k5导数及其应用(叶乐琴).pdf

知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 导 数 及 其 应 用 乐清中学叶乐琴 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景 （如瞬时速度， 加速度、光滑曲线切线的斜率等） ； 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式： x m(m 为有理数 )、sinx、cosx、ex、ax、lnx、log ax 的导数； 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数 的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要 条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号 )； 会求一些实际问题 (一般指单峰函数 )的最大 值和最小值。 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容，在 2000年开始的新课程试卷命题时， 其考试要求都是很基本的， 以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题， 不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次 是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括 求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应 导数定义导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性 求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式 知识就是力量 2 用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起， 设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具 有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法， 这类问题用传统教材是无法解决的。 【例题探究】 例 1 (2003年烟台统考 )已知函数 f(x)=x 3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值， 则实数 a 的取值范围是。 【考查目的】 考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。 解： f(x)=3x 2+6ax+3a+6，令 f(x)=0 ，则 x 2+2ax+a+2=0 又f(x)既有极大值又有极小值 f(x)=0 必有两解，即 =4a 2-4a-80 解得 a-1 或 a2。 探究： 本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与 方程相互转化的解题思想与解题策略。 【启迪迁移】 已知 f(x)=x 3+3ax2+3(a+2)x+1，试讨论函数 y=f(x)的单调性 提示： 按分 O ， =O， -1 ，且 x0) 由题设 0a 时，( )0Fx，因此 F(x)在( ,)a上为增函数 . 从而，当 x=a 时，F(x)有极小值 F(a). ( )0,F aba()0F b即0( )( )2 () 2 ab g ag bg. 设( )( )()ln2G xF xxa，则( )lnlnln2lnln() 2 ax G xxxax 当 x0 时，( )0G x，因此( )G x 在(0,+)上为减函数。 ( )0,( )0,G abaG b 即( )( )2 ()()ln2 2 ab g ag bgba，综上，原不等式得证。 【启迪迁移】 1证明：当 x0 时，有 3 sin 6 x xxx 2 （2004? 温州市一模 ? 21）已知数列 an各项均为正数， Sn为其前 n 项和，对于任 意的 nN*，都有 4Sn=(an+1) 2 (1)求数列 an的通项公式； (2)若 2 ntS n对于任意的 nN* 成立，求实数 t 的最大值。 分析：利用 Sn-Sn-1=an(n2)易得 an=2n-1，从而 Sn=n2则问（2）转化为 t 2 2 n n 恒成 立，故只需求出数列 2 2 nn n b的最小项，有以下求法： 法一：研究数列 bn的单调性。 法二 ：数 列作 为 一 类特 殊的 函数 ，欲 求 2 2 n n 的 最 小 项 可 先研 究连 续 函数 2 2 (0) x yx x 的单调性，求导得 4 2( ln22) x x x y x ，易得 2 ln2 x为函数 2 2x y x 的极 知识就是力量 6 小值也是最小值点，又 222 lnln2lnee ，所以 2 3 ln2 而 3 342 2 3 bb，故 3 8 9 tb （注：不能直接对 2 2 (*) n ynN n 求导，为什么？） 探究： 导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数 列作为一类特殊函数其本质所在。 特别提示： 例 2、例 3、例 4 充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不 等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4 还说明了一点：欲用导数， 得先构造函数。 例 5 已知双曲线:(0) m Cym x 与点 M（1，1） ，如图所示 . （1）求证：过点 M 可作两条直线，分别与双曲线C 两支相切； （2）设（ 1）中的两切点分别为A、B，其MAB 是正三角形， 求 m 的值及切点坐标。 