高三数学高考一轮复习资料：集合及其运算.pdf

1 集合及其运算 最新考纲 1了解集合的含义、元素与集合的属于关系 2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 4理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 5能使用韦恩 (Venn)图表达集合的关系及运算. 知 识 梳 理 1元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或?表示 2集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间的 基本关系 相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同AB 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A? B 真子集 A 中任意一个元素均为B 中的元素，且 B 中至少有一个 元素不是 A 中的元素 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 图形 语言 符号 语言 ABx|xA，或 x B ABx|xA，且 x B ?UAx|xU， 且 x?A 辨 析 感 悟 2 1元素与集合的辨别 (1)若, 2 x 10,1 ，则 x0,1.(×) (2)含有 n 个元素的集合的子集个数是2 n，真子集个数是 2n1，非空真子集的个 数是 2n2.() (3)若 Ax|yx 2 ，B(x，y)|yx2 ，则 AB x|xR (×) 2对集合基本运算的辨别 (4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)? (AB)总成立 () (5)( ·浙江卷改编 )设集合 S x|x2，Tx|x 23x40，则(? RS)T x| 4x1 (×) (6)( ·陕西卷改编 )设全集为 R， 函数 f(x)1x 2的定义域为 M， 则? RM x|x1， 或 x1() 感悟· 提升 1一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其 他情形 )和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混 淆了数集与点集 2两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)； 二是运算不准确， 尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如 (6) 3集合的运算性质： ABB? A? B；ABA? A? B；A(?UA)U； A(?UA)?. 考点一集合的基本概念 【 【例 1】 】 【例 1】(1)( ·江西卷 )若集合 AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a () A4 B2 C0 D0 或 4 (2)( ·山东卷 )已知集合 A0,1,2 ，则集合 B xy|xA，yA中元素的个数是 3 () A1 B3 C5 D9 解析(1)由 ax 2ax10 只有一个实数解，可得当 a0 时，方程无实数解； 当 a0 时，则 a24a0，解得 a4(a0 不合题意舍去 ) (2)xy2，1,0,1,2 答案(1)A(2)C 规律方法集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母 的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性 【训练 1】已知 aR，bR，若 a，b a，1 a 2，ab,0，则 a2 014b2 014 _. 解析由已知得 b a0 及 a0，所以 b0，于是 a 21，即 a1 或 a1，又根 据集合中元素的互异性可知a1 应舍去，因此 a1，故 a2 014b2 0141. 答案1 考点二集合间的基本关系 【例 2】 (1)已知集合 Ax|2x7，B x|m1x2m1，若 B? A，求 实数 m的取值范围 (2)设 UR， 集合 Ax|x 23x20， B x|x2(m1)xm0 若(? UA)B ?，求 m的值 审题路线(1)分 B?和 B?两种情况求解， 当 B?时，应注意端点的取值 (2) 先求 A，再利用 (?UA)B? B? A，应对 B 分三种情况讨论 解(1)当 B?时，有 m12m1，则 m2. 当 B?时，若 B? A，如图 则 m12， 2m17， m12m1， 解得 2m4. 综上， m的取值范围是 (， 4 (2)A 2，1，由(?UA)B?，得 B? A， 方程 x2(m1)xm0 的判别式 (m1)24m(m1)20，B?. 4 B1或 B2或 B1，2 若 B 1，则 m1； 若 B2，则应有 (m1)(2)(2)4，且 m(2)· (2)4， 这两式不能同时成立， B2； 若 B1，2，则应有 (m1)(1)(2)3，且 m(1)· (2) 2，由这两式得 m2. 经检验知 m1 和 m2 符合条件 m1 或 2. 