC的形状， 并说明理由 【解析】EMC是等腰直角三角形 典题精练 A B C O M N M E D C B A . F E D C B A N M 1 2 A B C D E F 3 M 1 2 A BC D E F 3 证明：连接AM由题意，得 ,90 ,90.DEACDAEBACDAB DAB为等腰直角三角形. DMMB， ,45MAMBDMMDAMAB 105MDEMAC， EDMCAM ,EMMCDMEAMC 又90EMCEMAAMCEMADME CMEM， EMC是等腰直角三角形 【例 3】 已知：如图，ABC中，ABAC，90BAC°，D是AC的中 点，AFBD于E，交BC于F，连接DF 求证：ADBCDF 【解析】 证法一：如图，过点A作ANBC于N，交BD于M ABAC，90BAC°， 345DAM° 45C°，3C AFBD，190BAE° 90BAC°，290BAE° 12 在ABM和CAF中， 12 3 ABAC C ABMCAFAMCF 在ADM和CDF中， ADCD DAMC AMCF ADMCDF ADBCDF 证法二：如图，作CMAC交AF的延长线于M AFBD，3290°， 90BAC°， 1290°， 13 在ACM和BAD中， M E D C B A . P CB A P CB A D 13 90 ACAB ACMBAD° ACMBAD MADB，AD CM ADDC，CMCD 在CMF和CDF中， 45 CFCF MCFDCF CMCD ° CMFCDFMCDF ADBCDF 【例 4】 如图，等腰直角ABC中，90ACBCACB，° ，P为ABC内部一点，满足 求证：15BCPPBPCAPAC， 【解析】 补全正方形ACBD，连接 DP， 易证ADP是等边三角形，60DAP，45BAD， 15BAP，30PAC， 75ACP， 15BCP 【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰 直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易 的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下： 【探究一】证角等 【备选 1】如图， RtABC 中， BAC=90° ，AB=AC，M 为 AC 中点， 连结 BM，作 ADBM 交 BC 于点 D，连结 DM，求证 :AMB=CMD . 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰RtBFC，延长 AD 交 CF 于点 N， ANBM，由正方形的性质，可得AN=BM， 易证 RtABM RtCAN， AMB= CND，CN=AM， M 为 AC 中点， CM=CN， 1=2，可证得 CMD CND， CND=CMD ， AMB=CMD 【探究二】判定三角形形状 【备选 2】如图， RtABC 中， BAC= 90° ，AB=AC，AD=CE， ANBD 于点 M，延长 BD 交 NE 的延长线于点F，试判定 DEF 的形状 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰RtBHC， 可知四边形ABHC 为正方形，延长AN 交 HC 于点 K， AKBD，可知 AK=BD，易证 :RtABDRtCAK， ADB=CKN ，CK=AD， AD=EC，CK=CE， 易证 CKN CEN， CKN=CEN， 易证 EDF =DEF ， DEF 为等腰三角形 【探究三】利用等积变形求面积 【备选 3】如图， RtABC 中， A=90° ，AB=AC，D 为 BC 上一点， DEAC，DF AB， 且 BE=4，CF=3，求 S矩形 DFAE 2 1 N F A BC D M EE M D CB A A B C D E F N M K H M N F E D C B A . 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 的对称的等腰RtGCB， 可知四边形ABGC 为正方形，分别延长FD、 ED 交 BG、CG 于点 N、M， 可知 DN=EB=4，DM=FC=3， 由正方形对称性质， 可知 S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM· DN=3 4=12 【探究四】求线段长 【备选 4】如图， ABC 中， ADBC 于点 D， BAC=45° ，BD=3，CD=2，求 AD 的长 【分析】 此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐， 本题尽 管已知条件不是等腰直角三角形，但 BAC=45° ，若分别以AB、AC 为对称轴作 RtADB 的对称直角三角形和Rt ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等 且夹角为90° 的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正 方形 【解析】 以 AB 为轴作RtADB 的对称的RtAEB，再以AC 为轴作RtADC 的对称的 RtAFC 可知 BE=BD=3，FC =CD=2， 延长 EB、FC 交点 G， BAC=45° ， 由对称性，可得EAF=90° ，且 AE=AD=AF， 