1、一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型蝴蝶型（不平行）（平行）（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型:（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型1 .如图，梯形ABCD中，ADIIBC,对角线AC、BD交于点O,BEllCD交CA延长线于E.求证：OC2=OAOE.2 .如图，在ABC中，AB=AC=IO,BC=16,点D是边BC上(不与B,C重合)一动点，ZADE=ZB=,DE交AC于点E.以下结论：_AD2=AEAB;(2)3.6AEIO;当AD=21时，ABDDCE；DCE为直角三
2、角形时，BD为8或12.5.其中正确的结论是把你认为正确结论的序号都填上)3 .：如图，ABC中，点E在中线AD上，ZDEB=ZABC.求证：(1)DB2=DEDA;(2) ZDCE=ZDAC.4 .：如图，等腰AABC中，AB=AC,AD_1.BC于D,CGlIAB,BG分别交AD、AC于E、F.求证：BE2=EFEG.5 .如图，AD为AABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FBFC.6 .：如图，在RSABC中，/090。，BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PDAB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且NEPD=NA.设A、P两点
3、的距离为X,BEP的面积为y.(1)求证：AE=2PE;(2)求y关于X的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当BEP与ABC相似时，求ABEP的面积.7 .如图，在AABC中，ZA=60%BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE.8 .如图，4ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且NDAE=I20。.(1)图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；(2)假设DB=2,CE=6,求BC的长.9 .(：如图，在RtZkABC中，AB=AC,ZDAE=45o.求证：(1) ABE-DCA；(2)BC2=2BECD.10 .如图，在等边ZiABC中，边长为6,
4、D是BC边上的动点，ZEDF=60o.(1)求证：BDESCFD；(2)当BD=I,CF=3时，求BE的长.11. (1)在AABC中，AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ=ZABC.假设点P在线段CB上(如图)，且BP=6,求线段CQ的长；假设BP=x,CQ=y,求y与X之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)正方形ABCD的边长为5(如图)，点P、Q分别在直线CB、DC点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ=90度.当CQ=I时，写出线段BP的长(不需要计算过程，请直接写出结果).13 .梯形ABCD中，ADIIBC,且A
5、DBC,AD=5,AB=DC=2.(1)如图，P为AD上的一点，满足NBPC=NA,求AP的长：(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足NBPE=NA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q.当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；当CE=I时，写出AP的长不必写解答过程)14 .如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,AB=CD=BC=6,AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作ZEMF=ZB,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1)求证：MEFSBEM;(2)假设ABEM是以BM为
6、腰的等腰三角形，求EF的长；(3)假设EF_1.CD,求BE的长.15 .在梯形ABCD中，ADIIBC,ADBC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：4BEPsaCPD；(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合)，且漏足NEPF=NC,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x,DF=y,求y关于X的函数解析式，并写出函数的定义域;当Smmfsabep时,求BP的长16 .如下图，边长为3的等边ABC,点F在边BC上，CF=1.点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边A