规律方法(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集 是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 (2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助 分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程 )时，要对参数进行讨论 【训练 2】(1)已知集合 A x|x23x20，xR，B x|0x5，xN，则 满足条件 A? C? B 的集合 C 的个数为 () A1 B2 C3 D4 (2)( ·郑州模拟 )已知集合 A 1,1，Bx|ax10，若 B? A，则实数 a 的所 有可能取值的集合为 () A1 B1 C1,1 D 1,0,1 解析(1)由题意知：A1,2 ， B1,2,3,4 又 A? C? B， 则集合 C 可能为 1,2 ， 1,2,3 ，1,2,4 ，1,2,3,4 (2)a0 时，Bx|10? A；a0 时，B x x 1 a ? A，则 1 a1 或 1 a1，故 a0 或 a1 或1. 答案(1)D(2)D 考点三集合的基本运算 【例 3】 (1)( ·湖北卷 )已知全集为 R， 集合 A x 1 2 x1 ， Bx|x 26x80， 则 A?RB() Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0x2，或 x4 D x|0x2，或 x4 5 (2)( ·唐山模拟 )若集合 M y|y3 x，集合 Sx|ylg(x1)，则下列各式正确 的是() AMSMBMSS CMSDMS? 解析(1)A x| 1 2 x1 x|x0 ，Bx|2x4，所以? RB x|x2，或 x 4，此时 A?RB x|0x2，或 x4 (2)M y|y0，S x|x1，故选 A. 答案(1)C(2)A 规律方法一般来讲， 集合中的元素离散时， 则用 Venn图表示；集合中的元素是 连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 【训练 3】(1)已知全集 U0,1,2,3,4 ，集合 A1,2,3 ，B2,4 ，则(?UA)B 为() A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,2,3,4 (2)已知全集 UR， 集合 A x|1x3， 集合 B x|log2(x2)1， 则 A(? UB)_. 解析(1)?UA0,4 ，(?UA)B0,2,4 (2)由 log2(x2)1，得 0x22,2x4，所以 Bx|2x4故?UB x|x2，或 x4，从而 A(?UB) x|1x2 答案(1)C(2) x|1x2 数轴和韦恩 (Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合 问题的常用方法， 解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化， 尽可 能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具， 将抽象的代数问题具体化、 形象化、 直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 学生用书第 3 页 创新突破 1与集合有关的新概念问题 【典例】 已知集合 A1,2,3,4,5 ，B(x，y)|xA，yA，xyA ，则 B 中 所含元素的个数为 () 6 A3 B6 C8 D10 解析法一(列表法 )因为 xA，yA，所以 x，y 的取值只能为 1,2,3,4,5，故 x， y 及 xy 的取值如下表所示： x xy y 12345 101234 210123 321012 432101 543210 由题意 xyA，故 xy 只能取 1,2,3,4，由表可知实数对 (x，y)的取值满足条件 的共有 10 个，即 B 中的元素个数为 10，故选 D. 法二(直接法 )因为 A1,2,3,4,5 ， 所以集合 A 中的元素都为正数， 若 xyA， 则必有 xy0，xy. 当 y1 时，x 可取 2,3,4,5，共有 4 个数； 当 y2 时，x 可取 3,4,5，共有 3 个数； 当 y3 时，x 可取 4,5，共有 2 个数； 当 y4 时，x 只能取 5，共有 1 个数； 当 y5 时，x 不能取任何值 综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为 432110. 答案D 反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定 义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算 (2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命 题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的 是考生创造性解决问题的能力 【自主体验】 7 1( ·广东卷 )设整数 n4，集合 X1,2,3，, ， n 令集合 S(x，y，z)|x，y， zX，且三条件 xyz，yzx，zxy 恰有一个成立 若(x，y，z)和(z， w，x)都在 