k52006年高考第一轮复习数学：9.12球.pdf

知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 9.12 球 知识梳理 1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合 叫做球面 .过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离. 2.平面截球所得的截面是圆. 3.S球=4R 2； V 球= 3 4 R 3. 点击双基 1.下列四个命题中错误 的个数是 经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆球面积是它大圆面积的四 倍球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：错误. 答案： C 2.（ 2004 年江苏， 4）一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4 cm，则该球的体积是 A. 3 100 cm 3 B. 3 208 cm 3 C. 3 500 cm 3 D. 3 3416 cm 3 答案： C 3.若三球的半径之比是123，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_ 倍. A.4 B.3 C.2 D.1 解析：三球体积之比为1827. 答案： B 4.（2004 年北京，理11）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12 cm，该地球仪的半 径是 _cm ，表面积是 _cm 2 . 解析：如图所示， R r 30 o 2r=12， r=6（cm） . 设地球仪半径为R，则 R r = R 6 =sin60° . R=43（cm） ， 表面积 S=4R 2=192（cm2）. 答案： 4 3 192 知识就是力量 5.长方体的一个顶点上三条棱长为3、 4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球 的表面积是 A.202B.252C.50D.200 解析：设球的半径为R，则（ 2R） 2=32 +4 2 +5 2=50， R= 2 25 . S球=4× R 2 =50. 答案： C 典例剖析 【例 1】球面上有3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 6 1 ，经过这3 个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为 A.43B.23C.2 D. 3 解法一：过 O 作 OO平面 ABC，O是垂足，则O是 ABC 的中心，则 OA=r=2， 又因为 AOC= 3 ，OA=OC 知 OA=ACO A.所以 OAOA2OA.因为 OA=R，所以 2R4.因此，排除 A、C、D，得 B. 解法二：在正三角形ABC 中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2 3 . 因为 AOB= 3 ，所以侧面AOB 是正三角形，得球半径R=OA=AB=2 3. 解法三：因为正三角形ABC 的外径 r=2，故高 AD = 2 3 r=3，D 是 BC 的中点 . 在 OBC 中， BO=CO=R， BOC= 3 ，所以 BC=BO=R，BD= 2 1 BC= 2 1 R. 在 RtABD 中， AB=BC=R，所以由 AB 2=BD2+AD2，得 R2= 4 1 R 2+9，所以 R=2 3. 特别提示 1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面 图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想. 2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B 两点间的球面距离关键 是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是： （1）计算线段AB 的长度； （2）计算 A、B 到球心 O 的张角； （3）计算球大圆在A、B 两点间所夹的劣弧长. 【例 2】 已知球的两个平行截面的面积分别为49、400，且两个截面之间的距离为 9，求球的表面积. 剖析：先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列 方程求出球的半径.注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的 同侧或异侧的情形，加以分类讨论. 解：下图为球的一个大圆截面. 知识就是力量 A B O O O1 2 ·O1A 2=49， 则 O1A=7. 又·O2B 2=400， O2B=20. （1）当两截面在球心同侧时，OO1OO2=9= 22 7R 22 20R，解得 R 2 =625， S球=4R 2=2500 . （2）当两截面在球心异侧时，OO1+OO2=9= 22 7R+ 22 20R，无解 . 综上，所求球的表面积为2500. 特别提示 球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中， R 2=d2+r2（R、 r、d 分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离）起着重要的作 用. 【例3】 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值 时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? 解：下图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S， B A C h 2 R O 则（ 2 h ） 2 r 2 =R 2， 即 h=2 22 rR. S=2rh=4r· 22 rR =4)( 222 rRr 4 2 )( 2222 rRr =2R 2，取等号时，内接圆柱底面半径为 2 2 R，高为2R. 闯关训练 夯实基础 1.（2004 年全国， 7）已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间 的球面距离均为 2 ，则球心O 到平面 ABC 的距离为 知识就是力量 A. 3 1 B. 3 3 C. 3 2 D. 3 6 解析：显然OA、OB、OC 两两垂直，如图，设 O1为 ABC 所在平面截球所得圆的圆心， A B C O 1 OA=OB=OC=1，且 OAOBOC， AB=BC=CA=2. O1为 ABC 的中心 .O1A= 3 6 . 由 OO1 2O 1A 2=OA2 ，可得 OO1= 3 3 . 答案： B 2.已知过球面上A、 B、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2， 则球面面积是 A. 9 16 B. 3 8 C.4D. 9 64 解析：因为AB=BC=CA=2，所以 ABC 的外接圆半径为r= 3 32 .设球半径为R，则 R 2 （ 2 1 R） 2= 3 4 ，所以 R 2 = 9 16 ，S=4R 2= 9 64 . 答案： D 3.