【考查目的】 本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的 勾通。 （1）证明：设( ,) m Q tC t ，要证命题成立只需要证明关于t 的方程|x t MQ yk有 两个符号相反的实根。 |x t MQ yk 2 2 1 20 1 m m t tmtm tt ，且 t0，t1。 设方程 2 20tmtm的两根分别为 t1与 t2，则由 t1t2=m0，函数 3 ( )f xxax在1,)上是单调增函数，则a的最大值是（D ） A 0 B 1 C 2 D 3 5已知 32 ( )26f xxxm（m 为常数） ，在-2，2上有最大值 3，那么此函数在 -2，2上的最小值为（ A ） A -37 B -29 C -5 D -11 6 （2004年浙江高考）设( )fx是函数( )f x的导函数，( )yfx的图象 如图所示，则( )yf x的图象最有可能的是（C） 二、填空题 7曲线 2 1 y x 与曲线yx在交点处的切线的夹角为90°。 8已知( )sin2 ,f xxx xR且(1)(2 )0fafa，则a的取值范围是（ - ，-1） 。 知识就是力量 9 三、解答题 9已知曲线 22 12 :(2)CyxCyx与，求与 C1、C2均相切的直线 l 的方程。 解答：由 2 yx得2yx，由 2 (2)yx，得2(2)yx； 设直线 l 与 2 yx的切点为 2 11(,),(2)P x yyx与的切点为22(,)Q xy 根据已知条件 2 11 2 22 12 12 1 12 (2) 22(2) 2 yx yx xx yy x xx +整理得 121212 (2)(2)yyxxxx 由得 12 20xx 12 0yy即 21 yy，代入与联立可解得x1=0 或 x1=2 当 x1=0 时，x2=2；当 x1=2 时，x2=0 直线 l 过（0，0） 、 （2，0）点，或直线过（ 2，4） 、 （0，-4）点因此所求直线方 程为 y=0 或 y=4x-4。 10函数 32 ( )f xxaxbxc，过曲线( )yf x上的点(1, ( )Pf x的切线方程为 y=3x+1 （1）若( )2yf xx在时有极值，求( )f x的表达式； （2）在（ 1）的条件下，求( )yf x在-3，1上的最大值； （3）若函数( )yf x在区间 -2，1上单调递增，求b 的取值范围。 解： （1）由 32 ( )f xxaxbxc求导数得 2 ( )32fxxaxb过( )yf x上点 (1, (1)Pf的切线方程为： (1)(1)(1),(1)(32)(1)yffxyabcab x即， 而过( )yf x上，(1 ,(1)Pf的切线方程为31yx 故 323 21 ab abc 即 20 3 ab abc 知识就是力量 10 ( )yf x在 x=-2 时有极值，故( 2)f=0 412ab 由式联立解得2,4,5abc， 32 ( )245f xxxx （2） 22 ( )32344(32)(2)fxxaxbxxxx x 32) -2 2 ( 2, ) 3 2 3 2 ( ,1 3 ( )fx + 0 0 + ( )f x极大极小 32 ( )( 2)( 2)2( 2)4( 2)513f xf 极大 ， 3 (1) 12 14 154f，( )f x在-3，1上最大值为 13。 （3）( )yf x在区间 -2，1上单调递增，又 2 ( )32fxxaxb， 由（1）知20ab， 2 ( )3fxxbxb 依题意( )fx在-2，1上恒有 2 ( )0,30fxxbxb即在-2，1上恒成立。 当1 6 b x时，( )(1)30fxfbb 小 ，6b 当2 6 b x时，( )( 2)1220fxfbb 小 ，b 当21 6 b 时， 2 12 ( )0 12 bb fx 小 ，0b6 综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是： b0。 11某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂 量服用，据监测： 服药后每毫升血液中的含药量y （微 克）与时间 t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。 （1）写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式y=f(t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 微克时，治疗疾病有效。 求服药一次治疗疾病有效的时间？ 当 t=5 时，第二次服药，问t 1 5,5 16 时，药效是否连续？ 解答： （1）当 0t1 时，y=4t， 当 t1 时， 1 ( ) 2 t a y，此时 M（1，4）在曲线上， 知识就是力量 11 11 4(),3 2 a a，这时 31 ( ) 2 t y所以 3 4(01) ( ) 1 ( )(1) 2 t tt yf x t （2） 3 40.25 ( )0.25, 1 ( )0.25 2 t t f t即解得 1 16 5 t t 1 5 16 t 服药一次治疗疾病有效的时间为 115 54 1616 个小时。 设 1 5,5 16 t，5 小时第二次服药后， 血液中含药量 g(t)为：第二次产生的含药 量 4（t-5）毫克以及第一次的剩余量 31 ( ) 2 t 毫克，即 g(t)=4(t-5)+ 31 ( ) 2 t 只要证明，当 1 5,5 16 t时,g(t)0.25 即可 33111 ( )4( )ln4( )ln2 222 tt g t，( )g t在 R 上是增函数， 1 ( )5,5 16 g t 在上有 21 ( )(5)4( ) ln20 2 g tg， 1 ( )5,5 16 g t 在上是增函数， 故 g(t)g(5)=0.25，当 t=5 时，第二次服药， 1 5,5 16 t时，药效连续。