4.2调和函数的基本性质.pdf

, 0dS n u 性质 1(12) 4.2 调和函数的基本性质 设函数 它在上连续，且 不为常数 ， ),(zyxu 则 内的 调和函数 ，是区域性质3 它的最大值、 最小值只能在边界上达到 ( 极值原理 ) 。 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质 2 (13) 3 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 若存在一点 则由函 1 M 以 , R K 为心， 事实上， 用反证法 . 假定函数 u 1 M达到最大值，在某点 在区域中， ).()( 1 MuMu 记 任意长R为半径作球 ( 极值原理 ) 使它完全落 R K的球面为, R S则在 R S上满足 ,M使得 邻域， ),()( 1 MuMu 数的连续性，必可找到此点在球面 R S上的一个 因此，即使在此邻域中也有 ).()( 1 MuMu 在球面 R S的其余部分上满足 也有 ),()( 1 MuMu dSMudSMu RR SS )()( 1 3 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 1 M 以 , R K 为心， 用反证法 . 假定函数 u 1 M达到最大值，在某点 在区域中， ).()( 1 MuMu 记 任意长R为半径作球 ( 极值原理 ) 使它完全落 R K的球面为, R S则在 R S上满足 dSMu R dSMu R RR SS )( 4 1 )( 4 1 1 22 ),( 1 Mu ),()( 4 1 1 2 MudSMu R R S 但由 平均值公式 (13) 得 矛盾。 ).()( 1 MuMu 则在球面R S 上满足 事实上， 3 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 1 M 以 , R K 为心， 用反证法 . 假定函数 u 1 M达到最大值，在某点 在区域中， ).()( 1 MuMu 记 任意长R为半径作球 ( 极值原理 ) 使它完全落 R K的球面为, R S则在 R S上满足 同理，1 M 在以为心，任意)(Rrr为半径的球面 上，也有 ).()( 1 MuMu R K 因此，在 整个球中恒有 ).()( 1 MuMu 3 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 现在证明对于 , l 中的所有点 都成立 在区域中作连接 .d 任取一点 ,N 到区域 ( 极值原理 ) 折线 NM , 1 两点的 边界的最小距离为 ).( 1 Muu l记折线 d 1 M N l 1 K 1 S 2 M 2 K 2 S 3 M n K n M n S 由于点N的任意性 ， 上满足整个区域 ).()( 1 MuMu 就得到 与题设矛盾。 则极值原理 得证。 它在上连续，且 不为常数 ， ),(zyxu 则 内的调和函数 ，是区域性质3 它的最大值、 最小值只能在边界上达到 ( 极值原理 ) 。 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 设 且在 上连续， vu, 则在 内的 调和函数 ，都是区域 推论 若在 且只有在 vu时， ( 比较原理 ) , vu 边界上成立不等式 内该不等式同样成立， 内等号才成立。 在 。 利用 极值原理 证明狄利克雷问题 ),(|zyxfu ,),(,0),(zyxzyxu (14) 设 .0|u 并且 由极值原理 知 21,u u 21 uuu 故在 则是问题 (14) 的两个解， 在 这就证明了狄氏问题解的惟一性。 ,0u即 ,0u 内既不能大于 0，又不能 上有 u 内的调和函数，即 小于0， 是 . 21 uu 对于在区域 有一阶连续偏导数的函数我们有等式 在边界 还不能直接由 (8) 式求出。 此积分表达式表示函数 但狄利克雷问题 或诺依曼问题 的解 上的数值 表示出来。 n u 中为调和函数 ，在 ,u 及其法向导数 上具 u . )(11 )( 4 1 )( 00 0 dS n Mu rrn MuMu MMMM (8) 内部的数值在区域 可以用函数u 格林函数 对于在区域 有一阶连续偏导数的函数我们有等式 由于在边界 因此上狄利克雷问题 的解是 惟一 的， 上的值就不知道， 的值就不能再任意给定了。 n u 中为调和函数 ，在 ,u 上具 . )(11 )( 4 1 )( 00 0 dS n Mu rrn MuMu MMMM (8) 给定的， 在边界 n u 比如，对于 狄利克雷问题 ， 而 u上的值是已在