最新大一(第一学期)高数期末考试题及答案.pdf
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. )(0),sin(cos)( 处有则在设xxxxxf . （A） (0)2f （B） (0)1f （C） (0)0f （D） ()f x 不可导 . 2. ）时（ ，则当，设133)( 1 1 )( 3 xxx x x x . （A） ( )( )xx与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B） ( )( )xx与 是等价无穷小； （C） ( )x 是比 ( )x 高阶的无穷小；（D） ( )x 是比 ( )x 高阶的 无穷小 . 3.若 ( )()( ) 0 2 x F xtx f t dt ， 其 中 ( )fx 在 区 间 上 ( 1,1) 二 阶 可 导 且 ()0fx ，则（）. （A）函数 ( )F x 必在 0x 处取得极大值； （B）函数 ( )F x 必在0x处取得极小值； （C）函数 ( )F x 在 0x 处没有极值，但点 (0,(0)F 为曲线 ( )yF x 的拐点； （D） 函数 ( )F x 在 0x 处没有极值，点 (0,(0)F 也不是曲线 ( )yF x 的拐点。 4. )()(,)(2)()( 1 0 xfdttfxxfxf则是连续函数，且设 （A） 2 2 x （B） 2 2 2 x （C） 1x （D） 2x . 二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. x x x sin 2 0 )31(l im . 6. ,)( cos 的一个原函数是已知xf x x x x x xfd cos )(则 . 7. lim(coscoscos) 222 21 n n nnnn . 8. 2 1 2 1 2 2 1 1arcsin dx x xx . 三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9.设函数 ( )yy x 由方程 sin()1 xy exy 确定，求 ()yx 以及 (0)y . 10. .d )1( 1 7 7 x xx x 求 11. 求 ， ， 设 1 32 )( 102 0 )(dxxf xxx xxe xf x 12.设函数 )(xf 连续， 1 0 ()()g xfxt dt ， 且 0 () lim x f x A x ，A为常数 . 求 ( )g x 并讨论 ( )g x 在 0x 处的连续性 . 13.求微分方程 2lnxyyxx 满足 1 (1) 9 y 的解. 四、 解答题（本大题 10 分） 14.已知上半平面内一曲线 )0()(xxyy ，过点 ( , )01 ，且曲线上任一点 M xy(,) 00 处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、 y轴、直线xx0 所围成 面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10 分） 15.过坐标原点作曲线 xyln 的切线，该切线与曲线 xyln 及 x 轴围 成平面图形 D. (1)求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 8 分） 1.设 函 数 )(xf 在 0,1 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 , 0 1q ， 1 00 ()( ) q fx d xqfx dx . 2.设函数 )(xf 在 , 0 上连续， 且 0)( 0 xdxf ， 0cos)( 0 dxxxf . 证明：在 ,0 内至少存在两个不同的点 21, ，使 .0)()( 21 ff （提 示：设 x dxxfxF 0 )()( ） 解答 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16分） 5. 6 e . 6. c x x 2 ) cos ( 2 1 .7. 2. 8. 3 . 三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9.解：方程两边求导 ( 1)cos() () xy eyxy xyy cos() ( ) cos() xy xy eyxy y x exxy 0,0xy ， (0)1y 10. 解： 76 7uxx dxdu 1(1)112 () 7(1)71 u dudu uuuu 原式 1 (ln | 2ln |1|) 7 uuc 7712 ln|ln |1| 77 xxC 11. 解： 101 2 330 ( )2 x f x dxxe dxxx dx 01 2 30 ()1(1) x xdexdx 00 2 3 2 cos(1sin) xx xeedx 令 3 21 4 e 12. 解：由 (0)0f ，知 (0)0g 。 1 0 0 ( ) ()() x xtu f u du g xfxt dt x (0 )x 0 2 ( )( ) ()(0) x xf xf u du g xx x 0 2 00 ( ) ( )A (0)limlim 22 x xx f u du f x g xx 0 2 00 ( )( ) lim( )lim 22 x xx xf xf u du AA g xA x， ( )g x 在0x处连续。 13. 解： 2 ln dy yx dxx 22 (ln) dxdx xx yeexdxC 211 ln 39 xxxCx 1 ( 1 ),0 9 yC ， 11 ln 39 yxxx 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且 0 2d x yyxy ， 将此方程关于x求导得 yyy2 特征方程： 02 2 rr 解出特征根： . 2, 1 21 rr 其通解为 xx eCeCy 2 21 代入初始条件 yy( )( )001，得 3 1 , 3 2 21 CC 故所求曲线方程为： xx eey 2 3 1 3 2 五、解答题（本大题10 分） 15. 解： （1） 根据题意，先设切点为 )ln,( 00 xx ， 切线方程： )( 1 ln 0 0 0 xx x xy 由于切线过原点，解出 ex0 ，从而切线方程为： x e y 1 则平面图形面积 1 0 1 2 1 )(edyeyeA y （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 2 1 3 1 eV 曲线 xyln 与 x 轴及直线 x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积 为 V2 1 0 2 2 )(dyeeV y D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125( 6 2 21 eeVVV 六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 12 分） 16. 证明： 1 00 ( )( ) q f x d xqf x dx 1 00 ( )( )( ) qq q f x d xqf x d xf x dx