易证四边形AFGE 为正方形，且边长等于AD， 设 AD=x，则 BG=x3，CG=x2， 在 Rt BCG 中，由勾股定理，得 22 2 235xx， 解得 x=6，即 AD=6 【探究五】求最小值 G M N F E D C B A F E D C B A G F E D CB A D CB A . E D C B A 21 【备选 5】如图， RtABC 中， ACB=90° ，AC=BC=4，M 为 AC 的中点， P 为斜边 AB 上 的动点，求PM+PC 的最小值 【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtACB 关于 AB 对称的 RtADB ， 可知四边形ACBD 为正方形，连接CD，可知点C 关于 AB 的对称点D，连接 MD 交AB 于点P，连接CP，则PM+PC 的值为最小，最小值为:PM+PC=DM= 22 422 5 常见三垂直模型 【引例】已知 ABBD，ED BD，AB=CD，BC=DE，求证： ACCE； 若将 CDE 沿 CB 方向平移得到等不同情形， 1 ABC D ， M P D BC A M P BC A 例题精讲 思路导航 题型二：三垂直模型 . C1 A BC E DD E (C)B A C1C1 A BC E DC1 A B C E D 2 1 G F E O y x 3 D C B A O y x D C B A 其余条件不变，试判断ACC1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由. 【解析】 ABBD，EDBD 90BD 在ABC与CDE中 ABCD BD BCDE ABCCDE（SAS） 1E 290E 90ACE,即 ACCE 图 四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明 1 ABCC DE 1 ACBC ED 11 90C EDDC E 1 90DC EACB ACC1E 【例 5】 正方形ABCD中，点 A 、 B的坐标分别为 010， 84，点C在第一象限求 正方形边长及顶点C的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和 等于斜边的平方 .） 典题精练 . 【解析】 过点 C 作 CGx 轴于 G，过 B作 BEy 轴于 E，并反向延长交CG 于 F 点A、 B的坐标分别为010，84， BE=8， AE=6， AB=10 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC 1390239 0 12 90AEBBFC AEB BFC CF =BE=8，BF=AE=6 CG=12EF=14 C(14，12)，正方形的边长为10 【点评】 此 题中三垂直模型： 【例 6】 如图所示， 在直角梯形ABCD中，90ABC，ADBC， ABBC，E是AB的中点，CEBD 求证：BEAD； 求证：AC是线段ED的垂直平分线； DBC是等腰三角形吗？请说明理由 【解析】 90ABC，BDEC， 9090ECBDBCABDDBC， ECBABD， 90ABCDAB，ABBC， BADCBE，ADBE E是AB中点， EBEA 由得：ADBE，AEAD ADBC，45CADACB， 45BAC，BACDAC 由等腰三角形的性质，得：EMMDAMDE， 即AC是线段ED的垂直平分线 DBC是等腰三角形，CDBD 由得：CDCE，由 得：CEBD CDBD，DBC是等腰三角形 A BC D E M . 【例 7】 如图 1，ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且BD=CE，连接 AE、 CD 相交于点P请你补全图形，并直接写出APD 的度数 = ； 如图 2， RtABC 中， B=90° ， M、 N 分别是 AB、 BC 上的点，且 AM=BC、 BM=CN， 连接 AN、CM 相交于点P请你猜想 APM= ° ，并写出你的推理过程 （2013 平谷一模） 【解析】 图略， 60° 45° 证明：作AEAB 且 AECNBM . 可证EAMMBC MEMC，.AMEBCM 90 ,CMBMCB90 .CMBAME 90 .EMC EMC是等腰直角三角形,45 .MCE 又AEC CAN（SAS） .ECANAC ECAN. 45 .APMECM E A B C M N P 图 2 图1 P N M C B A C BA . A B C D E F E D C B A 训练 1.已知：如图， 中， AC=BC， 90ACB ， D 是 AC 上一点， AEBD 的延 长线于 E，并且 1 2 AEBD，求证： BD 平分ABC . 【解析】 延长 AE 交 BC 的延长线于F BEAF ，90ACB FACDBC 在AFC 和 BDC 中， FACDBC ACBC ACFBCD AFCBDC（ASA ） AF=BD 又 1 2 AEBD 1 2 AEAFEF ABC 思维拓展训练( 选讲 ) . G O F E D C B A E F D C B A G H F E D CB A BE 是 AF 的中垂线 BA=BF BD 平分ABC 训练 2.已知，在正方形ABCD 中， E 在 BD 上， DGCE 于 G， DG 交 AC 于 F.