S中，则下列选项正确的是() A(y，z，w)S，(x，y，w)?S B(y，z，w)S，(x，y，w)S C(y，z，w)?S，(x，y，w)S D(y，z，w)?S，(x，y，w)?S 解析题目中 xyz，yzx，zxy 恰有一个成立说明x，y，z 是互不相等 的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x1，y2，z3，w4 满足题意， 且(2,3,4)S，(1,2,4)S，从而 (y，z，w)S，(x，y，w)S成立 答案B 2( ·浙江部分重点中学调研 )设 A 是整数集的一个非空子集，对于kA，如果 k 1?A，且 k1?A，那么称 k 是 A 的一个“好元素”给定S1,2,3,4,5,6,7,8， 由 S的 3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有() A6 个B12 个C9 个D5 个 解析依题意，可知由 S的 3 个元素构成的所有集合中， 不含“好元素 ”，则这 3 个元素一定是相连的3 个数故这样的集合共有6 个 答案A 对应学生用书 P219 基础巩固题组 (建议用时： 40 分钟) 一、选择题 1( ·新课标全国卷 )已知集合A x|x 22x0，Bx| 5x5 ，则 () AAB?BABR CB? ADA? B 解析集合 A x|x2，或 x0，所以 AB x|x2，或 x0 x|5x 5R. 8 答案B 2( ·广东卷 )设集合 Sx|x 22x0，xR，Tx|x22x0，xR ，则 ST () A0 B0,2 C2,0 D 2,0,2 解析S2,0，T0,2 ，ST0 答案A 3已知集合 M0,1,2,3,4 ，N1,3,5 ，PMN，则 P 的子集共有 () A2 个B4 个 C6个D8 个 解析PMN1,3 ，故 P 的子集共有 4 个 答案B 4( ·辽宁卷 )已知集合 A x|0log4x1，B x|x2，则 AB() A(0,1) B(0,2 C(1,2) D(1,2 解析0log4x1， 即 log41log4xlog44， 1x4， 集合 Ax|1x4， ABx|1x2 答案D 5设集合Ax|x 22x80，B x|x1，则图中阴影部分表示的集合为 () Ax|x1 B x|4x2 Cx|8x1 D x|1x2 解析阴影部分是 A?RB.集合 Ax|4x2 ， ?RBx|x1 ， 所以 A?RB x|1x2 答案D 二、填空题 6( ·江苏卷 )集合 1,0,1共有_个子集 解析所给集合的子集个数为2 38 个 9 答案8 7集合 A0,2，a ，B1，a 2 ，若 AB0,1,2,4,16，则 a 的值为 _ 解析根据并集的概念，可知 a，a 2 4,16 ，故只能是 a4. 答案4 8集合 A xR|x2|5 中的最小整数为 _ 解析由|x2|5，得 5x25，即 3x7，所以集合A 中的最小整数 为3. 答案3 三、解答题 9已知集合 A a 2，a1，3，Ba3，a2，a21 ，若 AB3， 求 AB. 解由 AB3知， 3B. 又 a211，故只有 a3，a2 可能等于 3. 当 a33 时，a0，此时 A0,1，3，B 3，2，1，AB1， 3 故 a0 舍去 当 a23 时，a1， 此时 A1,0，3 ，B4，3,2， 满足 AB 3，从而 AB4，3,0,1,2 10设 Ax|x 24x0，Bx|x22(a1)xa210， (1)若 B? A，求 a 的值； (2)若 A? B，求 a 的值 解(1)A0，4 ， 当 B?时， 4(a1) 24(a21)8(a1)0，解得 a1； 当 B 为单元素集时， a1，此时 B0 符合题意； 当 BA 时，由根与系数的关系得： 2 a1 4， a 210， 解得 a1. 综上可知： a1 或 a1. (2)若 A? B，必有 AB，由(1)知 a1. 10 能力提升题组 (建议用时： 25 分钟) 一、选择题 1若集合A1,1，B0,2 ，则集合 z|zxy，xA，yB 中的元素的 个数为 () A5 B4 C3 D2 解析当 x1，y0 时，z1；当 x1，y2 时，z1； 当 x1，y0 时，z1；当 x1，y2 时，z3.故 z 的值为 1,1,3，故所求集 合为1,1,3，共含有 3 个元素 答案C 2( ·江西七校联考 )设全集 UR，集合 Mx|ylg(x 21)，N x|0x2， 则 N(?UM)() Ax|2x1 B x|0x1 Cx|1x1 D x|x1 解析Mx|ylg(x21)x|x210 x|x1，或 x1 ，所以 ?UM x| 1x1 ，结合数轴易得 N(?UM) x|0x1 答案B 二、填空题 3 已知集合 AxR|x2|3， 集合 B xR|(xm)(x2)0， 且 AB( 1，n)，则 m_，n_. 解析A x|5x1，因为 ABx|1xn ，Bx|(xm)(x2)0，所 以 m1，n1. 答案11 三、解答题 4已知集合 Ay|y2x1,0x1，B x|(xa)x(a3)0分别根据 下列条件，求实数a 的取值范围 (1)ABA；(2)AB?. 解因为集合 A 是函数 y2x1(0x1)的值域，所以A(1,1，B(a，a 3) 11 (1)ABA? A? B? a1， a31， 即2a1，故当 ABA 时，a 的取值范围是 (2，1 (2)当 AB?时，结合数轴知， a1 或 a31，即 a1 或 a4. 故当 AB?时，a 的取值范围是 (4,1).