k5用函数的观点看数列(刘若菡).pdf

知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 用 函 数 的 观 点 看 数 列 温州七中刘若菡 设计立意及思路： 数列是函数概念的继续和延伸。它是定义在自然集或它的子集1 ，2， ，n 上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n 的“一次函数”，前 n 项和 是自然数 n 的“二次函数”。等比数列可看作自然数n 的“指数函数”。因此，学 过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为 今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基 础。 高考考点回顾 1与二次函数有关的等差数列的问题 （ 2004年 重 庆 卷 ） 若 an是 等 差 数 列 ， 首 项 a10,a2003+a20040,a2003a20040,S 13S5 (D) S6与 S7均为 Sn的最大值 2与函数的单调性有关的数列问题 （2002 年上海卷） 已知函数 f(x)=a·bx的图象过点 A（4， 4 1 ）和 B（5，1） （1） 求函数 f(x)的解析式； （2） 记 an=log 2f(n),n是正整数， Sn是数列 an的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn0； （3） （文）对于（2）中的 an与 Sn，整数 96 是否为数列 anSn中的项？若 是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。 （理）对于（ 2）中的 an与 Sn，整数 10 4 是否为数列 anSn中的项？ 若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。 3. 用函数观点解数列应用题 基础知识梳理： 1.关于等差数列 a n (1)通项公式 an=a1+(n-1)d,可以写成 an=dn+(a1-d) 。 它是 n 的一次函数，以（ n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。 公差 d= 1 1 n aan 是相应直线的斜率。当d0 时，数列递增；当 d0 且 q1 时，y=q x(x R) 是指数函数， 而 y= q a1 ·qx(x R) 是一个不 为 0 的常数与指数函数的积，因此an= q a1 ·q n(n N*) 的图象是函数 y= q a1 ·qx(x R)的图象上的一群孤立点。 很明显，若 q a1 0, 当 q1 时，数列递增；当00, 即an 是首项为负数的递增数列。 因此，当 an0 且 an+10 时， Sn有最小值，即需 -d 2 17 +(n-1)d0, - d 2 17 +nd0, 解得 2 17 0, 所以 Sn=na1+ 2 )1(nn d=- n d 2 17 + 2 2 n d - 2 d n= 2 d n 2-9dn = 2 d (n 2-18n) = 2 d (n-9) 2- 2 81d . 由此可知，当 n=9 时，Sn最小。 思路导引： 既然 sn是常数项为零的二次函数，那么，能否结合二次函数的图 象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看， 已知条件中S5=S13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数Sn= 2 d n 2+(a 1- 2 d )n 中，当 n=5 与 n=13 时，对应的函数值相等。 （教师在画出的 抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的 对称轴位置 解法三已知 S5=S13，而 Sn 是 n 的二次函数（二次项系数 2 d 0）, 由 抛物线的对称性可得其对称轴方程为n= 2 135 =9。 所以，当 n=9 时，Sn最小。 小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等，让学 生比较以上这三种常见的解法，体会函数思想的作用。 变式： （1） 在等差数列 an 中，a10，S3=S11，则 Sn中最大的是（） (A)S6 (B)S7 (C)S8 (D)S9 （） （2003年黄岗中学）在等差数列 an 中，已知 a1=20，前 n 项和为 知识就是力量 5 Sn，且 S10=S15 求前 n 项和 Sn当 n 为何值时， Sn有最大值，并求它的最大值 例2 （ 2004年 重 庆 卷 ） 若 a n是 等 差 数 列 ， 首 项 a10,a2003+a20040,a2003a20040 成立的最大自然 数 n 是( ) （A）4005(B)4006(C)4007(D)4008 思路导引： 由于解题目标是前n 项的和 Sn= 2 )( 1n aan =na1+ 2 )1(nn d, 故可 从两方面入手。 由已知条件，能否判断本题中等差数列an 的单调性？（学生能判断） 对照例 1，可知该数列的前 n 项和 Sn 有最值，且当 n=2003 时取到该值， 但 n=2003 时 Sn 最大，是否就是本题所要求的答案呢？