7、EFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N,(1)写出图中与BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE=X,MN=y,求y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；(4)假设AE=I,试求AGMN的面积.17 .如下图，矩形ABCD中，CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点(与A、D不重合)，过点P作PE_1.CP交直线AB于点E,设PD=x,AE=y,(1)写出y与X的函数解析式，并指出自变量的取值范围；(2)如果APCD的面积是AAEP面积的4倍，求CE的长；(3)是否存在点P,使AAPE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论.18 .如图，在RSABC中
8、ZC=90o,AB=5,tan二,，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE交射线AC于点F.(1)求AC和BC的长；(2)当EFIlBC时，求BE的长；(3)连接EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长.19 .如图，在RlAABC中，ZC=90o,AC=BC,D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点(与点A、C不重合)，DFDE,DF与射线BC相交于点F.(1)如图2,如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF;(2)如果AD：DB=m,求DE：DF的值；(3)如果AC=BC=6,AD：DB=I:2,设AE=x,BF=y,求y关于X的函数关系式，并写出定义域；以CE为直径的圆与直
9、线AB是否可相切？假设可能，求出此时X的值；假设不可能，请说明理由.20 .如图，在AABC中，ZC=90o,AC=6,tan-D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作ZDEF=90o,EF交射线BC于点F.设BE=x,BED的面积为y.(1)求y关于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.21 .如图，在梯形ABCD中，ABIICD,AB=2,AD=4,tanC=lNADC=NDAB=90。，P是腰BC上一3个动点(不含点B、C),作PQJ1.AP
10、交CD于点Q(图1)(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；(2)当PQ=DQ时，求BP的长；(图2)(3)设BP=x,CQ=y,试求y关于X的函数解析式，并写出定义域.1.解答:证明：,aDIIBC,.,.=P,又BEllCD,.*.P=,/.=,BPOC2=OAOE.OCOBOBOEOCOE2.解解：.AB=AC,/.ZB=ZC,答：又.NADE=ZB.NADE=ZC,/.ADESAACD,延回，/.AD2=AEAB,AEAD故正确，易证得CDESBAD,BC=16,设BD=y,CE=x,丝=以，/.10=y,整理得：y2-16y+64=64-IOx,CDCE16-yx即(y-8)2=64-
11、10x,/.0x6.4,/AE=AC-CE=IO-X,/.3.6AE.迦D，.bd2=adde.BD-AD.AD是中线，.CD=BD,.CD2=ADDE,望，DE-CD又NADC=ZCDE,/.DECSDCA,二ZDCE=ZDAC.证明：连接CE,如右图所示，,AB=AC,ADJ_BC,.AD是NBAC的角平分线，.BE=CE,ZEBC=ZECB又.ZABC=ZACB,.ZABC-ZEBC=ZACB-ZECB,即NABE=ZACE,又.CGIIAB,/.ZABE=ZCGF,/.ZCGF=ZFCE,又NFEC=ZCEG,.CEFSGEC,CE:EF=EG:CE,即ce2=efeg,又CE=BE,
12、BE2=EFEG.5.解答：.AD是角平分线，.NBAD=nCAD,又EF为AD的垂直平分线，.AF=FD,ZDAF=ZADF,/.ZDAC+ZCAF=ZB+ZBAD,ZCAF=ZBt：ZAFC=ZAFC,.ACFSBAF,即里包，.AF2=CFBF,即FD2=CFBF.AFBF6.解答：解：(1)/APD=ZC=90o,ZA=ZA,ADPSABC,里区=工，APAC2.ZEPD=ZA,ZPED=ZAEP,EPDSAEAP.(2)由4EPDSEAP,得典=里工，PEAP2PE=2DE,/.AE=2PE=4DE,P巫FDj,!TAP2.AE=2PE.作EHJ_AB,垂足为点H,.AP=x,/.
