广东省广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题 及答案.doc

试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 2015.3本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集, 集合, 则集合可以表示为 A B C D 2已知向量，若，则实数的值为A B C D3. 若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数， 叶为个位数，则这组数据的中位数是 A. B. C. D. 4已知为虚数单位，复数的虚部记作，则A BCD5. 设抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离是A BCD 6. 已知的三边所对的角分别为,且, 则的值为A. B. C. D. 7. 已知数列为等比数列，若，则的值为 A. B. C. D. 8. 若直线上存在点满足约束条件 则实数的取值范围是A. B. C. D. 9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为，则该锥体的俯视图可以是 图2 A. B. C. D.10已知圆的圆心为坐标原点，半径为，直线为常数，与圆 相交于两点，记的面积为，则函数的奇偶性为 A偶函数 B奇函数 C既不是偶函数，也不是奇函数 D奇偶性与的取值有关 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）11. 函数的定义域为 .12. 已知e为自然对数的底数，则曲线e在点处的切线斜率为 . 13. 已知函数，点为坐标原点, 点N， 向量， 是向量与的夹角，则的值为 . （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为 . 15. （几何证明选讲选做题） 如图3，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若是第一象限角，且，求的值.17（本小题满分12分）从广州某高校男生中随机抽取名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:分组频数频率合计 表1 （1）求的值； （2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这名学生中抽取名担任广州国际马拉松 志愿者, 再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作, 求这名 担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率.18.（本小题满分14分） 如图4，在边长为的菱形中，点，分别是边，的中点，沿将翻折到，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积. 19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足, , N.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使， 成等比数列? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，且，三点不共线.(1) 求椭圆的方程；(2) 求点的轨迹方程；(3) 求面积的最大值及此时点的坐标.21.（本小题满分14分）已知为常数，且，函数的最小值和函数的最小值都是函数R的零点.（1）用含的式子表示，并求出的取值范围；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分题号12345678910答案BDBABCCACA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题11. 12. 13. 14. 15. 说明: 第14题答案可以是Z.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解： 1分 2分 3分 . 4分 函数的最小正周期为. 5分（2）解：， . 6分 . . 7分 是第一象限角， . 8分 . 9分 10分 11分 . 12分17. （本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解: 由，得. 1分由，得， 2分 由，得. 3分（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的名志愿者中身高在区间上的有名，记为； 5分而身高在区间上的有名，记为. 7分 记“这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm”为事件， 从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作，共有种不同取法：， 9分事件包含的基本事件有种：， 11分为所求 12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：点，分别是边，的中点， . 1分 菱形的对角线互相垂直， . 2分 . 3分 ，. 4分 平面，平面， 平面. 5分 平面. 6分（2）解：设，连接， ， 为等边三角形. 7分 ，. 8分 在R t中， 9分 在中， 10分 . 11分 ，平面，平面， 平面. 12分 梯形的面积为，13分 四棱锥的体积.14分19（本小题满分14分） （本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：, , . 1分 . 2分 . 3分（2）解法1: 由, 得. 4分 数列是首项为, 公差为的等差数列. . 5分 . 6分 当时, 7分 . 8分而适合上式， . 9分解法2: 由, 得， 4分当时，得， 5分 分 数列从第项开始是以为首项, 公差为的等差数列. 分 . 分而适合上式， . 9分（3）解：由(2)知, . 假设存在正整数, 使, , 成等比数列, 则. 10分 即. 11分 为正整数, . 得或, 12分 解得或, 与为正整数矛盾. 13分 不存在正整数, 使, , 成等比数列. 14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， 椭圆过点， ，得. 2分 . 3分 椭圆的方程为 . 4分解法2: 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， 椭圆过点， . 2分. , 3分由解得, . 椭圆的方程为 . 4分（2）解法1：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，.由 , 得 ， 5分即 . 同理, 由, 得 . 6分 得 . 7分由于点在椭圆上, 则，得,代入式得 . 当时，有， 当，则点或,此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时，即点，由得 ，解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,. 9分解法2：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，. ， 5分 . 6分 得 . (*) 7分 点在椭圆上, ，得,代入(*)式得，即, 化简得 . 若点或, 此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时，即点，由得 ，解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,. 9分(3) 解法：点到直线的距离为.的面积为10分 . 11分 而（当且仅当时等号成立）. 12分当且仅当时, 等号成立.由解得或 13分的面积最大值为, 此时,点的坐标为或.14分解法：由于，故当点到直线的距离最大时，的面积最大 10分设与直线平行的直线为，由消去，得， 由，解得11分若，则，；若，则， 12分故当点的坐标为或时，的面积最大，其值为14分21. （本小题满分14分） （本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解: 由于，则， 当且仅当，即时，. 1分 ，当时，.2分 ， ，.由于，结合题意，可知， 方程的两根是， 3分 故，. 4分 . . 5分 而方程的一个根在区间上，另一个根在区间上. 令， 则 6分 即解得 7分 . 8分 ，.求的取值范围的其它解法：另法1：由，得， 6分 ， 分 ， 8分另法2：设， 则，6分故函数在区间上单调递减 分 8分（2）解：由（1）得， 则. 9分 ， 二次函数的开口向下，对称轴. 故函数在区间上单调递减. 10分 又， 11分 当时，. 函数在区间上单调递减. 12分 函数的最大值为，最小值为.14分 28