让学生认识到例 1和 例 2的 联 系 和 区 别 。 由a1a2,a20030a2004 a2005,知 ， . , .SS 200520042003 200321 SSS S 虽然 S20040 成立的最大自然数n 是多少呢，能否借鉴例1 中所用的函数的 思想，数形结合的思想？从而引导学生画出抛物线，判断其对称轴的位置， 进而判断出抛物线与x 轴的交点的坐标 解法一：由题意可得：等差数列中， 从第 1 项到第 2003 项是正数， 且从第 2004 项开始为负数， 则所有的正项的和为Sn的最大值， 即当 n=2003 时，Sn取得最大值， 显然 Sn是关于 n 的缺常数项的二次函数， 且开口向下，所以第 2003 项离对称轴最近，故其对称轴介于 2003 到 2003.5 2003 200420062007 x y o 知识就是力量 6 之间。 又因二次函数的图象与x 轴的一个交点是（ 0,0 ）, 则设另一个交点 （x,0 ）,x 应介于 4006 到 4007 之间（如上图） 所以使 Sn0 的最大自然数是 4006 ，故选 B。 思路导引： 根据 Sn= 2 )( 1n aan ，可以利用等差数列的性质求解。问： a2003+a2004= a1 + a？，从而判断出 S40060, 进而判断出 S40070 S4007= 2 )(4007 40071 aa =4007a20040,S130,S120,S130,S 130,d0, S2k+10, S2k为 S1,S2 , S2k中的最大值。下面提供另一种证明法， 由 ,0)( , 0) 12(S 12 112 kkk kk aakS ak 可得 .0 , 0 1 1 kk k aa a a1a2, ak0ak+1 ak+2,. 于是 ., ,.SS 21 21 kkk k SSS S 由此可知， Sk有最大值。 2(1) 已知等差数列 an中,Sm=Sn(mn) ，则 Sm+n= _ (2) 已知等差数列 an中,Sm=Sn(mn) ，则 a1+am+n=0 例 3（可视为上题的推广）已知等差数列Sm=n, Sn=m, (m n), 求 Sm+n 思路导引： 本题退到一般的情形 , 可以用方程的思想求解 . 解：对等差数列可设 , S 2 2 mBnAnSn nBmAmm ，得 A（m 2-n2 ）+B(m-n)= n-m 即 A(m+n)+B=-1, 故 A（m+n）2+B(m+n)=-(m+n) 即得 Sm+n=-(m+n) 例 4、已知数列 an的公式是 an= 1bn an ，其中 a、b 均为正常数，那么 an与 an+1的大小关系是 ( ) (A) anan+1 (C) an=an+1 (D) 与 n 的取值相关 思路导引 : 要比较 an与 an+1的大小关系 , 其实就是要判断an= 1bn an 的单调性 . 知识就是力量 8 从函数的观点看 , 函数 f(x)= 1bx ax 的单调性在函数一章中已会判断. 解：an= 1bn an = n b a 1 a、b 均为正常数， an随 n 的增大而增大。故选A，答案： A。 例 5、 （2002 年上海卷） 已知函数 f(x)=a·bx的图象过点 A（4， 4 1 ）和 B（5，1） （1）求函数 f(x)的解析式； （2）记 an=log2f(n),n是正整数， Sn是数列 an的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn0； （3） （文）对于（ 2）中的 an与 Sn整数 96 是否为数列 anSn中的项？若是， 则求出相应的项数；若不是，请说明理由。 （理）对于（ 2）中的 an与 Sn整数 10 4 是否为数列 anSn中的项？若 是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。 思路导引 : 图象过 A,B 两点, 说明 A,B 两点的坐标满足函数表达式 解： （1）由 4 · 4 1 ba a= 1024 1 1=a·b 5 得, b=4 f(x)= 1024 1 ·4x. (2)an=log2f(n)=log2·4 n=2n-10, an是以 -8 为首项，公差为 2 的等差数列。 Sn= 2 )1028(nn =n(n-9) anSn=2n(n-5)(n-9), 由 anSn0 得 5n9. 故 n=5,6,7,8,9. 思路导引 : 由(2) 知, 从函数的观点看 ,anSn是关于 n 的三次函数 , 而且 知识就是力量 9 5n9 时 anSn0.n=1,2,3,4易求得 a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40, 都不等于 96, 所以要考虑 anSn 中 n10 的项. 由导数的知识 可知 n10 时 anSn=2n(n-5)(n-9)是单调递增函数 . 所以可以先计算 a10S10的值, 文科马上得出答案 . 理科要进一步估值 , 使其逼近96 或者 等于 96. 此时可以鼓励学生进行猜想, 并通过估值结合计算 , 得到答案 . (3) （文） a1S1=64, a 2S2=84, a3S3=72, a4S4=40, 当 5n9 时，anSn0。当 n10 时，anSna10S10=100 。 因此， 96 不是数列 anSn中的项。 （理） a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40, 当 5n9 时，anSn0。 当 10n22 时，anSna22S22=982410 4 . 因此， 10 4 不是数列 anSn中的项。 例 6、某计算器有两个数据输入口J1、J2，一个输出口 C. (1)当 J1、J2分别输入正整数1，经过计算器运算后， C 输出正整数 2； (2)当 J1输入正整数 m,J2 输入正整数 n 时，C 的输出要比 J1输入 m,J2 输入 n+1 时，C的输出减少 3. 试问：J1输入 1,J 2输入 n 时，C 输出 的是多少？ 思路导引 : 先把问题具体化 . 引导学生完成下表 J1 J2 C 1 1 2 1 2 5 1 3 8 1 4 11 1 5 14 进而, 让 J1 取 2, 取 3, 让学生认识到 , 无论 J1,J2取何正整数 , 每当 J1,J2 各取一个确定的值 ,C 就有一个唯一确定的值与它对应. 引导学生联想函数的 知识就是力量 10 定义. 可把条件用二元的解析式f(m,n)表示，再用函数观点和数列知识解 题。 解: 设当 J1、J2分别输入正整数 m 、n 时，经计算器运算后， C 输出正整 数 k 记为 k=f(m 、n). 由已知（ 1）得 f(1,1)=2, 由 已 知 （ 2 ） 得f(m、 n+1)=f(m、 n)+3.因 此 ， 有 f(1,2)-f(1,1)=3,f(1,3)-f(1,2)=3, ,f(1,n)-f(1,n-1)=3.由 此可知：f(1,1)，f(1,2)，f(1,3)， ， f(1,n)为以 2 为首项、公差为 3 的等差数列。所以， f(1,n)=2+(n-10·3=3n-1,即当 J1、输入 1，J2 输入正整数 n 时，C 输出的是 3n-1 变式：右图是一个计算装置的示意图，J1，J2是数 据入口， C是计算结果的出口。计算过程是由J1，J2分 别输入正整数 m和 n，经过计算后得正整数k 由 C 输 出，所进行的计算满足以下三个性质： 若 J1 ，J2分别输入 1，则输出结果为1； 若 J1、输入任何固定的正整数不变，而J2输入的正整数增大1，则 输出结果比原来的增大2； 若 J2输入 1，而 J1输入的正整数增大1，则输出结果为原来的2 倍。 试问： （1）若 J1、输入 1，J2输入正整数 n，输出结果为多少？ （2）若 J2输入 1，J1输入正整数 m ，输出结果是多少？ （3）若 J1输入正整数 m, J2输入正整数 n，输出结果为多少？ 思维能力训练 一、选择题 1已知数列an的通项公式为 an=-0.3n 2+2n+7 2 3 , 则数列中数值最 知识就是力量 11 大的项为 ( ) (A) a5 (B)a4 (C) a3 (D) a2 2. 在等差数列 an中. 已知a8,dS5 (D) S6与 S7均为 Sn最的大值 4已知数列 an中，an= 156 2 n n (n N*) ，则该数列an的最大项是（） (A) 第 12 项 (B) 第 13 项 (C) 第 12 项或第 13 项 (D)不存在 5、 （2003 年海淀 ) 等比数列 an中,a1=512, 公比 q=- 2 1 , 用n表示它的前 n 项之积 : n=a1a2 an, 则12 , 中最大的是 (A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 8 6. 设函数 f 定义如下表 , 数列 xn 满足 x0=5, 且对任意自然数均有xn+1=f(xn), 则 x2004的值为 : x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)5 二、填空题： 1 （2001 年全国高考题） 设 an是公比为 q 的等比数列， Sn 是它的前 n 项和，若 Sn是等差数列， 则 q= 2 设 数 列 an 的 通 项 公 式 为an=n 2+ n(n N*) 且 a n 满 足 a1-3. 知识就是力量 12 在等差数列 an中， 7a5+5a9=0，且 a9a5, 则使数列前和Sn取最小值的 n 等 于（） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 三、解答题： 1在等差数列 an中， a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项的和为 Sn。 （1） 求 Sn的最小值，并求出Sn取最小值时 n 的值； （2） （2）求 Tn=a1+a2+ +an. 2 （2003 年东城）已知函数f(x)=px 2 +qx, 其中 p0,p+q1.对于数列 an ， 设它的前 n 项和为 Sn，且 Sn=f(n)(nN*). (1) 求数列 an的通项公式；（2）证明： an+1an1; (3) 证明：点 M1) 1 , 1 ( 1 s .M2) 2 , 2( 2 s ,M) 3 , 3( 3 s , ,Mn),( n s n n 都在同一直线上。 3. 等差数列 an的前 n 项之和为 Sn. 已知：当且仅当n=5 时，Sn有最小值。 （1） 当 n 取怎样的值时，分别有Sn=0，Sn0,Sn0; （2） an是否可能等于零？试说明理由； （3） 若 a7+a8=72, 问数列 an中有多少项满足 -9 an260?