已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于_. 解析：易知球直径 2R等于正方体的对角线长 3a， 由 6a2=S ， 得 a= 6 S ， 所以 V球= 3 4 R 3= 3 4 （ 2 3 a） 3 = 3 4 （ 2 3 · 6 S ） 3= S S 2 24 . 答案：S S 2 24 4.有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线 长为 _. 解析：由题意易得交线为半径为 2 3 r 的圆周，其长为3r. 答案： 3r 5.把地球看作半径为R 的球， A、B 是北纬 30°圈上的两点，它们的经度差为60°，求 A、B 两点间的球面距离. 解：如图， 设 30°纬度圈的圆心为O1，半径为 r，则 r=Rcos30°.依题意 AO1B=60°， 知识就是力量 O O A B 1 C 取 AB 的中点 C，则 BC=Rcos30°sin30°= 4 3 R， 在 RtBOC 中， sinBOC=sin 2 1 AOB= R BC = 4 3 ， AOB=2arcsin 4 3 ，从而 A、B 两点的球面距离为2Rarcsin 4 3 . O O A B 1 6.如图，三棱锥VABC 中， VA底面 ABC， ABC=90°. V A C B （1）求证： V、A、B、 C 四点在同一球面上； （2）过球心作一平面与底面内直线AB 垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩 形. 证明： （1）取 VC 的中点 M， VA底面 ABC， ABC=90°， BCVB.在 RtVBC 中， M 为斜边 VC 的中点， MB=MC=MV.同理，在Rt VAC 中， MA =MV =MC. MV=MC=MA=MB. V、 A、 B、C 四点在同一圆面上，M 是球心 . （2）取 AC、 AB、VB 的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN，则 MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥 VABC 的截面， 易证 PQMN 是平行四边形.又 VABC，QPVA， NPBC， QPPN.故截面 MNPQ 是矩形 . 培养能力 7.已知球面上的三点A、B、C， AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面 ABC 的距离 . 解： 6 2+82 =10 2， ABC 为 Rt. A B C M O 球心 O 在平面 ABC 内的射影 M 是截面圆的圆心，M 是 AC 的中点且 OMAC. 知识就是力量 在 RtOAM 中， OM= 22 AMOA=12. 球心到平面ABC 的距离为12. 8.（文）将半径为R 的四个球，两两相切的放在桌面上，求上面一个球的球心与桌面的距 离. 解：如下图，作OH面 O1O2O3， O O O O1 2 3 H O3H= 3 32 R， OH= 2 3 2 3 HOOO= 3 62 R，球心与桌面的距离为（ 3 62 +1）R. （理）设A、 B、C 是半径为1 的球面上的三点，B、 C 两点间的球面距离为 3 ，点 A 与 B、C 两点间的球面距离均为 2 ， O 为球心，求： （1） AOB、 BOC 的大小； （2）球心 O 到截面 ABC 的距离 . 解：如图，（1）因为球 O 的半径为1，B、C 两点间的球面距离为 3 ，点 A 与 B、C 两 点间的球面距离均为 2 ，所以 BOC= 3 ， AOB=AOC= 2 . AB C O O 1 （2）因为 BC=1，AC=AB=2，所以由余弦定理得cosBAC= 4 3 ，sin BAC= 4 7 ，设 截面圆的圆心为O1，连结AO1，则截面圆的半径R=AO1，由正弦定理得r= BAC BC sin2 = 7 72 ，所以 OO1= 22 rOA= 7 21 . 探究创新 9.在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h 的水，然后将一个铁球放入这个 圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径. h 知识就是力量 解：如图，作出圆锥形容器的轴截面，ABS 为等边三角形 . AB CD E F G O S SG=h， DG= 3 3 h， V 水= 3 ·DG 2· SG= 9 h 3 . 设铁球的半径为R， 则 SO=2R，SF=3R， 在 RtFSB 中 ，BF=SFtanFSB= 3R， 设放入球之后，球与水共占体积为V， 则 V= 3 · （ BF） 2 ·SF= 3 （3R） 2·3R=3R3，V 球= 3 4 R 3 . 依题意，有V=V球+V水， 即 3R 3= 3 4 R 3+ 9 h 3， R= 15 225 3 h. 答：铁球的半径为 15 225 3 h. 思悟小结 1.球的面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形、球半径、 截面圆半径、圆心距所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要切入点. 2.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.计算 A、B 两点间的球面距离的关 键是搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念. 教师下载中心 教学点睛 1.要使学生理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式.求球面面积、 球的体 积及两点的球面距离是学习本节的重点. 2.球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面：（ 1）球的截面的性 质； （ 2）球的表面积和体积；（3）球面上两点间的球面距离；（4）球与其他几何体的组合 体.而且多以选择题和填空题的形式出现.第（ 4）方面有时用综合题进行考查. 拓展题例 【例1】 如图，一个广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个长半 轴为 5 m 的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是_. O A B 解析：长半轴为OA=5， AOB=，设气球半径为r，则 r=5cos， S=4r 2 =100cos 2 m2. 答案： 100cos 2 m 2 【例 2】 三棱锥 ABCD 的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球 半径 . 知识就是力量 A B C F O D E 解法一：易知内切球球心O 到各面的距离相等. 设 E、F 为 CD、AB 的中点，则O 在 EF 上且 O 为 EF 的中点 . 在 ABE 中， AB=6，AE=BE=4，OH= 8 73 . O A B EH F 解法二：设球心O 到各面的距离为R. 4× 3 1 S BCD × R=VABCD， S BCD = 2 1 ×6×4=12， VABCD=2VCABE=67. 4× 3 1 ×12R=6 7 . R= 8 73 . 评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.