13、PD=Ix,/PDIIHE,.眠捶=W.HE=2.2PDAD33又AB=25/,y=-(25X)当,即y=.Ix2+.2333定义域是OVXVazl5另解：由4EPDSEAP,得还二理J,PEAPPE=2DE.AE=2PE=4DE./.AE=24x5x.25xSABE=12=,.三=BP,即小当号233ABE2V5253y=+2娓X.定义域是OVXVaZ335(3)由APEH-BAC,得胆丝，.PE=Jx近二近X.HEAC323当BEP与ABC相似时，只有两种情形：NBEP=NC=90。或NEBP=NO90。.当BEP=90。时,里空,.当X=4=.PBAB5v-.Ixx9x5+25x35.2
14、53163416(ii)当NEBP=90。时，同理可得x=25,y=5._24解得X=NZl4B7.解证明：.BDCE分别是AC与AB边上的高，.NBEC=NBDc,答：.B、C、D、E四点共圆，.NAED=NACB,而NA=NA,/.AEDSACB,.迈萼；BC-AB.BDAC,且NA=60%/.ZABD=30,AD=I而，.BC=2DE.8.解解：（1）有DAESDBASACE.答：,/ABC是等边三角形.ZABC=ZACB=ZBAC=60o.,.ZD+ZDAB=60o,ZE+ZCAE=6O0.ZDAE=120o,/.ZDABZEAC=60o./.ZD=ZCAE,ZE=ZDAB.,.ZD=
15、ZD,ZE=ZE,.DAESADBASACE.DBASACE,.DB:AC=AB:CE.AB=AC=BC,DB=2,CE=6.BC2=DB-CE=I2,.BOO,.BC=239 .解证明：（1）在RtZkABC中，答：/AB=AC,/.ZB=ZC=45o.ZBAE=ZBAD+ZDAE,ZDAE=45o,/.ZBAE=ZBAD+45o.而NADC=ZBAD+ZB=ZBAD+45%ZBAE=ZCDA.ABESDCA.（2）由ABESDCA,得BE=ACBECD=ABAC.AB-CD而AB=AC,BC2=AB2+AC2,BC2=2AB2.,.BC2=2BECD.10 .解（I）证明：ABC为等边三角
16、形，.NB=C=6（T,答：.ZEDF=60。，.ZBED+ZEDB=ZEDB+ZFDC=120,ZBED=ZFDC,.*.BDE-CFD；（2）解：由（1）知BDE-CFD,CDCF.BO6,BD=I,/.CD=BC-BD=5,.=1,解得BE=g53311 .解解：（1）.NAPQ+/CPQ=NB+NBAP,ZAPQ=ZABC,/.ZBAP=ZCQP.答：又AB=AC,/.ZB=ZC.CPQSBAP./.CQ=CP.BP-AB/AB=AC=5,BC=8,BP=6,CP=8-6=2,.0/,CQ655假设点P在线段CB上，由(1)知型F，BPAB1/BP=x,BO8,/.CP=BC-BP=8
17、x,故所求的函数关系式为y=-t2,(ovV8).假设点P在线段CB的延长线上，如图.NAPQ=NAPB+/CPQ,ZABC=ZAPB+ZPAB,ZAPQ=ZABC,.ZCPQ=ZPAB.又NABP=180-NABC,ZPCQ=1800-ZACB,ZABC=ZACB,CQ-PC.BP=x,CP=BC+BP=8+x,AB=5,CQ=y,(2)当点P在线段BC上,ZAPQ=90o,.ZAPBZQPC=90o,.ZPAB+ZAPB=90o,.ZPAB=ZQPC,ZB=ZC=90o,.AABPSPCQ,.AB：PC=BP:CQ,即5：(5-BP)=BP：1,解得：BP上坐，或BP=.一番当点P在线段
18、BC的延长线上，那么点Q在线段DC的延长线上,同理可得：ABPSPCQ,.AB：PC=BP:CQ,/.5：(BP-5)=BP：1,解得：Rp=5+3恒2当点P在线段CB的延长线上，那么点Q在线段DC的延长线上,同理可得：ABPSPCQ,.AB：PC=BP:CQ,5：1BP+5)=BP:I,解得：BP=-5+3巡.Dr213.解解：(1).ABCD是梯形，ADIIBC,AB=DC.TNA=ND答：/ZABP+ZAPB+ZA=I80o,ZAPB+ZDPC+ZBPC=180,ZBPC=ZA.ZABP=ZDPC,.ABPSDPC延望，即：延=?解得：AP=I或AP=4.CDPD25-AP(2)由(1)
19、可知：4ABPsADPQ理即：_=_.y-A2+-x-2(lxFC=1(15+1)即EB_3，得BE=(7-l).3-(Ii+)7(1)证明：.在梯形ABCD中，ADIIBC,AB=DC,/.NB=NC-2口：BE=2,BP=2,CP=4,CD=4.二坦厘./.BEPSCPD.CP-CD(2)解：.NB=NC=NEPF.18O-ZB=18O-ZEPF=ZBEP+ZBPE=ZBPE+ZCPF.ZBEP=ZFPC,BEPSCPF,/.EBBF./._2CP-CF6-x=y4-y=-l23x-412VxV4).当点F在线段CD的延长线上时，ZFDM=ZC=ZB,ZBEP=ZFPC=ZFMD,.BEP
20、SDMF.J3,.31.DMF-4bBEPBP_2X/y-A2+3x-4X2-3x+8=0,3);综上所述：y=-X3-3x2+6x-42x(Oxl),或.y=2x3-3j+6-4D2x(4)(i)当AE=I时，AGMN是边长为1等边三角形,.SGMN=-1-=；(1分)224Iii)当AE=I时，GMN是有一个角为30的R(，,.x=4,y=.43-34264-4NG=FG-FNW近叵”,24.Sgmn=116.解解：(1)BEFSAMESCFNSGMN；答：证明：(2)在ABEF与AAME中，.ZB=ZA=60o,.ZAEM+ZAME=120%BEFSAME,/.BE：AM=BF:AE,-
