中考数学专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明.pdf

第 1 页 共 9 页 专题提升 (十三)以圆为背景的相似三角形的计算与 证明 【经典母题】 如图 Z131，DB 为半圆的直径， A 为 BD 延长线上的一点， AC 切半圆于点 E，BCAC 于点 C，交半圆于点 F.已知 AC12，BC9，求 AO 的长 图 Z131经典母题答图 解：如答图，连结 OE，设O 的半径是 R，则 OEOBR. 在 RtACB 中，由勾股定理，得 ABAC 2BC215. AC 切半圆 O 于点 E，OEAC， OEA90°C，OEBC， AEOACB， OE BC AO AB， R 9 15R 15 ，解得 R 45 8 ， AOABOB15R75 8 . 【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得 到相似三角形，利用比例线段求AO 的长 【中考变形】 1如图 Z132，在 RtACB 中， ACB90°，O 是 AC 边上的一点，以O 为圆心， OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D，连结 OD. (1)求证： ADOACB； (2)若O 的半径为 1，求证： ACAD· BC. 证明： (1)AB 是O 的切线， ODAB， CADO90°， AA， 图 Z132 第 2 页 共 9 页 ADOACB； (2)由(1)知， ADOACB. AD AC OD BC ， AD·BCAC· OD，OD1，ACAD· BC. 22017 ·德州如图 Z133，已知 RtABC，C90°，D 为 BC 的中点，以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 E. (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长 图 Z133 中考变形 2 答图 解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，AC 是O 的直径， AECBEC90°， D 为 BC 的中点， EDDCBD， 12， OEOC， 34， 1324，即OEDACB， ACB90°， OED90°， DE 是O 的切线； (2)由(1)知BEC90°， 在 RtBEC与 RtBCA中， BB，BECBCA， BECBCA， BE BC BC BA， BC 2BE· BA，AEEB12， 设 AEx，则 BE2x，BA3x， BC6，622x· 3x，解得 x6，即 AE6. 3如图 Z134，已知 AB 是O 的直径， BCAB，连结 OC，弦 ADOC，直 线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：直线 CD 是O 的切线； (2)若 DE2BC，求 ADOC 的值 第 3 页 共 9 页 图 Z134 中考变形 3 答图 解：(1)证明：如答图，连结DO. ADOC， DAOCOB，ADOCOD. OAOD， DAOADO， CODCOB. 又COCO，ODOB， CODCOB(SAS )， CDOCBO90°，即 ODCD. 又点 D 在O 上，直线 CD 是O 的切线； (2)由(1)知， CODCOB，CDCB. DE2BC，DE2CD.ADOC， EDAECO， AD OC DE CE DE DECD 2 3. 42016 ·广东如图 Z135，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径，ABC 30°.过点 B 作O 的切线 BD，与 CA 的延长线交于点D，与半径 AO 的延 长线交于点 E.过点 A 作O 的切线 AF，与直径 BC 的延长线交于点 F. (1)求证： ACFDAE； (2)若 SAOC 3 4 ，求 DE 的长； (3)连结 EF，求证： EF 是O 的切线 图 Z135 中考变形 4 答图 解：(1)证明： BC 为O 的直径， BAC90°， 又ABC30°， ACB60°， 第 4 页 共 9 页 又OAOC， OAC 为等边三角形，即 OACAOC60°， AF 为O 的切线， OAF90°， CAFAFC30°， DE 为O 的切线， DBCOBE90°， DDEA30°， DCAF，DEAAFC， ACFDAE； (2)AOC 为等边三角形， SAOC 3 4 OA 23 4 ， OA1，BC2，OB1，又DBEO30°， BD2 3，BE3，DE3 3； (3)证明：如答图，过点O 作 OMEF 于点 M， OAOB，OAFOBE90°， BOEAOF， OAFOBE(SAS )，OEOF， EOF120°， OEMOFM30°， OEBOEM30°，即 OE 平分BEF， 又OBEOME90°， OMOB，EF 为O 的切线 52017 ·株洲如图 Z136，AB 为O 的一条弦，点C 为劣弧 AB 的中点， E 为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE 的延长线上，且BEEF，线段 CE 交弦 AB 于点 D. (1)求证：CEBF； (2)若 BD2，且 EAEBEC315，求 BCD 的面积 图 Z136 中考变形 5 答图 解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线 OC， 第 5 页 共 9 页 BEEF， FEBF， AEBEBFF， F 1 2AEB， C 是AB 的中点， AC BC ， AECBEC， AEBAECBEC， AEC1 2AEB， AECF，CEBF； (2)DAEDCB，AEDCEB， ADECBE， AD CB AE CE，即 AD CB 3 5， CBDCEB，BCDECB， CBECDB， BD CB BE CE，即 2 CB 1 5， CB2 5，AD6，AB8， 点 C 为劣弧 AB 的中点， OCAB，设垂足为 G，则 AGBG1 2AB4， CGCB2BG22， SBCD 1 2BD·CG 1 2×2×22. 6如图 Z137，AB 是 O 的直径， C 为O 上一点， AE 和过点 C 的切线互相 垂直，垂足为 E，AE 交O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连结 AC，BC，PBPC12. (1)求证：AC 平分BAD； (2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由 图 Z137 中考变形 6 答图