1、用根本不等式求最值的类型及方法均值不等式是不等式一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。一、几个重要的均值不等式2t2a2+b22abab-(a.bR),当且仅当a=b时，=”号成立；a+b22a+b2abOab(、R),当且仅当a=b时，=号成立；a3+c32abcoabca+b+c(以b、c/T),当且仅当a=b=c时J=号成立；(三)a+h+c3VabcabcJ(“、。叱)，当且仅当a=b=c时号成立.注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正、二定”、三”等；熟悉一个重要的不等式链：-r4h0)图象
2、及性质X(1)函数f(x)=x+2(0、b)图象如图:X函数/(x)=r+2(4、匕0)性质：X值域：(-O0,-2U2J,+oo)；单调递增区间：(70,1,+8)；单调递减区间：(O,三、用均值不等式求最值的常见类型类型I：求几个正数和的最小值。例1、x0)(2)y=2x+,x3(3)y=2sinx+-,x(0,%)Xx-3Sinx类型n：求几个正数积的最大值。例2、当0x4时，求y=M8-2%)的最大值。练习3=x2(3-2x)(0x-)类型m：用均值不等式求最值等号不成立。4例3、假设x、y,求/(尤)=x+(0O,yO,且一+=1,求x+y的最小值。Xy四、均值不等式易错例析：例1.求函数y=*+4)(x+9)的最值。X9例2.当x0时，求=4x+f的最小值。X24-5例3.求y=/-.(xR)的最小值。x2+414例4.x,y/T且一+=1,求=x+y的最小值.Xy综上所述，应用均值不等式求最值要注意，要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值或“积为定值”，要凑出“和为定值或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