求证：OE=OF 【解析】 ABCD 是正方形 OD=OC 90DOC DGCE 90DGC DOCDGCOFDGFC O D FE C O 在DOF 和 COE 中， DOFCOE ODOC ODFOCE DOF COE（ASA ） OE=OF 训练 3.已知：如图，中，D是BC的中点，AFBE于 G求证： DHDF 【解析】 ，是BC的中点 AD=BD=CD，AD BC 90ADB AFBE 90AGH DBEDAF 在BDH 和ADF 中， DBHDAF BDAD ADBADF BDH ADF（ASA ） DH =DF 训练 4.如图，已知矩形ABCD 中， E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EFEC，且 EF=EC， DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为32cm，求 AE 的长 【解析】 在 Rt AEF 和 RtDEC 中，EFCE， FEC=90° ， AEF+DEC=90° ，而 ECD+DEC=90° ， AEF= ECD 又 FAE=EDC=90° EF=EC RtAEFRtDCE ABCABAC90BAC° ABAC90BAC° D . AE=CD AD =AE+4 矩形 ABCD 的周长为32 cm， 2（AE+AE+4）=32 解得 AE=6 cm . E D C BA AB C D E F 题型一等腰直角三角形模型巩固练习 【练习 1】 如图， ACB、 ECD 均为等腰直角三角形，则图中与 BDC 全等的三角形为_. 【解析】 AEC 【练习 2】 如图，已知RtABC中90ACB°，ACBC，D是 BC的中点，CEAD，垂足为 EBF AC ，交 CE的延长线于点 F求证： 2ACBF 【解析】 90ACB°，BFAC， 90ACDCBF°， 90ADCCAD° CEAD， 90FCBADC°， CADFCB 又ACCB， ADCCFB DCFB D是BC的中点， 2BCBF， 即2ACBF 题型二三垂直模型巩固练习 【练习 3】已知：如图，四边形ABCD 是矩形（ AD AB） ，点 E 在 BC 上，且 AE =AD， DF AE，垂足为 F请探求DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并 给予证明 【解析】 经探求，结论是：DF = AB 证明如下： 四边形 ABCD 是矩形， B=90， ADBC， DAF = AEB DF AE， AFD =90， AE = AD ， ABEDFA AB = DF 复习巩固 F A D C E B . 图2 图1 G G A B C D E F F E D C B A 【练习 4】如图，ABC中，ACBC，90BCA°，D是AB上任意一点， AECD 交CD延长线于E，BF CD 于F求证：EFBFAE 【解析】 根据条件，ACE、CBF都与BCF互余， ACECBF 在ACE和CBF中， ACCB，90AECCFB°， ACECBF 则CEBF，AECF， EFCECFBFAE 【练习 5】四边形 ABCD 是正方形 如图 1，点 G 是 BC 边上任意一点(不与 B、C 两点重合 )，连接 AG，作 BFAG 于点 F，DEAG 于点 E求证： ABF DAE； 在中，线段 EF 与 AF、 BF 的等量关系是(直接写出结论即可， 不需要证明 )； 如图 2，点 G 是 CD 边上任意一点 (不与 C、D 两点重合 )，连接 AG，作 BFAG 于点 F， DE AG 于点 E 那么图中全等三角形是， 线段 EF 与 AF、 BF 的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证 明) 【解析】 在正方形ABCD 中， AB=AD ，90BAD° 90BAFDAE° 90BAFABF ABFDAE 在ABF 和DAE中 , , , ABFDAE AFBDEA ABDA ABFDAE （AAS ） EFAFBF ABF DAE EFBFAF F E D C B A . 测试 1.问题 ：已知ABC中，2BACACB，点D是ABC内的一点， 且ADCD， BDBA探究DBC与ABC度数的比值 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明 当90BAC时，依问题中的条件补全右图 观察图形， AB与AC的数量关系为 _； 当推出15DAC时，可进一步推出DBC的度数为 _； 可得到DBC与ABC度数的比值为 _ （2010 北京中考） 【解析】相等 ；15°；1: 3 课后测 图1 D C B A C B A . EC D B A F P Q M C B A 测试 2.已知：如图，在 ABC 中，90ACBCDAB，于点 D， 点 E 在 AC 上， CE=BC， 过 E 点作 AC 的垂线，交CD 的延长线于点F. 求证： AB=FC. 【解析】FEAC于点E，90ACB°， 90FECACB° 90FECF° 又CDAB于点D， 90AECF° AF 在ABC和FCE中， , , , AF ACBFEC BCCE ABCFCE ABFC 测试 3.如图，RtABC 中， C=90°,10cmAC，5cmBC，一条线段PQ=AB，P， Q 两点分别在AC 上和过 A点且垂直于AC 的射线 AM 上运动 . 当 ABC 和 APQ 全等时 ,点 Q 到点 A 的距离为 _ . 5cm 或 10cm.