21、2,Qx：AM=2:(3-x),.AM=X同理可证BEF-CFN；.BE：CF=BF:CN,217解解：.PE_1.CP,.可得：EAP-PDC,二期M，答：PD-CD又CD=2,AD=3,设PD=x,AE=y,/.-3/.y=-l2+,0x.IE=IpAFD2=EF-CD,即9k2+4=2(4-4k)FD-CD化简，得91?+8k-4=0解得k土；阮(负值舍去)，BE=5k-20：(3)过点E作EHJ_BC,垂足为H.易得AEHBsACB设EH=3k,BE=5k.ZHED+ZHDE=90oZFDC+ZHDE=90/ZEHD=ZC=90oEHDSDCF当4DEF和ABC相似时，有两种情况:1。
22、DEAC3.EH3DFBC4CD4即华T解得k，BE=5k=.ZHED=ZFDCEHDEcdz2df,2。星昼2，.图=1即解得DF-AC-3CD-321340，*.BE=5k=-ry综合1、2,当ADEF和AABC相似时，BE的长为国或里.2919.解证明：如图2,连接DC.答：/ACB=90%AC=BC,.,.ZA=ZB=45o,.点D是AB中点，.NBCD=NACD=45,CD=BD,/.ZACD=ZB=45o./EDDF,CDAB,.ZEDC+ZCDF=90o,ZCDF+ZFDB=90o,/.ZEDC=ZFDB,CEDBFD(ASA),/.DE=DF;(2)解：如图1,作DPJ_AC,
23、DQBC,垂足分别为点Q,P.ZB=ZA,ZAPD=ZBQD=90o,/.AADPSBDQ,DP：DQ=AD:DB=m.ZCPD=ZCQD=90o,ZC=90,.ZQDP=90o,DFDE,.ZEDF=900,/.ZQDF=ZPDE,.ZDQF=ZDPE=90,.DQFSDPE,/.DE：DF=DP:DQ,/.DE：DF=DP:DQ=AD:DB=m；(3)解：如备用图1,作EG_1.AB,FHAB,垂足分别为点G、H.在RSABC中，ZC=90o,AC=BC=6,/.AB=62*/AD：DB=I:2,/.AD=22,DB=42由NAGE=NBHF=90,NA=NB=45,_可得AG=EG=乎,
24、BH=FH=乎y,GD=22*丫，2、万-返X返XpPPZV22*9X,定义域是0Vx4.易证DGESFHD,/.生占，.1.=1.，Y=S-FHDH茅啦吗y如备用图2,取CE的中点O,作OMJ_AB于M.可得CE=6x,AO=3+.OM=乎(3).假设以CE为直径的圆与直线AB相切，那么6丁号(3+x)，解得x=18-12收，.当x=18-12：历时，以CE为直径的圆与直线AB相切.2解解：(1).在AABC中，ZC=90o,AC=6,tanB=,BC=8,AB=IO,答：4CD=DB=4.过点E作EH_1.CB于H.那么可求得EH=5.y=l4=x(0Vx上或5x10).2555(2)取A
25、E的中点O,过点O作OG_1.BC于G,连接OD.那么OG=)B=&12=-(10+x),GD=CD-CG=4-2.(10-x)=Zx,5521055OD=JI(1K2以X2.假设两圆外切，那么可得工BC+工AE=OD,.(BC+AE)2=4OD2,22.(8+10-)2=4-1.(10+x)2+-l2解得x=2P.100253假设两圆内切，得目BC-IAEI=OD,22.(BC-AE)2=4OD2,.(8-10+x)2=4-(10+x)2+-l210025解得X二理(舍去)，所以两圆内切不存在.所以，线段BE的长为”.73(3)由题意知NBEFH90。，故可以分两种情况.当NBEF为锐角时，
26、由以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，又知NEBF=/DBE,ZBEFZBED,所以ZBEF=ZBDE.过点D作DMJ_BA于M,过E作EHJ_BC于H.根据等角的余角相等，可证得NMDE=/HDE,EM=EH.又EM=MB-EB=以-X,5由(1)知：EH=X,/.x=2./.y=2=12.555、55当NBEF为钝角时，同理可求得X-上=4,55.x=8.V=8=.l?.所以，ABED的面积是d或国.555521.解解：(1)作BH_1.CD,垂足为H,那么四边形ABHD为矩形；答：.BH=DA=4,DH=AB=2在RsBCH中，taC二母CH=7-=3,“分)BC=VH2+CH2=S
27、5又CD=CH+DH=5,二S树形ABCD=I(g+CD)AD二14；(2)连接AQ,由DQ=PQ,可知AD迫APQ,AP=AD=4;作PE_1.AB交AB的延长线于点E,(1分)在RsBPE中，tanPBE=tanC=g令BE=3k,PE=4k.3那么在RQAPE中，AP2=AE2+PE2,即42=(2+3k)2+(4k)2,解得：kJ历一6：K251BP=BE2+PE2=5k=(3)作PF_1.CD交CD于点F,由NAEF=NEFD=NAPQ=90。,可得：AAEPSPFQ._4.里，即Q二%化简得：QF=8Ol162;PFAE4-x2春50+15x+80-162-52+i9+30.50+15x3x+10又CF争F=3-,45y=CF+FQ=(3TX)5定义域为(Ox5).
